一道高考試題及其變式研究

■福建省德化第一中學(xué) 吳志鵬(正高級教師)

例題:(2021 年全國乙卷第5 題)已知F1、F2是橢圓的兩個焦點(diǎn),點(diǎn)M在橢圓C上,則|MF1|·|MF2|的最大值為( )。

A.13 B.12 C.9 D.6

命題思路:這是一道以橢圓為載體,利用橢圓的定義構(gòu)造兩線段的和為定值即橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為定值,并利用基本不等式或其他方法求積的最值的高考試題。

分析3:利用三角換元,設(shè)點(diǎn)M(3cosθ,2sinθ),再利用兩點(diǎn)的距離公式將|MF1|、|MF2|兩條線段表示出來,求積轉(zhuǎn)化為關(guān)于cosθ的二次函數(shù)求最值。

1.知識變式(變換知識的呈現(xiàn)場景)

變式1:用一段長為16 m 的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜地(墻的長大于16 m),則菜地的最大面積為( )。

A.64 m2B.48 m2

C.32 m2D.16 m2

分析1:根據(jù)題意,設(shè)籬笆的長為am,寬為bm,則a+2b=16。要求菜地面積s=ab的最大值,可利用基本不等式求出菜地的最大面積。

解法1:根據(jù)題意,設(shè)籬笆的長為am,寬為bm,則a+2b=16。

故選C。

分析2:根據(jù)題意,設(shè)籬笆的寬為xm,則長為(16-2x) m,則菜地面積為s=x(16-2x),進(jìn)一步可利用二次函數(shù)求出菜地的最大面積。

解法2:根據(jù)題意,設(shè)籬笆的寬為xm,則長為(16-2x) m。

所以菜地的面積為s=x(16-2x)=-2x2+16x=-2(x-4)2+32。

當(dāng)且僅當(dāng)x=4 時(shí),s取得最大值32,所以菜地的最大面積為32 m2。

故選C。

變式2:中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”,即假設(shè)在平面內(nèi)有一個三角形,邊長分別為a,b,c,三角形的面積S可由公式求得,其中p為三角形周長的一半,這個公式也被稱為海倫秦九韶公式?，F(xiàn)有一個三角形的邊長滿足a+b=14,c=6,則此三角形面積的最大值為( )。

分析:根據(jù)海倫秦九韶公式和基本不等式直接計(jì)算即可。

解:由題意得p=10。

當(dāng)且僅當(dāng)10-a=10-b,即a=b=7時(shí),取等號。故選B。

變式3:已知直線l過點(diǎn)P(3,2),且與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn),則△ABO的面積取得最小值時(shí)直線l的方程為( )。

A.2x+3y-6=0

B.2x+3y-12=0

C.x+2y-6=0

D.x+2y-12=0

2.方法變式(利用基本不等式后轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x、y 的一元二次不等式求最值)

變式5:已知x＞0,y＞0,若2x+y=8xy,則xy的最小值是( )。

分析:對2x+y使用基本不等式,這樣得到關(guān)于xy的不等式,解出xy的最小值。

3.素養(yǎng)變式(通過不同的情景構(gòu)造使用基本不等式的條件,并用基本不等式解決相應(yīng)問題)

變式7:△ABC三個內(nèi)角A,B,C所對邊分別是a,b,c,若a(bcosC+ccosB)=bc,則角A的最大值是( )。

分析:利用正弦定理將邊化成角,再利用兩角和的正弦公式即可得到a2=bc,再利用余弦定理及重要不等式求出cosA的取值范圍,即可得到A的取值范圍,從而得解。

解:因?yàn)閍(bcosC+ccosB)=bc,由正弦定理可得a(sinBcosC+sinCcosB)=csinB,所以asin(B+C)=csinB,即asin(π-A)=csinB。

因此,asinA=csinB,a2=bc。