初中幾何反常規(guī)路徑問題的解題策略探析

廣州市第二中學(xué)(510040) 陳家燦

1 試題呈現(xiàn)與解析

1.1 試題呈現(xiàn)

(江蘇揚州卷)如圖1, 已知正方形ABCD的邊長為4,點P是AB邊上的一個動點,連接CP,過點P作PC的垂線交AD于點E,以PE為邊作正方形PEFG,頂點G在線段PC上,對角線EG,PF交于點O.

圖1

(1)若AP=1,求AE的長;

(2) ①求證: 點O一定在ΔAPE的外接圓上; ②當(dāng)點P從點A運動到點B時,點O也隨之運動,求點O經(jīng)過的路徑長;

(3) 在點P從點A運動到點B的過程中,ΔAPE的外接圓的圓心也隨之運動,求該圓心到AB邊的距離的最大值.

1.2 試題解析

本題主要考查正方形的性質(zhì),點與圓的位置關(guān)系,點到直線的距離,三角形的中位線,相似三角形的判定與性質(zhì),求二次函數(shù)的最值,等腰直角三角形的性質(zhì),圓周角的性質(zhì),勾股定理,三角函數(shù)的簡單應(yīng)用,蘊含了轉(zhuǎn)化思想、建模思想以及用代數(shù)方法解決幾何問題的思想. 簡答如下:

(1) 由ΔAPE∽ ΔBCP可得可得

(2) ①由∠DAB=90°,得點A在以PE為直徑的圓上,PE的中點M即為圓心. ∠EOP=90°,點O在以PE為直徑的⊙M上. 即點O一定在ΔAPE的外接圓上.

②連接OA,由①可知,在⊙M中,∠OAP=∠OPE=45°. 所以在點P的運動過程中,點O始終在正方形ABCD的對角線AC上運動. 因為當(dāng)點P運動到與點A重合時,正方形PEFG不存在, 相當(dāng)于點O與點A重合; 當(dāng)點P運動到與點B重合時,正方形PEFG與正方形ABCD重合, 則點O位于AC中點位置. 所以點O經(jīng)過的路徑長為

(3) 過PE中點M作MN⊥AB于點N, 所以MN//AE. 因為PM=EM,所以PN=AN,所以AE=2MN,即MN是ΔAPE的中位線. 設(shè)AP=x,MN=y,則AE=2y,BP=4-x. 由(1)可知ΔAPE∽ΔBCP可得,整理得當(dāng)x=2 時,即在點P從點A運動到點B的過程中,ΔAPE的外接圓圓心到AB邊的距離的最大值為

2 解題反思

由于數(shù)學(xué)思想方法相比具體的解決問題的技能,具有更上位的特征,而且人們認(rèn)識事物的一般順序又是從具體到抽象,因此滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)應(yīng)當(dāng)與數(shù)學(xué)課程內(nèi)容、數(shù)學(xué)解題活動的教學(xué)相結(jié)合. 基本過程是讓學(xué)生首先了解、熟悉諸多的“流”——具體技能,再經(jīng)概括上升到“源”——思想方法[1]. 也就是說,從操作開始,經(jīng)歷理解相關(guān)原理,再形成由原理指導(dǎo)下的操作. 基于這樣的思考,開展解題策略反思.

解決路徑問題需要常常經(jīng)歷操作、猜想、驗證三個過程.學(xué)生一般已經(jīng)掌握這樣的思路: 操作時,把握起點、終點、過程點,然后猜想目標(biāo)點在某直線或某圓上運動,進(jìn)一步用推理方法證明點的路徑是某直線或某圓. 最后由起點、終點確定點的路徑是某段線段或某段弧.

在第(2) ②中我們運用了求路徑問題的一般思路,這種經(jīng)驗?zāi)芊窠梃b用到第(3)問?

當(dāng)點P從點A運動到點B的過程中, ΔAPE的外接圓的圓心也隨之運動, 按理說, 圓心也有路徑, 如何找到這個路徑呢? 如圖2,因為當(dāng)點P運動到與點A重合時,正方形PEFG不存在,相當(dāng)于點M與點A重合;當(dāng)點P運動到與點B重合時,正方形PEFG與正方形ABCD重合,則點M位于AB中點位置(設(shè)AB中點為Q).

圖2

首先由起點、終點的位置可以確定,點M不在直線AB上運動,進(jìn)而猜想,點M在某圓弧上運動,那么這個路徑圓的圓心在哪里? 似乎找不到思路,我們不妨退一步,假設(shè)點M在某圓上運動,則∠AMQ一定是定值,找兩個點M1,M2,測量∠AM1Q,∠AM2Q會發(fā)現(xiàn)這兩個角不總是相等的,從而確定點M不在圓上運動. 點M的路徑不明確,按照常規(guī)方法,思路受阻,這就是一道典型的反常規(guī)的問題. 圓心M到AB邊的距離的最大值如何求? 過點M作MN⊥AB于點N,所以MN//AE. 因為PM=EM,所以PN=AN,所以AE= 2MN,即MN是ΔAPE的中位線. 求MN的最大值可轉(zhuǎn)化為求AE的最大值. 由(1)可得當(dāng)AP為特殊值時求AE的方法,進(jìn)而當(dāng)AP變化時,用同樣的方法可以建立起MN(y)與AP(x)的函數(shù)關(guān)系,將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題. 此時我們發(fā)現(xiàn)點M的路徑疑似圓弧,其實是拋物線. 此題學(xué)生用總結(jié)出來的方法是無法解決的,面對一個較復(fù)雜反常規(guī)問題,我們應(yīng)該從基礎(chǔ)知識出發(fā),順流溯源,綜合運用從一般到特殊,轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想解決幾何最值問題.

其實題目是千變?nèi)f化的,經(jīng)驗方法絕不是萬能的,只有學(xué)會解決一般化問題的順流溯源策略,應(yīng)對不斷變化的反常規(guī)創(chuàng)新的數(shù)學(xué)問題時,才能撥開云霧看到解決問題的本質(zhì).

3 變式教學(xué)

學(xué)生經(jīng)歷操作、猜想、驗證獲得“流”這個技能手段,教師順著“流”進(jìn)行抽絲剝繭式的點撥提問,帶領(lǐng)學(xué)生順藤摸瓜,再概括上升到“源”——幾何直觀、抽象、建模(函數(shù)模型)這個過程需要師生合作完成. 下面通過一道自編反常規(guī)變式題的課堂探究,展現(xiàn)學(xué)生經(jīng)歷真正的幾何問題解決過程,而不僅是套用現(xiàn)成的公式、方法或例題解決類似問題.

式中:表示對第m-1幀純凈語音的功率譜估計,表示對第m-1幀的噪聲功率譜估計。α為調(diào)節(jié)系數(shù),它的選取至關(guān)重要,其取值越接近1對“音樂噪聲”的抑制效果越好,但是會造成比較大的語音失真,α取值0.95～0.99時效果較佳[6],max函數(shù)返回兩個參數(shù)的最大值,SNRpost(m,k)表示后驗信噪比,定義后驗信噪比為:

如圖3,矩形ABCD中,AB= 6,AD= 4,點E是AB邊上的一個動點,連接DE,過點E作DE的垂線交BC于點F,以EF為斜邊作等腰直角三角形EFG(點G在EF上方). 當(dāng)點E從點A運動到點B時,點G也隨之運動,求點G經(jīng)過的路徑長.

圖3

此題僅把原題背景改為矩形,本質(zhì)上所求路徑問題是一致的,可以借鑒例題的解題方法.

第1 步: 確定點G的路徑.

如圖4, 易知點G在ΔBEF的外接圓上, 連接BG.∴∠EBG= ∠EFG= 45°. ∴點G始終在∠ABC的平分線BH所在直線上運動.

圖4

第2 步: 找到起點、終點位置即可求路徑長.

如圖5, 當(dāng)點E與點A重合時, 點F與點B重合,ΔABG1為等腰直角三角形; 當(dāng)點E與點B重合時, 點F也與點B重合,此時點G退化到與點B重合,點G經(jīng)過的路徑長為

圖5

看似沒問題,完全按路徑問題的解題思路來做的,先確定點G在直線上運動,然后找到起點、終點兩個位置,軌跡就是一條線段.

第4 步: 質(zhì)疑.

盡信書,不如無書,軌跡問題的解題策略是經(jīng)歷操作、猜想、驗證后總結(jié)出來的,而現(xiàn)在學(xué)生都是照葫蘆畫瓢模仿出來的,學(xué)生是否真實經(jīng)歷了“操作”步驟? 還是進(jìn)行了假探究?

第5 步: 畫圖探究出猜想.

如圖6,我們會發(fā)現(xiàn)點G還會跑出去如G2的位置,路徑長肯定比大.

圖6

圖7

我們?nèi)×藥讉€E點的位置畫圖會發(fā)現(xiàn)點G并不是從起點直接回到終點. 這個探究非常重要,每個同學(xué)通過動手畫圖,一定會發(fā)現(xiàn)點G經(jīng)過的路徑為:G1→G2→G1→B,可以猜想點G經(jīng)過的路徑長為G1G2+G2G1+G1B,但點G沿著BH方向究竟跑出去多遠(yuǎn)再回頭,就需要通過計算去確定.

第6 步: 小心求證得結(jié)論.

數(shù)學(xué)結(jié)論經(jīng)常是看出來的,不是證出來的,這種看依賴的就是畫圖操作. 前面的錯誤就是大家按經(jīng)驗去證,但點G經(jīng)過的路徑并不常規(guī),只有經(jīng)過實事求是的探索,才能發(fā)現(xiàn)其中奧秘. 經(jīng)驗可以指引快速找到解題的思路和方向,但單憑經(jīng)驗解題,思路受限,方法單一,要提升主動探究的精神和自主學(xué)習(xí)的能力. 在數(shù)學(xué)中,發(fā)現(xiàn)問題往往比證明結(jié)論更重要.

4 教學(xué)啟示

4.1 認(rèn)清路徑問題的本質(zhì)

上述從例題到反常規(guī)訓(xùn)練,由正方形到矩形,學(xué)生經(jīng)歷了由特殊到一般的探究過程,就是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的思考過程. 路徑問題其實研究的是路程(路徑)而非距離. 常規(guī)路徑問題一般包含直線線性型、弧形線性型,反常規(guī)路徑問題中就會出現(xiàn)拋物線型(函數(shù)方法解決)、直線折返型以及弧形折返型. 譬如,如圖8,小明從學(xué)校(起點)回到家(終點),這個距離AB是確定的,但路徑就不一定,小明可能走到某商店才想起漏拿數(shù)學(xué)書,然后返校拿書再回家,路徑1為A→C→A→B; 或者小明反方向走到某文具店買文具,然后再沿著學(xué)校返家,路徑2 為A→D→A→B. 反常規(guī)訓(xùn)練中點G的路徑(類似于路徑2)正是直線折返型問題,需要在畫圖操作中不斷探索思考才能發(fā)現(xiàn)的.

圖8

4.2 提升學(xué)生思維認(rèn)知水平

在學(xué)生出現(xiàn)典型解題錯誤后進(jìn)行探索,這是基于學(xué)生原有思維經(jīng)驗以及解題經(jīng)驗的順應(yīng)與發(fā)展. 從信息加工的角度看,學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者通過自己對來自環(huán)境刺激的信息進(jìn)行內(nèi)在的認(rèn)知加工而獲得能力的過程. 數(shù)學(xué)課堂不應(yīng)僅僅滿足于教給學(xué)生一些結(jié)論,而應(yīng)該能給學(xué)生創(chuàng)造更多的反常規(guī)問題刺激,躬行溯源剝繭活動過程, 使得學(xué)生獲取更多數(shù)學(xué)思想方法、探索精神. 數(shù)學(xué)家米山國藏曾說過,學(xué)生在畢業(yè)不久,數(shù)學(xué)知識很快就忘掉了,然而,不管他們從事什么工作,唯有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、思維方法、推理方法,在隨時發(fā)生作用,使他們受益終身[2].

5 結(jié)束語

在教學(xué)中帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“順流溯源,抽絲剝繭”這個思維過程,在師生、生生相互之間思維碰撞中對問題蘊含的數(shù)學(xué)本質(zhì)、規(guī)律進(jìn)行思考和判斷,不斷突破學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu).同時培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成自主思考的習(xí)慣,培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的思維品質(zhì).