深度學習視域下的“問題串”設(shè)計的教學案例*
——以“三角函數(shù)的概念”為例

廣東廣雅中學 (510160) 林才雄

長期以來,我們的教師勤勉而努力,但對于究竟如何在教學中實現(xiàn)對學生的核心素養(yǎng)的培養(yǎng),實現(xiàn)立德樹人的根本任務(wù),卻少有思考. 作為培養(yǎng)核心素養(yǎng)的重要途徑、觸及學生心靈的教學、教師充分發(fā)揮主導作用的活動,深度學習應(yīng)運而生[1].

深度學習,它強調(diào)教師的引領(lǐng)作用,它是教學活動而不是一般學習者的自學活動,學生要學習比自身現(xiàn)有水平高得多、難得多的內(nèi)容,還要以較短的時間、較快的速度去學習.

要突出教師的主導作用,使學生成為教學的主體,引發(fā)學生的深度學習,教師要做以下幾件事: ①確定學生自覺發(fā)展的“最近發(fā)展區(qū)”; ②確定通過什么樣的內(nèi)容來提升、發(fā)展學生,即轉(zhuǎn)化教學內(nèi)容,提供恰當?shù)摹敖虒W材料”; ③幫助學生“親身”經(jīng)歷知識的發(fā)現(xiàn)與建構(gòu)過程,使學生真正成為教學的主體[1].

下面,以高中數(shù)學新教材人教A 版第五章第二節(jié)“三角函數(shù)的概念”為例,給出深度學習視域下的“問題串”設(shè)計的教學案例.

1 情境引入

問題1-1在大型游樂場中,我們經(jīng)常會看到一種大型轉(zhuǎn)輪狀機械建筑設(shè)施——摩天輪,乘客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn),可以從高處俯瞰四周景色. 據(jù)了解,某摩天輪最高點距離地面168 米,轉(zhuǎn)盤直徑160 米,游客乘坐在座艙P,從距離地面最近的位置A處出發(fā),轉(zhuǎn)盤按照逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)一周約30 分鐘,請問在轉(zhuǎn)動過程中,座艙P距離地面的高度h是時間t的函數(shù)嗎? 為什么? 你能用學習過的函數(shù)來刻畫嗎?

生因為對于每一個確定的時間t(t＞0),都有唯一確定的一個高度h(8 ≤h≤168)和它對應(yīng),所以座艙P距離地面的高度h是時間t的函數(shù). 因為每隔30 分鐘,高度h的取值會重復出現(xiàn),具有周期變化的規(guī)律,所以不能用學習過的函數(shù)來刻畫.

設(shè)計意圖三角函數(shù)作為本章節(jié)的核心概念, 問題1-1是本節(jié)的核心問題,圍繞著大觀念,突出大概念,串聯(lián)學科知識,是滲透大觀念、落實大概念的基本載體[2]. 摩天輪也是大多數(shù)學生生活中常見的事物,具有親切感,但同時,問題1-1對只學習了一次、二次、冪、指、對數(shù)函數(shù)的學生來說,也是非常具有挑戰(zhàn)性的一個問題,引發(fā)了學生的認知沖突,吸引學生作進一步的學習探究.

問題1-2我們發(fā)現(xiàn)座艙P的位置具有周期變化的規(guī)律,你認為這是由什么因素造成的?

生座艙P圍繞轉(zhuǎn)盤中心O做勻速圓周運動.

設(shè)計意圖明確造成座艙P的位置具有周期變化規(guī)律的原因,為進一步簡化研究問題,進行數(shù)學建模做鋪墊,同時也發(fā)展學生的數(shù)學抽象、數(shù)學建模素養(yǎng).

問題1-3如圖,我們將問題簡化為,單位圓O上的動點P從點A出發(fā),按照逆時針方向做勻速圓周運動,借助平板上的ggb 幾何畫板,你認為可以用什么量來刻畫點P的位置呢?

師為了方便,以點O為原點,以射線OA為x軸的非負半軸,建立平面直角坐標系xOy,其中,點A的坐標為(1,0).

生1設(shè)射線OA從x軸的非負半軸開始,繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α,終邊為OP,那么點P的位置可以用角α的終邊與單位圓的交點來刻畫.

生2點P的位置還可以用點P的坐標(x,y)來刻畫.

師生1、生2 都說的很好,大家覺得用哪個量來刻畫點P的位置更好呢?

生3我覺得用角α來刻畫更好, 因為每隔2π的整數(shù)倍,角α的終邊會呈現(xiàn)周而復始的變化規(guī)律,更能體現(xiàn)點P的位置的變化特點.

生4我覺得用坐標(x,y)來刻畫更好,可以精確地告訴我們點P與x軸和y軸的距離.

師大家暢所欲言,表達了自己的觀點,非常好.

設(shè)計意圖學生通過親自動手的活動體驗,明確在平面直角坐標系中去刻畫動點P的位置的兩個關(guān)鍵要素——角α和坐標(x,y),自然而然引出了一類新的函數(shù)(三角函數(shù))的學習.

2 新知探究

問題2-1當時,點P的坐標是什么? 當或時,點P的坐標又是什么? 一般地,任意給定一個角α∈R,它的終邊OP與單位圓交點P的坐標(x,y)能唯一確定嗎?

生當時, 點P的坐標是; 當時, 點P的坐標是(0,1); 當時, 點P的坐標是; 一般地,任意給定一個角α,它的終邊OP是唯一確定的,它的終邊OP與單位圓交點P的坐標(x,y)也是唯一確定的.

設(shè)計意圖建立刻畫點P的位置的兩個要素之間的對應(yīng)關(guān)系,為接下來生成三角函數(shù)的概念作準備.

問題2-2你認為點P的坐標(x,y)是角α的函數(shù)嗎?如果是,你能用集合與對應(yīng)語言來刻畫這種函數(shù)關(guān)系嗎?

生1函數(shù)是數(shù)集與數(shù)集之間的對應(yīng)關(guān)系,雖然在弧度制下,任意給定一個角α,都可以用唯一確定的實數(shù)來表示,但坐標(x,y)對應(yīng)的是一個點,不是一個數(shù),所以不是函數(shù).

師說的非常好,點的坐標是有序?qū)崝?shù)對,是兩個數(shù),不是一個數(shù)!

生2那它們不存在函數(shù)關(guān)系了嗎? 納悶了!

師顯然點P的坐標(x,y)不是角α的函數(shù),大家覺得誰才是角α的函數(shù)呢?

生3我知道了,點P的縱坐標y才是角α的函數(shù),因為對于任意給定的一個角α∈R,都有唯一確定的點P的縱坐標y∈[-1,1]和它對應(yīng).

生4這樣的話,點P的橫坐標x也是角α的函數(shù),因為對于任意給定的一個角α∈R,也都有唯一確定的點P的橫坐標x∈[-1,1]和它對應(yīng).

師非常好,這些都是角α的函數(shù),其實我們還可以找到很多角α的其他函數(shù), 比如點P的縱坐標y與橫坐標x(x?= 0)的比值也是角α的函數(shù),因為對于任意給定的一個角也都有唯一確定的比值和它對應(yīng).

設(shè)計意圖回歸函數(shù)的概念,明確函數(shù)概念的本質(zhì),即兩個非空數(shù)集之間的“一對一”或“多對一”的對應(yīng)關(guān)系,從一般到特殊,感受作為一類特殊的函數(shù),三角函數(shù)并不神秘,它也具有函數(shù)的三要素.

3 概念生成

(板書)設(shè)角α是一個任意角,α∈R,它的終邊OP與單位圓相交于點P(x,y).

(1)把點P的縱坐標y叫做α的正弦函數(shù), 記作sinα,即y=sinα;

(2)把點P的橫坐標x叫做α的余弦函數(shù),記作cosα,即x=cosα;

(3)把點P的縱坐標與橫坐標的比值叫做α的正切函數(shù),記作tanα,即

我們把正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù),通常將它們記為: 正弦函數(shù)y= sinx,x∈R; 余弦函數(shù)y=cosx,x∈R;正切函數(shù)y=tanx,

4 概念辨析

問題3-1以正弦函數(shù)y= sinx,x∈R 為例,請說說三角函數(shù)與以往學習的函數(shù)的定義有什么不同?

生1三角函數(shù)是以角為自變量的一種函數(shù),不同于以往學習的函數(shù).

生2三角函數(shù)的對應(yīng)法則比較特殊, 比如, 正弦函數(shù)y= sinx,x∈R,它的對應(yīng)法則是角x的終邊與單位圓的交點的縱坐標.

師是的, 三角函數(shù)是一類特殊的函數(shù), 它以角為自變量,而且不同于以往學習的函數(shù)的對應(yīng)法則,包括用解析式(代數(shù)運算)或列表或圖象的形式給出的,它的對應(yīng)法則可看作是一種幾何操作的對應(yīng)關(guān)系.

設(shè)計意圖辨析三角函數(shù)的概念,明確其作為函數(shù)的三要素,同時,與以往學習的函數(shù)做對比,明確三角函數(shù)與以往學習的函數(shù)的異同點.

問題3-2在初中我們學了銳角三角函數(shù),知道它們都是以銳角為自變量,以比值為函數(shù)值的函數(shù). 那么本節(jié)定義的三角函數(shù)與初中定義的銳角三角函數(shù)之間有什么聯(lián)系呢?

生如圖, 設(shè)角的終邊與單位圓交于點P(x,y),過點P作x軸的垂線PM于點M,則|PM| =y,|OM| =x, |OP| = 1, 根據(jù)初中所學的銳角三角函數(shù)的定義, 可知

這三個函數(shù)值與本節(jié)定義的結(jié)果相等,說明本節(jié)定義的三角函數(shù)與初中定義的銳角三角函數(shù)是一致的,同時本節(jié)的定義適用于任意角,它是對初中銳角三角函數(shù)概念的統(tǒng)一和拓展.

設(shè)計意圖對比初中銳角三角函數(shù)與高中三角函數(shù)的概念,從特殊到一般,感受高中三角函數(shù)定義的統(tǒng)一性、優(yōu)越性,從而對三角函數(shù)有了更高層次的認識與體會,在學生已有的經(jīng)驗與新知識之間建立意義關(guān)聯(lián),促進新知識的學習.

5 概念應(yīng)用

問題4-1求角的正弦、余弦和正切值.

生在直角坐標系中, 作得到角的終邊與單位圓的交點坐標所以

設(shè)計意圖應(yīng)用三角函數(shù)的定義,明確求解已知角的三角函數(shù)值的基本步驟,深化學生對三角函數(shù)的定義的理解.

問題4-2

(1) 已知角α的終邊經(jīng)過點, 求角α的正弦、余弦和正切值;

(2)已知角α的終邊經(jīng)過點P(-4,3),求角α的正弦、余弦和正切值;

(3)已知角α的終邊經(jīng)過點P(x,y),求角α的正弦、余弦和正切值;

(4)角α的各個三角函數(shù)值會隨著終邊上點P選取的改變而改變嗎?

設(shè)計意圖應(yīng)用三角函數(shù)的定義求已知角的三角函數(shù)值,首先要確定角的終邊與單位圓的交點坐標,然后才能根據(jù)定義,求出角的三個三角函數(shù)值. 而當已知角的終邊上的任意一點的坐標時,根據(jù)三角形相似的原理,也可以得出所求角的三個三角函數(shù)值,而且所求值與終邊上的點的位置無關(guān),從而得到三角函數(shù)定義的推廣形式,深化學生對三角函數(shù)概念的認識,以及用單位圓來定義三角函數(shù)的便捷性、優(yōu)越性.

附三角函數(shù)定義的推廣形式

設(shè)角α是一個任意角,P(x,y)是α終邊上任意一點,點P與原點的距離

6 課堂總結(jié)與課后作業(yè)(略)

“問題串”設(shè)計的教學模式,是教師對教學內(nèi)容的重新整合,對學習對象的深度加工,同時,學生通過問題串,有了自主的活動,并通過活動領(lǐng)會教學內(nèi)容的內(nèi)在意義,才有了以學生為主體的深度學習.

總的來說,“問題串”設(shè)計的教學模式是一種高效的教學方式,減輕了學生的學習負擔,也讓學生的自主學習能力得到了提升,符合新課程改革的要求[4]. 在教學實踐中熟練地運用“問題串”設(shè)計教學,可以說為數(shù)學學科的深度學習提供了一種重要教學方式.