“強基計劃”數(shù)學專題講座(五)
——“強基”數(shù)學試題中基于類比、聯(lián)想的創(chuàng)新之美賞析

■江蘇省無錫市第一中學 錢銘

■江南大學理學院 謝廣喜

創(chuàng)新是一個民族進步的靈魂,是一個國家興旺發(fā)達的不竭動力。那么在數(shù)學學科的有關考試中,如何考查同學們的創(chuàng)新能力呢?我們認為,類比和聯(lián)想能力是表現(xiàn)數(shù)學創(chuàng)新思維最重要的方面,它可以讓創(chuàng)新思維不再是虛無縹緲,數(shù)學創(chuàng)新的思維火花不再是天外來客。正如日本物理學家湯川秀樹所說,“類比是創(chuàng)造性思維的起點”。同時,我們還發(fā)現(xiàn),有時候一些新情況、新問題的解決還需要通過聯(lián)想來實現(xiàn),而利用聯(lián)想解決問題的最基本形式通常是基于結(jié)構相似的類比。這里必須指出,在這個過程中,必要的數(shù)學知識(甚至還涉及其他學科知識)是實現(xiàn)這個工作的中心環(huán)節(jié),沒有必要的知識基礎,想通過類比聯(lián)想的辦法來創(chuàng)造性地解決有關數(shù)學問題基本上是不可能的(尤其是一些難度很大的問題,一個典型的例子是用中小學的數(shù)學知識去研究世界難題“哥德巴赫猜想”,結(jié)果失敗是必然的)。

而基于結(jié)構相似的類比與聯(lián)想是一種在數(shù)學解題中創(chuàng)造性地處理有關問題的極其常用的方法,比如下面幾種常見形式。

另外,如果(x2-x1)·(y2-y1)≠0,還可將類比理解為一個直角三角形的斜邊長(分別以|x2-x1|及|y2-y1|為直角邊)。

(4)如果問題以絕對值和的函數(shù)形式呈現(xiàn),比如f(x)=|x-a|+|x-b|,x∈R,其中a,b為實參數(shù),與數(shù)軸上的點類比聯(lián)系,可知f(x)=|x-a|+|x-b|≥|a-b|,當實變量x介于a,b之間時不等式取等號。

(5)如果問題以a2+b2-λa,b(a,b,λ∈R,ab≠0,|λ|＜2)形式呈現(xiàn),那么我們可以類比聯(lián)想到余弦定理,將其理解為一個三角形的第三邊長平方(分別以|a|,|b|為兩邊,夾角的余弦值cosC=,其中cosC前的正負號與a,b符號有關,同號取正,異號取負)。

(6)如果問題以|PA|+|PB|=2a＞0形式呈現(xiàn)(其中A,B為平面上兩個定點,P為動點,且0＜|AB|=2c≤2a),當c=a時,則動點P的軌跡為線段AB;當c＜a時,則動點P的軌跡為以A,B為焦點的橢圓。完全類似地,如果問題以||PA|-|PB||=2a＞0形式呈現(xiàn)(其中A,B為平面上兩個定點,P為動點,且|AB|=2c≥2a),當c=a時,則動點P的軌跡是兩條射線;當c＞a時,則動點P的軌跡是以A,B為焦點的雙曲線。特別地,若僅有|PA|-|PB|=2a＞0(且c＞a),則點P的軌跡是到A點較遠的那一支雙曲線(單支雙曲線)。

(7)如果問題以|PA|=λ|PB|＞0形式呈現(xiàn)(其中A,B為平面上兩個定點,P為動點,λ為大于0的參數(shù)),則當λ=1時,P點軌跡為線段AB的垂直平分線;當λ≠1時,P點軌跡為阿波羅尼斯圓。

評注:從這道題我們再次看到,沒有相關的數(shù)學知識(比如三倍角的余弦公式)作為基礎,聯(lián)想就失去了翅膀,創(chuàng)新的思路或解法也就很難“靈光一閃”地出現(xiàn)。

解析:聯(lián)想到我們常見的二進制、十進制等的表達形式,我們這里稱其為分數(shù)進制(具體這里即為二分之三進制),對于這個新情況、新問題,如果我們注意到2 和3 互質(zhì),是可以將其轉(zhuǎn)化為整數(shù)背景問題去研究的。

等式兩邊同乘以2n,得:

很顯然,等式右邊是3 的倍數(shù),而a0∈{0,1,2},只有a0=1才能滿足要求。

同樣地,此時等式左邊必須是3的倍數(shù),由于a1∈{0,1,2},故只能a1=0。

評注:其實,這類分數(shù)進制的問題并非首次出現(xiàn),2005年全國高中數(shù)學聯(lián)賽第6題就可看成是七分之一進制問題,只不過我們現(xiàn)在這里碰到的情形更具有一般性而已。

評注:問題原始結(jié)構還是比較復雜的,但我們聯(lián)想到三角函數(shù)公式后,問題就變得柳暗花明了,但最后求值域時一定要仔細,否則很容易誤選D。

該直線上任意一點M(a,b)到原點距離的平方為|OM|2=a2+b2。

坐標原點到該直線的距離函數(shù)為:

評注:當OM與直線l垂直時剛好取等號。

例8若△ABC是銳角三角形,則tanA+8tanB+13tanC的最小值為_________。

解析:問題呈現(xiàn)在三角形背景下的正切結(jié)構,這很容易讓我們聯(lián)想到正切恒等式。

由題意,可令x=tanA＞0,y=tanB＞0,z=tanC＞0。

記p=tanA+8tanB+13tanC,即p=x+8y+13z。(*)

由正切恒等式tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC,得x+y+z=xyz。

[經(jīng)典永流傳創(chuàng)新有源泉]

1.(2013 年華東師范大學自主招生試題)已知x,y∈R,試求:

評注:這道題完全是一道舊題,完全類似的試題之前已多次考過。

將有關角的具體值代入可得: