條件概率與全概率公式常見考點與方法點撥

■河南省濮陽市第一高級中學(xué) 梁文強(qiáng)

條件概率與全概率公式是新教材新增內(nèi)容,它不僅是高考考查的重點,也是后續(xù)學(xué)習(xí)概率的基礎(chǔ)。下面歸納條件概率與全概率公式常見考點,并對相關(guān)解題方法進(jìn)行剖析,從而加深對條件概率和全概率公式中問題的理解與把握。

考點一 條件概率應(yīng)用

例1在5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題,每次從中隨機(jī)抽取1道題,抽出的題不再放回,求:

(1)第一次抽到代數(shù)題且第二次抽到幾何題的概率;

(2)在第一次抽到代數(shù)題的條件下,第二次抽到幾何題的概率。

解析:設(shè)事件A為第一次抽到代數(shù)題,事件B為第2次抽到幾何題,則事件AB表示第一次抽到代數(shù)題且第二次抽到幾何題。

(2)在第一次抽取到代數(shù)題的條件下第二次抽到幾何題的概率,就是事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率,顯然P(A)=

利用條件概率公式得:

點評:本題解法是一種基于樣本空間Ω,借助古典概型概率公式,先求出樣本空間包含的基本事件數(shù)n(Ω),再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB),得到P(B|A)=

考點二 乘法公式應(yīng)用

例2某工廠的產(chǎn)品有4%的廢品率,在100件合格品中有75件一等品,求在該廠的產(chǎn)品中任取一件是一等品的概率。

解析:設(shè)事件A為任取的一件是合格品,事件B為任取的一件是一等品,則P(A)==0.96,P(B|A)=0.75。

所以P(AB)=P(A)P(B|A)=0.96×0.75=0.72。

點評:乘法公式給出了一種計算“積事件”概率的求法,當(dāng)直接計算P(AB)不好計算時,可以先迂回求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B),再利用乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)求解即可,概率的乘法公式反映了知二求一的方程思想。

考點三 獨立事件判斷

例3有6個相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回地隨機(jī)取兩次,每次取1個球,事件A表示第一次取出的球的數(shù)字是1,事件B表示第二次取出的球的數(shù)字是2,事件C表示兩次取出的球的數(shù)字之和是8,事件D表示兩次取出的球的數(shù)字之和是7,則( )。

A.事件A與事件C相互獨立

B.事件A與事件D相互獨立

C.事件B與事件C相互獨立

D.事件C與事件D相互獨立

由于P(AD)=P(A)P(D),故選B。

點評:判斷兩個事件是否相互獨立,有兩種方法,一種方法是直接利用兩個事件相互獨立的意義來判斷,即驗證P(AB)=P(A)·P(B)是否成立;另一種方法是利用條件概率知識,當(dāng)P(B)＞0時,A與B相互獨立的充要條件是P(A|B)=P(A),即驗證P(A|B)=P(A)是否成立。

考點四 全概率公式應(yīng)用

例4有一批同一型號的產(chǎn)品,已知其中由一廠生產(chǎn)的占30%,二廠生產(chǎn)的占50%,三廠生產(chǎn)的占20%,又知這三個廠產(chǎn)品的次品率分別為2%,1%,1%,問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少。

解析:設(shè)B為任取一件產(chǎn)品為次品,Ai表示任取一件為i廠的產(chǎn)品,i=1,2,3。

且P(A1)=0.3,P(A2)=0.5,P(A3)=0.2,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.01,P(B|A3)=0.01。

由全概率公式P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.3×0.02+0.5×0.01+0.2×0.01=0.013。

點評:當(dāng)直接求事件B發(fā)生的概率不好求時,可以采用化整為零的方式,先找到樣本空間Ω的一個劃分,Ω=A1∪A2∪…∪An,A1,A2,…,An兩兩互斥,將A1,A2,…,An看成是導(dǎo)致B發(fā)生的一系列原因,這樣事件B就被分解成了n個部分,分別計算P(B|A1),P(B|A2),…,P(B|An),然后借助全概率公式間接求出事件B發(fā)生的概率。

考點五 貝葉斯公式應(yīng)用

例5已知甲箱內(nèi)有3個白球2個黑球,乙箱內(nèi)有3個黑球2個白球,丙箱內(nèi)有2個白球2個黑球,現(xiàn)任取一箱,再從箱中任取一球,結(jié)果發(fā)現(xiàn)是白球,現(xiàn)在事件A=“此球為白球”,事件H1=“此球?qū)儆诩紫洹?則概率P(H1|A)=( )。

解析:設(shè)此球?qū)儆谝蚁錇槭录﨟2,此球?qū)儆诒錇槭录﨟3。

點評:貝葉斯公式是用于尋找原因的概率計算公式,即在第二階段某一個結(jié)果是已知的,需要求的是此結(jié)果由第一階段某一個結(jié)果引起的概率,類似于求條件概率。熟記這一特征,再遇到相關(guān)的題目可以快速地選擇恰當(dāng)?shù)墓竭M(jìn)行計算。

本文通過幾個重要的實例分析,歸納出條件概率與全概率公式考查的方向,以及解決問題的方法技巧,體會運(yùn)用概率思想分析和解決問題的重要性。