由學生提問引發(fā)的深度學習
——以“多邊形的外角和”教學為例

廣東省廣州市華僑外國語學校 (510095) 陳文陽 廣東實驗中學越秀學校(510095) 胡燕芬

美國著名學者布魯巴克指出,最精湛的教學藝術(shù),遵循的最高準則就是讓學生自己提出問題[1]. 因為學生提出有價值的數(shù)學問題,是最精彩的課堂生成,是最寶貴的學習資源,能引發(fā)學生的深度學習. 教學中,借助學生提出的具有群體探究價值的數(shù)學問題, 讓學生廣泛地參與到問題解決之中,通過群體思考與探索獲得認知發(fā)展,能實現(xiàn)學生的深度學習.現(xiàn)以人教版教材八年級上冊第十一章“三角形”中“多邊形的外角和”教學為例,呈現(xiàn)與分析筆者引導學生發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題,并在分析和解決問題中發(fā)生深度學習的課堂實踐.

1 案例呈現(xiàn)

這是一節(jié)新授課,教學內(nèi)容是多邊形的外角和. 課堂伊始,學生結(jié)合教師設(shè)計的問題,精讀教材,理解學習內(nèi)容,記錄疑問之處或聯(lián)想到的問題. 接著,在師生互動與交流中回答教師所提出的問題,學生習得“多邊形的外角和是360°”.隨后,教師讓學生說出自己的問題. 其中,甲同學問:“如果多邊形的邊數(shù)越來越多,多邊形就慢慢變成了一個圓,它的外角也就慢慢變小為0°,那么它的外角和還是360°嗎? ”

甲同學的問題引起班上學生的熱烈討論. 有學生說:“多邊形的邊數(shù)很多時,它依然是一個多邊形,不會變成圓. ”也有學生說:“多邊形的邊數(shù)無窮多時就變成圓,那么每個外角就變小為0°,所以它的外角和為零. ”還有學生說:“就算是多邊形變成了圓,若沿圓走一周,剛好轉(zhuǎn)了360°,所以它的外角和還是360°.”……

看到學生意見不一, 教師通過提問指導學生分析問題,大致過程如下.

師: 若多邊形的邊數(shù)趨于無窮大時,每一個外角的大小都趨于0°,這個趨于0°是等于0°嗎?

生: 不等于.

師: 無數(shù)個不等于0°的外角相加有可能等于0°嗎?

生: 不可能.

師: 所以當多邊形的邊數(shù)趨于無窮大時,它不會變成圓,其外角和仍為360°.

此時,乙同學問:“當邊數(shù)足夠大的時候,我們?nèi)庋劭吹降亩噙呅尉徒咏鼒A了. 如果把多邊形換成了圓,那么沿圓周走一周,所轉(zhuǎn)的各個角的和真的是360°嗎? ”

不一會,丙同學問:“沿圓走時,轉(zhuǎn)過的角度應(yīng)該怎么表示呢? ”

接著,丁同學問:“繞圓心轉(zhuǎn)一周可得到一個周角360°,但沿圓走時轉(zhuǎn)過的角的頂點并不在圓心呀,怎么能說明所轉(zhuǎn)的各個角的和是360°呢? ”

學生們陷入了沉思. 教師再次引導學生分析問題,大致過程如下.

師: 如果能找到沿圓周從一個位置走到另一個位置時,所轉(zhuǎn)過的角度與頂點在圓心的角(此時教師補充了圓心角的概念)的關(guān)系,將所有轉(zhuǎn)過的角度之和轉(zhuǎn)化為一周的圓心角,那么我們就能說明沿圓周走一周,所轉(zhuǎn)的各個角的和是360°.

不妨規(guī)定,在圓上某一點的前進方向與這一點所在的半徑互相垂直. 如圖1, 在點A, 點B的前進方向分別是射線AM(AM⊥OA),射線BN(BN⊥OB)的方向. 如果從點A處出發(fā),沿著圓O走到點B處,那么所轉(zhuǎn)過的角可以用哪個角來表示呢?

圖1

生: 反向延長BN, 交AM于點D, 則所轉(zhuǎn)過的角是∠MDN. (如圖2)

圖2

師: 圖中哪個角與∠MDN相等?

生: ∠AOB.

師: 如何說明?

生: 在四邊形AOBD中,∠OAD+∠OBD= 180°,則∠AOB與∠ADB互補. 又因為∠MDN與∠ADB互補,所以∠AOB=∠MDN.

師: 很好! 還有別的說明方法嗎?

生: 延長OB交AM于點E,可知∠AOB,∠MDN都與∠AEO互余,則∠AOB=∠MDN. (如圖3)

圖3

師: 非常好! 如圖4,若沿圓O從點B走到點C,則所轉(zhuǎn)過的角等于哪個角?

圖4

生: ∠BOC.

師: 若沿圓O從點A走到點C,所轉(zhuǎn)過的角之和等于哪個角?

生: ∠AOC.

師: 若沿圓O從點A走一周回到點A,所轉(zhuǎn)過的角之和等于哪個角?

生: 以點O為頂點的周角.

師: 由上面的探究,你能得到什么結(jié)論?

生: 沿圓周走一周,所轉(zhuǎn)的各個角的和是360°.

至此,師生一起解決了課堂上學生提出的問題.

2 案例分析

深度學習是指在理解學習的基礎(chǔ)上,學習者能夠批判性地學習新的思想和事實, 并將它們?nèi)谌朐械恼J知結(jié)構(gòu)中,能夠在眾多思想間進行聯(lián)系,并能夠?qū)⒁延械闹R遷移到新的情境中,作出決策和解決問題的學習[2]. 上述案例是由學生提問引發(fā)的深度學習過程,主要體現(xiàn)在以下四個方面.

2.1 學生能批判性理解學習

批判性理解學習包含批判性和理解性兩個方面. 批判性學習強調(diào)學生的獨立思考能力,理解性學習強調(diào)學生參與體驗問題解決過程,得出新結(jié)論并能用新結(jié)論解決問題. 案例中,學生先根據(jù)教師設(shè)計的問題自主閱讀教材,產(chǎn)生認知沖突、發(fā)現(xiàn)問題,為后續(xù)提出問題和合作學習奠定了基礎(chǔ),充分體現(xiàn)學生的獨立思考與質(zhì)疑精神. 比如,甲同學通過讀、研、思, 產(chǎn)生疑惑, 提出關(guān)于“多邊形的邊數(shù)趨于無窮時的外角和”的問題. 師生通過交流,解決甲同學的問題之后,乙同學開始反思,從而提出關(guān)于“沿圓周走一周,所轉(zhuǎn)的各個角的和是否為360°? ”的新問題. 這促使同學們進一步思考,提出新假設(shè)“沿圓走時,轉(zhuǎn)過的角度可以轉(zhuǎn)化為圓心角”,進而在新結(jié)論的基礎(chǔ)上解決了新問題. 深度學習意味著理解與批判,需要學生對知識持敢于質(zhì)疑、敢于批判的態(tài)度,能發(fā)現(xiàn)和提出問題,更能進一步分析和解決問題.

2.2 學生能遷移與應(yīng)用知識

遷移與應(yīng)用是深度學習的特征之一, 只有學生能聯(lián)系原有認知結(jié)構(gòu)中的知識、學會應(yīng)用數(shù)學知識解決新問題, 才能拓寬知識的廣度和提升知識的深度. 案例中, 學生在“多邊形外角和是360°”的基礎(chǔ)上,聯(lián)想并討論了“圓的外角和”, 構(gòu)建了新的認知結(jié)構(gòu)和環(huán)境. 通過閱讀教材,學生習得用圖形方法驗證“多邊形內(nèi)角和為360°”,即從多邊形的一個頂點A出發(fā),沿多邊形的各邊走過各頂點,再回到點A,然后轉(zhuǎn)向出發(fā)時的方向,在行程中所轉(zhuǎn)的各個角的和,就是多邊形的外角和(如圖5). 課堂上,學生能類比教材的方法,嘗試用圖形來理解“沿圓周走一周,所轉(zhuǎn)的各個角的和”的問題,這就是在遷移與應(yīng)用已有知識. 在探究“沿圓走時, 轉(zhuǎn)過的角度等于圓心角”時,學生借助上一節(jié)課學習的“四邊形的內(nèi)角和為360°”推導出對角互補(圖2 中∠AOB與∠ADB互補),從而說明“轉(zhuǎn)過的角等于圓心角”,這是學生深刻理解和靈活應(yīng)用已學知識的具體體現(xiàn).

圖5

2.3 學生的問題解決有突破

提升學生解決問題的能力是深度學習的目標之一,而提出問題能幫助學生成為更好的解決問題者. 波利亞認為,對初始問題連續(xù)的再闡述是在問題解決中提出問題的基本形式[3]. 案例中,討論甲同學的問題時,學生針對多邊形邊數(shù)越來越多的情形,能從“它會不會變成圓? ”“它的外角是不是變小為0°? ”“它的外角和是否還是360°? ”等不同角度去分析問題. 教師的“趨于0 是否就等于0? ”等連續(xù)提問,為學生解決甲同學的問題搭起“腳手架”. 分析乙同學的問題時,丙、丁同學的提問是將原問題分解為“怎么表示在圓上走時轉(zhuǎn)過的角度? ”和“怎么把轉(zhuǎn)過的角轉(zhuǎn)化為其對應(yīng)的圓心角? ”,使解決問題的思路逐漸清晰,突破了問題解決的瓶頸.

提出問題是解決問題的有效手段,問題的重建則是提出問題的技術(shù)操作. 案例中,不管學生在問題解決之前、之中或者之后提出新的問題, 都是在對已有問題進行重建或加工,都能揭示學生的認知思維過程,有助于學生深度理解數(shù)學問題的本質(zhì),提升學生解決數(shù)學問題的能力.

2.4 學生的數(shù)學思維有創(chuàng)新

問題是一種蘊涵創(chuàng)造力的數(shù)學發(fā)現(xiàn),學生自主精讀教材并提出問題是一種通過獨立思考發(fā)現(xiàn)新知識的“再創(chuàng)造”. 深度學習是學生經(jīng)歷實踐創(chuàng)新的過程,而學生的創(chuàng)新往往始于問題的提出. 案例中,甲同學的問題,看似簡單實屬不易,因為在沒有教師提示的情況下,能由方(多邊形)到圓(圓形)遷移性地思考問題,是學生數(shù)學思維的重大轉(zhuǎn)變和創(chuàng)新. 創(chuàng)造性思維的過程中,新假設(shè)的產(chǎn)生需要靈感,而靈感萌生的基礎(chǔ)是有意注意. 學生并沒有聽過“圓的外角和”的說法,但能從多邊形外角和的探究過程中留意到邊數(shù)的變化規(guī)律,考慮到邊數(shù)為極限的情形,于是聯(lián)想到探究“圓的外角和”,這是學生創(chuàng)新思維的一次升華.

真正的創(chuàng)造力并不能還原為自由組合和聯(lián)想,而在于能夠提出新問題,或者改變舊問題,改變既有思路,重新建立規(guī)則和方法[4]. 案例中,乙同學的提問就是甲同學問題的衍生,而丙、丁同學的提問則是從新的方向去分解乙學生的問題,這是學生思維朝高階發(fā)展的表現(xiàn). 學生能提出“新問題”或“從新的角度去看原有問題”,這反映出學生創(chuàng)造性的想象力和意味著深度學習的發(fā)生.

3 教學反思

深度學習是指在教師引領(lǐng)下,學生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學習主題, 全身心積極參與、體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的學習過程[5],其本質(zhì)是以“問題”為驅(qū)動,促進學生發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的一種具有探索性和創(chuàng)造性的過程. 案例中,甲、乙同學的提問逐步啟發(fā)學生去探究一個未曾深思的問題: 沿圓走一周,轉(zhuǎn)過的角度之和是多少? 雖然不少學生憑感覺認為是360°,但又有幾個能說明其中的道理呢? 面向問題解決的數(shù)學學習就是要使學生的思維從感性向理性轉(zhuǎn)化,達成直覺思維和分析思維的高度統(tǒng)一,這也是深度學習的重要意義. 換而言之,“問題”是深度學習的重要載體,是深度學習的出發(fā)點. 但目前學生提出問題的能力還較為薄弱,如何提高學生的提問能力, 以更好地促進學生的深度學習,還有待我們進一步研究.