基于深度學(xué)習(xí)下的概念課實踐*
——以函數(shù)的零點與方程的解為例

廣東省興寧市第一中學(xué)(514500) 賴海波

深度學(xué)習(xí)是機器學(xué)習(xí)的一種,是實現(xiàn)人工智能的必經(jīng)路徑,是一個源于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究的概念. 課堂教學(xué)中,借助合理的深度學(xué)習(xí),全面構(gòu)建數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)共同體,有效提升數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力等,是提升課堂教學(xué)效果的一個重要途徑. 特別在概念教學(xué)過程中,深度學(xué)習(xí)顯得更為重要.

1 深度學(xué)習(xí)的必要性

1.1 探究概念的來龍去脈

借助深度學(xué)習(xí),合理挖掘概念的根源,培養(yǎng)學(xué)生對知識探究的濃厚興趣和探究欲望. 通過自身對數(shù)學(xué)概念的探究,加強內(nèi)驅(qū)力,進而理清概念發(fā)展的脈絡(luò),構(gòu)建與之相關(guān)的概念體系與數(shù)學(xué)知識體系,對知識的學(xué)習(xí)與體系的構(gòu)建很有幫助.

1.2 拓展知識的深層理解

借助深度學(xué)習(xí),在表層概念的基礎(chǔ)上,通過對概念等知識的批判性的理解與接收,合理內(nèi)化,融入自身已有的知識系統(tǒng)中去,合理實現(xiàn)與已有認(rèn)知與知識的連接與聯(lián)系,從而加大加深對知識的理解與應(yīng)用,為知識的遷移與學(xué)習(xí)拓展更加廣闊的空間.

1.3 注重知識的交匯融合

借助深度學(xué)習(xí),對相關(guān)概念的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上,進一步加深與其他知識的聯(lián)系與關(guān)聯(lián),從而構(gòu)建起不同知識之間的交匯與融合,開拓知識的枝蔓,強化新知識內(nèi)化以及與原有知識之間的聯(lián)系,形成一個更加綜合的新模式.

1.4 養(yǎng)成良好的核心素養(yǎng)

借助深度學(xué)習(xí),在概念等相關(guān)知識理解與掌握的基礎(chǔ)上,融入數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象以及數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng),更能批判性地學(xué)習(xí)新思想和新知識,并巧妙融入已有的認(rèn)知與知識體系中去,形成對知識的更深層次的理解與遷移,培養(yǎng)學(xué)生的思想方法、創(chuàng)新意識與數(shù)學(xué)能力.

2 深度學(xué)習(xí)的課堂實踐

2.1 導(dǎo)學(xué)聚焦

教材考點學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)函數(shù)零點的概念及求法理解函數(shù)零點的定義,會求函數(shù)的零點數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算函數(shù)零點的判斷掌握函數(shù)零點的判斷方法,會判斷函數(shù)零點的個數(shù)及其所在區(qū)間邏輯推理、直觀想象函數(shù)零點的應(yīng)用會根據(jù)函數(shù)零點的情況求參數(shù)數(shù)學(xué)運算、直觀想象

理清學(xué)習(xí)目標(biāo)與考點,對應(yīng)相應(yīng)的核心素養(yǎng),為課堂的概念教學(xué)確立明確的目標(biāo)與理念,圍繞這些基本目標(biāo)來學(xué)習(xí).

2.2 問題導(dǎo)學(xué)

預(yù)習(xí)人教A 版2019 必修第一冊P142-P144,并思考以下問題:

(1)函數(shù)零點的概念是什么?

(2)如何判斷函數(shù)的零點?

(3)方程的根、函數(shù)的圖象與x軸的交點、函數(shù)的零點三者之間的聯(lián)系是什么?

強調(diào)自主學(xué)習(xí),也為深度學(xué)習(xí)提供條件與過渡. 在學(xué)生自主學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上,通過課堂的概念教學(xué)加以深入,全面提升深度學(xué)習(xí)的效果.

2.3 概念形成

(1)概念: 對于一般函數(shù)f(x),我們把使f(x) = 0 的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點.

(2)方程的根、函數(shù)的圖象與x軸的交點、函數(shù)的零點三者之間的聯(lián)系

提出問題: (1)函數(shù)的零點是點嗎?

提示: 函數(shù)的零點不是一個點,而是一個實數(shù),當(dāng)自變量取該值時,其函數(shù)值等于零.

提出問題: (2)函數(shù)的零點個數(shù)、函數(shù)的圖象與x軸的交點個數(shù)、方程f(x)=0 根的個數(shù)有什么關(guān)系?

提示: 相等.

提出問題: (3)結(jié)合所學(xué)的基本初等函數(shù)(如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)),思考是否所有的函數(shù)都有零點? 并說明理由.

提示: 不一定. 因為函數(shù)的零點就是方程的根,但不是所有的方程都有根,所以說不是所有的函數(shù)都有零點. 如: 指數(shù)函數(shù),其圖象都在x軸的上方,與x軸沒有交點,故指數(shù)函數(shù)沒有零點.

不停留在概念的表層,通過提出問題,反饋信息,深度理解并掌握相關(guān)概念的深層次的內(nèi)涵與實質(zhì),也是深度學(xué)習(xí)的一個層面.

2.4 定理剖析

函數(shù)零點存在定理:

條件 (1)函數(shù)y =f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線.(2)f(a)·f(b)＜0.結(jié)論 函數(shù)y =f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個零點,即存在c ∈(a,b),使得f(c)=0,這個c 也就是方程f(x)=0 的根.

提出問題: (1)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,f(a)·f(b)＜0 時,能否判斷函數(shù)在區(qū)間(a,b)上的零點個數(shù)?

提示: 不能.

提出問題: (2)在零點存在定理中,若f(a)·f(b)＜0,則函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)存在零點. 則滿足什么條件時f(x)在(a,b)上有唯一零點?

提示:f(x)在(a,b)內(nèi)為單調(diào)函數(shù).

提出問題: (3)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有零點,是不是一定有f(a)·f(b)＜0?

提示: 不一定,如f(x) =x2在區(qū)間(-1,1)上有零點0,但是f(-1)·f(1)=1×1=1＞0.

加深對定理的理解與掌握,全方位、多層面加以理解與掌握,也為零點的應(yīng)用這一深度學(xué)習(xí)目標(biāo)提供依據(jù).

2.5 零點應(yīng)用

2.5.1 零點的確定

A. {1} B. {-1}

C. {-1,1} D. {-1,0,1}

解析: 當(dāng)x≤0 時,f(x) =x+1 = 0?x= -1; 當(dāng)x＞0 時,f(x) = log2x= 0?x= 1,所以函數(shù)f(x)的所有零點構(gòu)成的集合為{-1,1},故選擇答案: C.

規(guī)律方法總結(jié): 求函數(shù)y=f(x)的零點通常有兩種方法: 一是令f(x) = 0,根據(jù)解方程f(x) = 0 的根求得函數(shù)的零點;二是畫出函數(shù)y=f(x)的圖象,圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點.

2.5.2 零點的區(qū)間

A. (1,2) B. (2,3)

C. (3,4) D. (e,+∞)

解析: 因為f(1)=-2＜0,f(2)=ln 2-1＜0,所以在(1,2)內(nèi)f(x)無零點,選項A 錯;又所以f(2)·f(3)＜0,所以f(x)在(2,3)內(nèi)有零點,故選擇答案: B.

規(guī)律方法總結(jié): 判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的3 個步驟:①代入: 將區(qū)間端點值代入函數(shù)解析式求出相應(yīng)的函數(shù)值;②判斷: 把所得的函數(shù)值相乘,并進行符號判斷; ③結(jié)論: 若符號為正且函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù),則在該區(qū)間內(nèi)無零點,若符號為負且函數(shù)連續(xù),則在該區(qū)間內(nèi)至少有一個零點.

2.5.3 零點的個數(shù)

例3. 函數(shù)f(x) = lnx+x2-3 的零點的個數(shù)為____個.

解析: 因為f(1) = -2,f(2) = ln 2 + 1＞0, 所以f(1)·f(2)＜0, 又f(x) = lnx+x2- 3 的圖象在(1,2)上是不間斷的, 所以f(x) 在(1,2) 上必有零點, 又f(x) 在(0,+∞)上是單調(diào)遞增的,所以零點只有一個,故填答案: 1.

規(guī)律方法總結(jié): 判斷函數(shù)存在零點的2 種方法: ①方程法: 若方程f(x) = 0 的解可求或能判斷解的個數(shù),可通過方程的解來判斷函數(shù)是否存在零點或判定零點的個數(shù); ②圖象法: 由f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出y1=g(x)和y2=h(x)的圖象,根據(jù)兩個圖象交點的個數(shù)來判定函數(shù)零點的個數(shù).

2.5.4 交點的確定

例4. 函數(shù)f(x)=xlg(x+2)-1 的圖象與x軸的交點個數(shù)有____個.

解析: 令x·lg(x+2)-1=0,所以畫出函數(shù)y= lg(x+ 2)與函數(shù)在區(qū)間(-2,+∞) 上的圖象, 如圖所示,那么相應(yīng)的函數(shù)圖象有2 個交點,故填答案: 2.

規(guī)律方法總結(jié): 這類問題一般不易解方程求解,而是根據(jù)圖象與性質(zhì)直接判斷,尤其是那些方程兩端對應(yīng)的函數(shù)類型不同的方程,多以數(shù)形結(jié)合方法求解.

2.5.5 參數(shù)的求解

例5. 若函數(shù)f(x)=mx2-2x+3 只有一個零點,求實數(shù)m的取值范圍.

解析: (1)當(dāng)m= 0 時,函數(shù)f(x) = -2x+3 是一次函數(shù),令f(x)=0 得函數(shù)f(x)=mx2-2x+3 只有一個零點,符合題意;(2)當(dāng)m/=0 時,函數(shù)f(x)=mx2-2x+3是二次函數(shù),要使函數(shù)只有一個零點,應(yīng)使方程f(x) = 0 只有一個實數(shù)根,因此Δ=(-2)2-4×m×3=0,得

綜上分析,實數(shù)m的取值范圍是m=0 或

規(guī)律方法總結(jié): 已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)取值范圍的方法: ①直接法: 直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍; ②分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,然后轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決; ③數(shù)形結(jié)合法: 先對解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解[1].

借助零點的應(yīng)用,多視角多層面展開,有效應(yīng)用并驗證函數(shù)的零點概念與函數(shù)零點存在定理,也為具體問題的分析與求解提供條件,并進一步總結(jié)規(guī)律方法,這才是深度學(xué)習(xí)的目的之一.

3 深度學(xué)習(xí)的教學(xué)啟示

3.1 把握學(xué)情,合理設(shè)計

數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)具有本源性、聯(lián)系性、整合性和建構(gòu)性等特征,在實際數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過程中,要充分挖掘數(shù)學(xué)概念及其對應(yīng)的課程資源,調(diào)動學(xué)生的主體性并合理把握學(xué)生的實際情況,巧妙設(shè)計深度學(xué)習(xí)的課堂教學(xué)實踐過程,兼顧數(shù)學(xué)課程和學(xué)生學(xué)情之間合理鏈接,有機銜接,自然過渡,而不是構(gòu)建概念學(xué)習(xí)的“空中樓閣”與抽象思維,落到實處,才能真正推進數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí),形成有效深度學(xué)習(xí)[2].

3.2 緩慢過程,逐步提升

借助數(shù)學(xué)概念的教學(xué),結(jié)合解題研究,從數(shù)學(xué)概念的淺顯理解走向深刻掌握,并借助實例應(yīng)用,形成概念學(xué)習(xí)的逐漸上升與螺旋前進的過程,是數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究中追求的一種理想狀態(tài),需要師生不斷加以反饋與加深,才能形成良好的深度學(xué)習(xí),培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)習(xí)慣,提升數(shù)學(xué)能力.

學(xué)生借助深度學(xué)習(xí),進一步完善數(shù)學(xué)的知識體系,形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu),逐步實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從“學(xué)會”到“會學(xué)”,并不斷過渡到“會用”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)新境界,形成數(shù)學(xué)能力,提升數(shù)學(xué)品質(zhì),發(fā)展核心素養(yǎng)[2].