巧用類(lèi)比讓思維向深處漫溯*
——以“角”的教學(xué)為例

江蘇省南京江北新區(qū)浦口外國(guó)語(yǔ)學(xué)校(210031)高凱亮

類(lèi)比一詞源自于古希臘,原來(lái)是指“比例、比重”的含義,隨著語(yǔ)言的發(fā)展,被翻譯為具有等比重關(guān)系類(lèi)似地事物. 所謂類(lèi)比,是指兩種類(lèi)似地事物根據(jù)一種事物的性質(zhì)或特征推理出另一種事物也具有相同(相似)的性質(zhì)或特征,它是合情推理的重要方式之一,也是教學(xué)中常用的方法. 下文將蘇科版教材七上“角”模塊的內(nèi)容進(jìn)行整合,類(lèi)比線段的學(xué)習(xí)過(guò)程構(gòu)建出角的研究路徑,“課前、課中、課后”逐步滲透類(lèi)比思想. 在知識(shí)層面上,讓學(xué)生自主認(rèn)識(shí)到線段、角兩種基本平面圖形定義方式所存在的“異”;在學(xué)習(xí)方法層面上,引領(lǐng)學(xué)生體會(huì)線段、角兩種基本平面圖形研究路徑的“同”;幫助學(xué)生建立具有支撐意義的結(jié)構(gòu)化知識(shí)體系[1].

1 整體視角下“角”的教學(xué)內(nèi)容分析及思考

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022 版)》指出需要注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化,幫助學(xué)生從整體上把握學(xué)習(xí)內(nèi)容[1].“角”的學(xué)習(xí)內(nèi)容在蘇科版教材七上第六章,教材預(yù)計(jì)兩個(gè)課時(shí)完成,但是在實(shí)際教學(xué)中,往往需要3 個(gè)課時(shí)才能完成. 筆者執(zhí)教前將該模塊內(nèi)容整合成以下3 個(gè)課時(shí),第1 課時(shí)教學(xué)內(nèi)容為類(lèi)比線段的學(xué)習(xí)路徑構(gòu)建出角的學(xué)習(xí)路徑并展開(kāi)研究,第2 課時(shí)教學(xué)內(nèi)容為角的綜合計(jì)算,第3 課時(shí)教學(xué)內(nèi)容為做一個(gè)角等于已知角. 整合教學(xué)內(nèi)容的目的有兩個(gè),第一,體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征的課程內(nèi)容;第二,為類(lèi)比線段研究角提供有力載體;在此過(guò)程中讓學(xué)生感悟到知識(shí)的整體性與連續(xù)性,為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)“圖形與幾何”模塊內(nèi)容奠定基礎(chǔ).

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2 “前測(cè)”內(nèi)容設(shè)計(jì)說(shuō)明及數(shù)據(jù)分析

2.1 “前測(cè)”內(nèi)容設(shè)計(jì)說(shuō)明

小學(xué)階段學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)“線段、角”這兩種基本平面圖形, 該內(nèi)容在蘇科版教材四年級(jí)上冊(cè)第八章垂線與平行線,學(xué)習(xí)的順序仍是先認(rèn)識(shí)線段再認(rèn)識(shí)角,小學(xué)階段“角”的學(xué)習(xí)內(nèi)容如下: (1)會(huì)用量角器度量角的大??；(2)了解角的分類(lèi)(銳角、直角、鈍角)；(3)了解特殊角(直角、平角、周角)；(4)能用三角板畫(huà)15°倍數(shù)的角. 有見(jiàn)及此,筆者執(zhí)教前給全班45位學(xué)生做了一份“前測(cè)”. 第1 題是考察學(xué)生能否從宏觀角度自主構(gòu)建出角的研究路徑;第2 題是考察學(xué)生對(duì)銳角、直角、鈍角的認(rèn)識(shí),是否能用角的組成元素或角的動(dòng)態(tài)形成過(guò)程給角下定義;第3 題是考察學(xué)生是否能將比較線段大小的方法(度量法、疊合法)類(lèi)比遷移至比較角的大小; 第4 題是考察學(xué)生是否能將數(shù)線段的方法類(lèi)比遷移至角中;第5 題是考察學(xué)生是否能自主將線段的題目改編成角的題目. 綜上分析,前測(cè)的目的主要是有兩個(gè),第一,檢測(cè)學(xué)生對(duì)于角的認(rèn)識(shí)到達(dá)哪一個(gè)結(jié)構(gòu)層次;第二,能否將線段的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)自主地遷移至角的研究中.

2.2 “前測(cè)”數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)及分析

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通過(guò)收集、統(tǒng)計(jì)、整理“前測(cè)”數(shù)據(jù),獲得每一題不同答題表征及班級(jí)人數(shù)占比,從第1 題來(lái)看,能類(lèi)比線段的學(xué)習(xí)路徑從宏觀角度構(gòu)建出角的研究路徑人數(shù)占比為37.8%,所占比例不高;筆者分析后認(rèn)為,線段是學(xué)生初中階段“圖形與幾何”模塊第一個(gè)從宏觀與微觀兩個(gè)視角研究的基本平面圖形,學(xué)生僅經(jīng)歷一次系統(tǒng)地學(xué)習(xí)基本平面圖形(線段),沒(méi)有形成一個(gè)固定研究幾何圖形的“套路”,這應(yīng)該屬于正?，F(xiàn)象. 從第2 題來(lái)看,學(xué)生能準(zhǔn)確區(qū)分銳角、直角、鈍角的正確率高達(dá)100.0%,但是對(duì)于從靜態(tài)(角的組成元素)描述角的正確率較低,甚至沒(méi)有學(xué)生從動(dòng)態(tài)的視角描述角.

因此,第1 節(jié)課引導(dǎo)學(xué)生從動(dòng)態(tài)角度認(rèn)識(shí)角是一個(gè)重要的教學(xué)目標(biāo). 從第3 題來(lái)看,會(huì)用量角器度量判斷圖中兩個(gè)角一樣大的人數(shù)占比高達(dá)100.0%,但是能用疊合法判斷圖中兩個(gè)角一樣大的人數(shù)占比僅11.1%,班級(jí)人數(shù)占比較低,歸根結(jié)底是沒(méi)有從動(dòng)態(tài)的眼光看圖所導(dǎo)致的. 從第4 題來(lái)看,大部分學(xué)生能夠找出所有的角,但是能夠表達(dá)清楚找角的方法的人數(shù)占比有所降低,因此,后續(xù)教學(xué)中筆者需要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力以及解題方法的總結(jié)能力. 從第5題來(lái)看,學(xué)生能夠?qū)⒕€段的題目完全正確改寫(xiě)為角的題目人數(shù)占比略低,部分學(xué)生能夠?qū)㈩}目完全改寫(xiě)正確,但是解題過(guò)程中缺少分類(lèi)討論的意識(shí),產(chǎn)生漏解的情況. 第5 題對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定的難度,能將題目改寫(xiě)正確的人數(shù)占比還是略低,這是學(xué)生類(lèi)比遷移的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)較弱導(dǎo)致的,這也正為筆者在后續(xù)教學(xué)中指引了正確的教學(xué)方向.

綜上分析,“角”模塊第1 課時(shí)制定的教學(xué)目標(biāo)如下: (1)回顧線段的學(xué)習(xí)路徑構(gòu)建“角”的研究路徑;能從靜態(tài)與動(dòng)態(tài)兩個(gè)視角描述角,會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)表示角;(2)能用度量法、疊合法比較角的大小(重點(diǎn)是疊合法,度量法學(xué)生已經(jīng)掌握);(3)能正確進(jìn)行角的和差運(yùn)算,會(huì)進(jìn)行單位換算;(4)了解角平分線的定義,能從動(dòng)態(tài)的眼光認(rèn)識(shí)角平分線;(5)通過(guò)“課中、課后改題”,感悟類(lèi)比思想.

“角”模塊第2 課時(shí)制定的教學(xué)目標(biāo)如下: (1) 通過(guò)改編線段題目,將“雙中點(diǎn)”模型類(lèi)比遷移出“雙角平分線”模型,能用“因?yàn)椤浴钡姆绞竭M(jìn)行推理,弄清“因”與“果”的關(guān)系(2)通過(guò)“課前改題、課中分享、課后再改題”三個(gè)循序漸進(jìn)的環(huán)節(jié),深刻感悟類(lèi)比思想的魅力.

3 教學(xué)設(shè)計(jì)

3.1 “角”第1 課時(shí)教學(xué)過(guò)程

問(wèn)題1上節(jié)課我們研究了線段,本節(jié)課研究角,應(yīng)該從哪些方面對(duì)角展開(kāi)研究呢?

追1從哪兒獲得的經(jīng)驗(yàn)? (形成研究角的內(nèi)容框架)

問(wèn)題2請(qǐng)畫(huà)出一個(gè)角,根據(jù)你畫(huà)出的圖形(或過(guò)程),嘗試給角下定義.

追1如果沒(méi)有方向的同學(xué)請(qǐng)觀察你畫(huà)的角,它們的組成元素是什么呢? (歸納出靜態(tài)角的定義)

追2生活中見(jiàn)過(guò)角嗎? 舉例說(shuō)明.

追3用筆“比劃”一下角的形成過(guò)程,還可以怎么給角下定義呢? (歸納出動(dòng)態(tài)角的定義)

追4下面,我們看看如何表示角.

問(wèn)題3如何比較角的大小?

追1“前測(cè)”第3 題大部分同學(xué)是用量角器度度量出角的度數(shù),進(jìn)而比較出角的大小. 還有別的方法嗎? (疊合法)

追2從哪兒獲得的經(jīng)驗(yàn)?

追3角的單位除了度以外,還有哪些呢? 一起了解一下吧.

練習(xí)0.7°=____′;78°54′=____°.

問(wèn)題4圖中存在角的和差關(guān)系嗎? 若存在,請(qǐng)寫(xiě)出.

追1若射線OB在∠AOC內(nèi)部運(yùn)動(dòng),射線OB是否存在比較特殊的位置呢?

追2如何說(shuō)明射線OB運(yùn)動(dòng)到∠AOC“中間”的位置就一定是∠AOC的角平分線呢?

追3用量角器度量出∠AOB和∠BOC的大小,如果兩個(gè)角的度數(shù)一樣,那么射線OB是∠AOC的角平分線.

追4還有別的方法嗎? 能從其它視角驗(yàn)證嗎? (引導(dǎo)學(xué)生從動(dòng)態(tài)視角驗(yàn)證,沿射線OB翻折)

問(wèn)題5請(qǐng)大家看前測(cè)第5 題,我們來(lái)改寫(xiě)這道線段的題目.

追1線段AB在這道題目當(dāng)中處于什么地位呢? (是最長(zhǎng)的線段)若改寫(xiě)為角的題目應(yīng)該是這道題目中最大的角.

追2點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn),對(duì)應(yīng)到角的題目中是什么條件呢? (射線OC是∠AOB的角平分線)

追3點(diǎn)D在直線CB上,且DB=2;對(duì)應(yīng)到角的題目中是什么條件呢? (∠DOB等于某個(gè)度數(shù),但不會(huì)比∠COB的度數(shù)大)

追4求線段CD長(zhǎng),對(duì)應(yīng)到角的題目中是什么問(wèn)題呢?(求∠COD的度數(shù))

師生活動(dòng)師生共同改寫(xiě)好題目后,學(xué)生先嘗試獨(dú)立解決,教師分步適時(shí)介入指導(dǎo),前測(cè)完全正確的學(xué)生和教師一起在班級(jí)巡視,幫助有困難的學(xué)生.

問(wèn)題6學(xué)完本節(jié)課,你有哪些收獲?

師生活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生從宏觀視角總結(jié)出“角”的研究路徑,固化研究基本平面圖形的“套路”;小組討論總結(jié)“線段的題目”改寫(xiě)為“角的題目”的心得與收獲(教師在以上教學(xué)中形成結(jié)構(gòu)化的板書(shū)).

3.2 “角”第1 課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)及說(shuō)明

部分作業(yè)設(shè)計(jì)請(qǐng)將兩道與線段相關(guān)的題目改寫(xiě)成角的題目.

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設(shè)計(jì)說(shuō)明“角”第1 課時(shí)的作業(yè)盡量以基礎(chǔ)題目為主,圖形不建議過(guò)于復(fù)雜,筆者在課后作業(yè)中設(shè)計(jì)了2 個(gè)探究性問(wèn)題,第1 題可改寫(xiě)為角的“等量±等量”問(wèn)題;第2 題可改寫(xiě)為“雙角平分線”模型;目的是給學(xué)生提供課后類(lèi)比線段學(xué)習(xí)的載體.

3.3 “角”第2 課時(shí)教學(xué)過(guò)程

設(shè)計(jì)說(shuō)明教師講解“角”第1 課時(shí)作業(yè)基礎(chǔ)題中出現(xiàn)的典型問(wèn)題. 分析如何將圖8 中線段題目改寫(xiě)成角的題目,并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)獲得的一般性結(jié)論進(jìn)行證明,用“因?yàn)椤浴钡姆绞竭M(jìn)行推理,弄清“因”與“果”的關(guān)系.

3.4 “角”第2 課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)及說(shuō)明

作業(yè)設(shè)計(jì)請(qǐng)?jiān)谡n本線段模塊選擇3 道題目改寫(xiě)成角的題目;也可以嘗試對(duì)線段的題目進(jìn)行改編后再改寫(xiě).

設(shè)計(jì)說(shuō)明教師講解“角”第2 課時(shí)作業(yè)時(shí),盡可能多展示一些學(xué)生的作品, 并引導(dǎo)學(xué)生分析如何對(duì)題目進(jìn)行變式,例如,將問(wèn)題特殊化、一般化、條件與結(jié)論互換等.

4 總結(jié)與反思

4.1 “適時(shí)”類(lèi)比,把握教學(xué)時(shí)機(jī)

有效的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)和教師教的統(tǒng)一,學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體,教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者. 教師在課堂教學(xué)中分步適時(shí)介入指導(dǎo)需要找準(zhǔn)時(shí)機(jī),達(dá)到“不憤不啟,不悱不發(fā)”的境界. 筆者在課前對(duì)教材分析時(shí)發(fā)現(xiàn),該內(nèi)容學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò),由此,給全班45 名學(xué)生做了一份前測(cè),其目的是精準(zhǔn)定位本節(jié)課的起點(diǎn)、生長(zhǎng)點(diǎn)與延伸點(diǎn),明確在課堂上什么環(huán)節(jié)需要“啟、發(fā)”. 前測(cè)完全正確的學(xué)生和教師在班級(jí)中巡視,幫助有困難的學(xué)生,點(diǎn)撥過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生回顧是如何解決改編前的線段問(wèn)題,類(lèi)似角的問(wèn)題應(yīng)該如何解決,教會(huì)學(xué)生如何想問(wèn)題. 課堂中把握好教學(xué)的時(shí)機(jī),能大大提高課堂效率.

4.2 “適度”類(lèi)比,深化知識(shí)理解

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022 版)》指出教師需要在課前明確“為什么教”、“教什么”、“教到什么程度”,這能夠有助于教師實(shí)現(xiàn)“教學(xué)評(píng)”一致性. 眾所周知,從動(dòng)態(tài)角度觀察圖形是“圖形與幾何”模塊中重要的觀察視角. 通過(guò)統(tǒng)計(jì)前測(cè)第2 題數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn),全班所有學(xué)生對(duì)角的描述沒(méi)有動(dòng)態(tài)視角,因此,教師在生成角的定義環(huán)節(jié),把從動(dòng)態(tài)視角描述角作為該環(huán)節(jié)的重點(diǎn),筆者執(zhí)教時(shí)通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生從“畫(huà)角—靜態(tài)描述角—列舉生活中的角—用筆“比劃”角—?jiǎng)討B(tài)描述角”五個(gè)循序漸進(jìn)的環(huán)節(jié)展開(kāi),讓學(xué)生對(duì)“角”有更深刻的認(rèn)識(shí).在疊合法比較角的大小、軸對(duì)稱視角再次認(rèn)識(shí)角(角平分線環(huán)節(jié))兩個(gè)環(huán)節(jié)都有意識(shí)地放慢“腳步”,增強(qiáng)學(xué)生從動(dòng)態(tài)視角觀察幾何圖形的意識(shí).

4.3 類(lèi)比思想主導(dǎo),課后設(shè)計(jì)“適量”的思維生長(zhǎng)鏈

法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾說(shuō):“如果你想感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)與真諦,那么歸納和類(lèi)比是你的主要工具”[3]. 很多數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)都用到類(lèi)比思想,例如,筆者在“角”的第1 課時(shí)課后作業(yè)中設(shè)計(jì)了讓學(xué)生將線段的問(wèn)題改寫(xiě)成角的問(wèn)題,第2 節(jié)課是第1 節(jié)課作業(yè)的延續(xù),第2 課時(shí)課后作業(yè)中設(shè)計(jì)了讓學(xué)生在課本中任選3 道線段的題目改寫(xiě)成角的題目,并思考在求解過(guò)程中你有沒(méi)有什么特殊的發(fā)現(xiàn)? 發(fā)現(xiàn)的結(jié)論具有一般性嗎? 說(shuō)明理由,讓學(xué)生在情境中自主的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題,線段存在的問(wèn)題,猜想角是否也會(huì)存在呢? 從真正意義上做到將學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生. 從某種意義來(lái)說(shuō),設(shè)計(jì)適量類(lèi)似于上文中這樣的作業(yè),不僅能夠讓知識(shí)、思維自然生長(zhǎng),還是對(duì)學(xué)生思考問(wèn)題的方式、學(xué)習(xí)方法等諸多方面的指導(dǎo).

5 結(jié)束語(yǔ)

類(lèi)比思想僅憑幾節(jié)課就能夠讓學(xué)生應(yīng)用自如過(guò)于理想化,教師在教學(xué)中不僅需要在課堂上給學(xué)生播下一顆如何思考問(wèn)題的種子,還需要在課后作業(yè)中設(shè)計(jì)知識(shí)、思維的生長(zhǎng)鏈;從真正意義上實(shí)現(xiàn)“教師主導(dǎo)與學(xué)生主體”的完美統(tǒng)一.