善用轉(zhuǎn)化思想化解圓錐曲線中的運(yùn)算難點(diǎn)*

廣東省中山市桂山中學(xué) (528463) 林娜

解析幾何一直是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容,也是一個(gè)難點(diǎn)內(nèi)容,是高考的一塊“硬骨頭”. 解析幾何問題的難主要體現(xiàn)在運(yùn)算上,大部分學(xué)生在繁瑣和復(fù)雜的運(yùn)算中找不到運(yùn)算的方向,喪失了信心,也丟掉了寶貴考試時(shí)間和分?jǐn)?shù). 其實(shí)運(yùn)算的難很大一部分原因是我們沒有找到合適的運(yùn)算途徑和方向,沒有學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化,如果我們能夠善用轉(zhuǎn)化思想,將復(fù)雜的陌生的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的熟悉的問題,我們就能夠找到合適的運(yùn)算途徑和方向去化解圓錐曲線中的一些運(yùn)算難點(diǎn).

1 準(zhǔn)備知識(shí)

以上結(jié)論是圓錐曲線中的常見二級(jí)結(jié)論,由于篇幅的限制,證明過程略,詳細(xì)證明過程讀者可查看參考文獻(xiàn).

接下來我們通過一些典型的例題來展示轉(zhuǎn)化思想在化解圓錐曲線中的運(yùn)算難點(diǎn)時(shí)所發(fā)揮的作用.

2 典型問題

2.1 轉(zhuǎn)化為中點(diǎn)弦問題

點(diǎn)評(píng)本題的解決方法有很多(讀者可自行研究),通常的做法是將面積的比例關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系,然后經(jīng)過變形可以用韋達(dá)定理將條件表達(dá)出來,最后將韋達(dá)定理代入,得出結(jié)論,中間的運(yùn)算過程比較復(fù)雜,也需要花費(fèi)較多時(shí)間. 經(jīng)過轉(zhuǎn)化后,我們看清楚了這道題所給條件的本質(zhì),本質(zhì)就是PQ的中點(diǎn)與MN的中點(diǎn)重合,再結(jié)合直角三角形的性質(zhì)和中點(diǎn)弦的結(jié)論,很容易得到正確答案.

2.2 轉(zhuǎn)化為斜率之積為定值

2.3 轉(zhuǎn)化為斜率之和為定值

2.4 轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之比

(2019 年浙江卷)如圖,已知點(diǎn)F(1,0) 為拋物線y2=2px(p＞0) 的焦點(diǎn), 過點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn), 點(diǎn)C在拋物線上, 使得ΔABC的重心G在x軸上,直線AC交x軸于點(diǎn)Q,且Q在點(diǎn)F右側(cè). 記ΔAFG,ΔCQG的面積為S1,S2.

2.5 轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積

3 鞏固練習(xí)

4 教學(xué)反思

帶領(lǐng)學(xué)生閱讀相關(guān)文獻(xiàn)資料,證明儲(chǔ)備知識(shí)的結(jié)論,再把相關(guān)的轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用于不同的題目,在課堂中很好的實(shí)現(xiàn)了文獻(xiàn)閱讀與寫作的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容,讓學(xué)生通過文獻(xiàn)閱讀實(shí)現(xiàn)舉一反三,授之以魚,不如授之以漁. 今后也可提供給學(xué)生優(yōu)秀的閱讀材料,讓學(xué)生去寫閱讀啟示,以及同類問題的解決方法等. 僅以本文給學(xué)生以示范,本課例應(yīng)該作為單元教學(xué)設(shè)計(jì),設(shè)計(jì)3 或4 個(gè)課時(shí)去完成,這節(jié)課為學(xué)生碰到新的圓錐曲線問題提供了方法上的指引,以至于不再畏懼冗長(zhǎng)復(fù)雜的各種圓錐曲線第二問.