基于素養(yǎng)立意的命題思考
——2022 年山東省威海市數(shù)學(xué)中考第24 題賞析

福建省廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校海滄附屬學(xué)校(361026) 王晴

普通高中以及義教課標(biāo)相繼提出核心素養(yǎng). 發(fā)展核心素養(yǎng)已成為各學(xué)段的教學(xué)目標(biāo),相應(yīng)的學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)從關(guān)注知識(shí)到關(guān)注人的全面發(fā)展,命題導(dǎo)向也從能力立意轉(zhuǎn)變?yōu)樗仞B(yǎng)立意.[1]素養(yǎng)立意體現(xiàn)在命題堅(jiān)持以核心素養(yǎng)的發(fā)展與考查作為命題的出發(fā)點(diǎn);在知識(shí)、技能、能力融通中測(cè)評(píng)學(xué)生的素養(yǎng)水平,使考試真正起到促進(jìn)教學(xué)改革的作用,更好體現(xiàn)教—學(xué)—評(píng)的一致性. 筆者結(jié)合2022 年山東省威海市中考第24 題,闡述對(duì)素養(yǎng)立意命題的理解及思考.

1 素養(yǎng)立意命題的理解

1.1 素養(yǎng)立意試題的特點(diǎn)

素養(yǎng)并非先天,是學(xué)生在長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)生活情境中所發(fā)展形成的關(guān)鍵能力及必備品格,是可測(cè)可評(píng)的. 素養(yǎng)立意不僅強(qiáng)調(diào)常規(guī)問(wèn)題解決技能、能力的考查,更強(qiáng)調(diào)知識(shí)的遷移與應(yīng)用,創(chuàng)造性探究能力的考查. 能力立意試題,其試題結(jié)構(gòu)完整,對(duì)解題速度和準(zhǔn)確度有一定要求,并且有一定的解法可循. 而素養(yǎng)立意試題與其有所不同,該試題特點(diǎn)為: 題目結(jié)構(gòu)不良,問(wèn)題開(kāi)放,無(wú)固化答題模式,伴有整體性、情境性等真實(shí)任務(wù),能更清晰準(zhǔn)確評(píng)價(jià)學(xué)生的智力水平、思考深度及思維習(xí)慣[1].

1.2 素養(yǎng)立意試題的命題思路

如何命制一道素養(yǎng)立意的試題? 素養(yǎng)立意命題最終為了實(shí)現(xiàn)素養(yǎng)發(fā)展,學(xué)科育人價(jià)值. 命題源于對(duì)教學(xué)的思考,因此提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)實(shí)踐為素養(yǎng)立意命題提供切實(shí)可行的命題思路. 筆者認(rèn)為可以從以下三個(gè)方面入手:

1.2.1 從具體問(wèn)題情境中尋找命題點(diǎn)[2]

問(wèn)題情境是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的土壤,素養(yǎng)立意試題的命制離不開(kāi)問(wèn)題情境. 如: 我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開(kāi)立圓術(shù)”曰: 置積尺數(shù). 以十六乘之,九而一,所得開(kāi)立方除之,即立圓徑．“開(kāi)立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積V,求其直徑d的一個(gè)近似公式我們知道球的體積公式為那么利用開(kāi)立圓術(shù)求直徑相當(dāng)于體積公式中的π=____. 本題以古代數(shù)學(xué)文化為問(wèn)題情境,充分考查閱讀理解、運(yùn)算能力、推理能力以及數(shù)學(xué)文化素養(yǎng). 考查學(xué)生能夠根據(jù)題意提取關(guān)鍵信息,利用球的體積V建立等式,通過(guò)消元求出π的近似值.

1.2.2 從研究問(wèn)題的一般路徑尋找命題點(diǎn)[2]

新課標(biāo)學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)指出,以結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知識(shí)主題為載體,在形成與發(fā)展“四基”的過(guò)程中評(píng)估學(xué)生核心素養(yǎng)達(dá)成情況. 在教學(xué)的過(guò)程中,引導(dǎo)學(xué)生掌握研究問(wèn)題的一般方法,有助于學(xué)生進(jìn)行類(lèi)比遷移,形成知識(shí)體系. 例如在幾何的學(xué)習(xí)中,常按照定義、表示、分類(lèi)、性質(zhì)、判定的研究路徑展開(kāi),可以通過(guò)命制一道讓學(xué)生自主探究一個(gè)新幾何圖形的試題,以此考查是否達(dá)到素養(yǎng)目標(biāo)要求.

1.2.3 從學(xué)科知識(shí)本質(zhì)尋找命題點(diǎn)

沒(méi)有知識(shí)和技能的理解運(yùn)用, 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展就是緣木求魚(yú). 運(yùn)算的學(xué)習(xí)不僅是技能訓(xùn)練, 還要理解算法與算理之間的關(guān)系. 模型觀念的培養(yǎng), 不僅是掌握幾種常見(jiàn)的模型, 套用模型, 還要掌握建立模型, 選擇模型的基本方法. 素養(yǎng)立意試題的命制應(yīng)聚焦知識(shí)學(xué)習(xí)本質(zhì). 如: 請(qǐng)你證明二次函數(shù)的圖象具有對(duì)稱(chēng)性. 看似一個(gè)具有很強(qiáng)幾何直觀的問(wèn)題,但其本質(zhì)是什么? 如何證明? 我們可以選取最特殊的函數(shù)y=ax2進(jìn)行證明, 再利用平移可得一般化結(jié)論. 假設(shè)點(diǎn)A(s,t)為y=ax2圖象上一點(diǎn),則as2=t. 因?yàn)閍(-s)2=as2=t,所以點(diǎn)A′也在y=ax2圖象上. 點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸y軸對(duì)稱(chēng),所以二次函數(shù)y=ax2具有對(duì)稱(chēng)性. 該問(wèn)題能夠促進(jìn)學(xué)生對(duì)二次函數(shù)具有對(duì)稱(chēng)性這一本質(zhì)的理解,由感性認(rèn)識(shí)上升到理性思維,同時(shí)體現(xiàn)了新課標(biāo)的要求在代數(shù)學(xué)習(xí)中滲透代數(shù)推理.

2 素養(yǎng)立意試題的評(píng)析

2.1 試題呈現(xiàn)

回顧: 用數(shù)學(xué)的思維思考

如圖1,在ΔABC中,AB=AC．

①BD,CE是ΔABC的角平分線．求證:BD=CE．

②點(diǎn)D,E分別是邊AC,AB的中點(diǎn),連接BD,CE．求證:BD=CE．(從①②兩題中選擇一題加以證明)

猜想: 用數(shù)學(xué)的眼光觀察

經(jīng)過(guò)做題反思,小明同學(xué)認(rèn)為:在ΔABC中,AB=AC,D為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,C重合)．對(duì)于點(diǎn)D在邊AC上的任意位置,在另一邊AB上總能找到一個(gè)與其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E,使得BD=CE．進(jìn)而提出問(wèn)題: 若點(diǎn)D,E分別運(yùn)動(dòng)到邊AC,AB的延長(zhǎng)線上,BD與CE還相等嗎? 請(qǐng)解決下面的問(wèn)題:

如圖2,在ΔABC中,AB=AC,點(diǎn)D,E分別在邊AC,AB的延長(zhǎng)線上,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件,使得BD=CE,并證明．

探究: 用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)

如圖3,在ΔABC中,AB=AC= 2,∠A= 36°,E為邊AB上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合),F為邊AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．判斷BF與CE能否相等．若能,求CF的取值范圍;若不能,說(shuō)明理由．

2.2 解答分析

第一問(wèn)考查學(xué)生的推理技能,選擇其中一個(gè)小題的條件證明ΔBEC∽= ΔCDB,由全等性質(zhì)得BD=CE即可.

第二問(wèn)根據(jù)三角形全等判定的方法進(jìn)行條件添加即可,本題為開(kāi)放性試題,答案不唯一.以下答案皆可:BE=CD,∠AEC=∠ADB,∠BCE=∠DBC.

第三問(wèn)是前兩小題所建立幾何模型的遷移與應(yīng)用. 本題第一個(gè)關(guān)鍵思維點(diǎn)是能夠?qū)㈩}目問(wèn)題BF與CE是否相等轉(zhuǎn)化線段BF與BD是否相等. 在圖3 中, 取AC上取一點(diǎn)D,使得BD=CE. 若BF=CE,則BD=BF,反之也成立. 第二個(gè)關(guān)鍵思維點(diǎn), 當(dāng)BF=BA時(shí),CF取到最大. ∵BD＜AB,∴BF＜AB, 顯然BD越大,BF就越大,CF也越大. 第三個(gè)關(guān)鍵思維點(diǎn)證明三角形相似. 由∠A= 36°,可得∠F= 36°,∠BCF= 108°,∠CBF= 36°,∴∠A= ∠CBF,∠CFB= ∠CFB,∴ΔABF∽ΔBCF.第四個(gè)關(guān)鍵思維點(diǎn)設(shè)元求解. 設(shè)CF的長(zhǎng)度為x,由相似對(duì)應(yīng)邊成比例,列出方程解得. ∵E與A不重合,∴0＜CF＜

2.3 試題評(píng)析

本題是對(duì)教材中考查全等三角形與相似三角形的性質(zhì)和判定等一類(lèi)問(wèn)題的拓展探究.

試卷位置: 該題處于全卷最后一題,第一、二問(wèn)為常規(guī)全等三角形性質(zhì)和判定問(wèn)題難度不大,第三問(wèn)綜合性較強(qiáng),有一定的難度.

數(shù)學(xué)方法: 考查能夠用設(shè)元的方法表示圖形中的數(shù)量關(guān)系;運(yùn)用方程,代數(shù)式等代數(shù)表達(dá)方式來(lái)研究幾何問(wèn)題的能力.

核心思想: 在研究圖形的性質(zhì)和運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想,方程思想,類(lèi)比思想,由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法;綜合體現(xiàn)了模型意識(shí)、幾何直觀、推理能力,運(yùn)算能力等核心素養(yǎng).

價(jià)值分析: 本題借助等腰三角形以及相似三角形學(xué)習(xí)中常見(jiàn)的幾何圖形,通過(guò)模型探究—模型運(yùn)用—模型拓展,培養(yǎng)了學(xué)生的模型觀念,運(yùn)用幾何模型求解問(wèn)題的能力. 向?qū)W生展示了研究幾何問(wèn)題的一般思路. 先從三角形中特殊線段角平分線、中線入手進(jìn)行研究,全等證得BD=CE;再把問(wèn)題一般化如果點(diǎn)D和點(diǎn)E為一般位置的點(diǎn),是否也存在BD=CE的情況;最后把等腰三角形的頂角特殊化為36°,通過(guò)線段轉(zhuǎn)化,運(yùn)用相似三角形判定解決問(wèn)題. 本題聚焦幾何中的核心問(wèn)題,由淺入深,在變化過(guò)程中,考查全等三角形和相似三角形性質(zhì)及判定等方法的遷移運(yùn)用,三個(gè)問(wèn)題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)邏輯一致性和解題方法的前后連貫性. 既有合情推理又有演繹推理,試題本身展現(xiàn)出來(lái)的“一般性方法”是本題最大的價(jià)值.

本題在新課標(biāo)背景之下,巧妙以“三會(huì)”核心素養(yǎng)為出發(fā)點(diǎn). 第一問(wèn),用數(shù)學(xué)的思維思考世界,考查推理技能. 第二問(wèn),用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,將點(diǎn)D,E的位置一般化,在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中探究數(shù)量關(guān)系. 第三問(wèn),用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界,考查學(xué)生在新的情境下,能夠熟練運(yùn)用幾何模型解決問(wèn)題. 三個(gè)問(wèn)題的設(shè)計(jì)緊緊圍繞著核心素養(yǎng)的三個(gè)方面,整道試題聚焦核心問(wèn)題,高屋建瓴,宏觀架構(gòu)主線,突出素養(yǎng)考查.

2.4 試題拓展

第①小題角平分線與中線是三角形中重要的線段, 此處可以啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想若改成高是否同樣成立. 即如圖1,在ΔABC中,AB=AC．BD和CE為AC、AB邊上的高．求證:BD=CE. 此問(wèn)題還可以用等積法求解更為簡(jiǎn)潔.

第③小題為了證明相似, 題目給出了36°這一特殊的角. 若本小題不求CF的長(zhǎng),是否可以將36°這個(gè)條件刪去. 我們可以將設(shè)問(wèn)改為: 若能,求當(dāng)CF取最大值時(shí),∠A與∠ABF之間的關(guān)系.

3 素養(yǎng)立意命題的教學(xué)導(dǎo)向

3.1 立足課本,深挖教材知識(shí)內(nèi)涵

本題命題原型為人教版八上課本P29 第11 題, 如圖5, ΔABC的∠ABC和∠ACB的平分線BE,CF相交于點(diǎn)G. 求證: ∠BGC= 90°+P34 第6 題, 如圖6ΔAEC∽= ΔADB, 點(diǎn)E和點(diǎn)D是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn), 寫(xiě)出它們的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角. 以及P79 練習(xí)1, 如圖7∠A= 36°,∠DBC= 36°,∠C= 72°, 分別計(jì)算∠BDC,∠ABD的度數(shù).

再此基礎(chǔ)上,疊加了相似三角形的判定以及分式方程求解. 圖形由普通三角形到等腰三角形,再到頂角為36°的等腰三角形,兩次特殊化,將課本中看似三道普通的題目關(guān)聯(lián)在一起,這一過(guò)程也給了我們很大的命題啟示. 另外,本題由點(diǎn)在線上到點(diǎn)在線外拓展,由特殊位置再到一般位置,這也是命題常用的方式.

本題立足課本, 從三角形、全等三角形、到等腰三角形,遵循教材學(xué)生的認(rèn)知順序. 教學(xué)中多數(shù)教師孤立講授每個(gè)單元知識(shí),孤立看待課本中的例習(xí)題,缺乏將它們進(jìn)行聯(lián)系整合的意識(shí). 我們應(yīng)加強(qiáng)對(duì)各單元教學(xué)知識(shí)聯(lián)系的理解,深挖教材的生長(zhǎng)點(diǎn),延伸教材中的問(wèn)題,從整體關(guān)聯(lián)視角進(jìn)行問(wèn)題設(shè)計(jì),實(shí)現(xiàn)深度教學(xué).

3.2 開(kāi)放問(wèn)題,拓展學(xué)生思維空間

課標(biāo)提出,要加強(qiáng)學(xué)生創(chuàng)新素養(yǎng)的培養(yǎng),而創(chuàng)新素養(yǎng)的培養(yǎng)需要一定量的開(kāi)放性試題. 對(duì)于條件開(kāi)放的試題,可以提高學(xué)生在陌生情境下分析問(wèn)題、篩選信息、決策判斷能力;對(duì)于結(jié)論開(kāi)放的試題,允許學(xué)生從不同角度思考問(wèn)題. 如本題第2 問(wèn),選擇不同的三角形判定全等或者選擇不同的判定方法其答案也就不同. 開(kāi)放性的試題與起傳統(tǒng)試題相比,打破常規(guī)解決問(wèn)題的方法,減少死記硬背和機(jī)械刷題,關(guān)注學(xué)生個(gè)體差異,給學(xué)生較大的思維空間,培養(yǎng)學(xué)生多角度思考問(wèn)題的習(xí)慣,激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí).

3.3 創(chuàng)設(shè)情境,促進(jìn)核心素養(yǎng)發(fā)展

情境是實(shí)現(xiàn)知識(shí)到素養(yǎng)的橋梁. 數(shù)學(xué)情境分為兩種類(lèi)型: 一是生活問(wèn)題情境. 要求學(xué)生能夠通過(guò)任務(wù)驅(qū)動(dòng),經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程,掌握“數(shù)學(xué)化”的方法,在情境中提取信息,將生活問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題, 運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.二是數(shù)學(xué)問(wèn)題情境. 在學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上提出新的研究問(wèn)題,用類(lèi)比的方法解決一般化問(wèn)題,對(duì)于特殊問(wèn)題、新的問(wèn)題進(jìn)行重點(diǎn)探究,形成新的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 情境創(chuàng)設(shè)有效促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)來(lái)龍去脈的理解,建立知識(shí)關(guān)聯(lián),促進(jìn)思維鏈的延伸和知識(shí)遷移.