數(shù)學(xué)文化融入試題的路徑

林琪

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2020年修訂）》，明確指出數(shù)學(xué)文化應(yīng)融入數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，在教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)有意識(shí)地結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，將數(shù)學(xué)文化滲透在日常教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的作用.根據(jù)數(shù)學(xué)文化試題背景與數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)程度，將試題中數(shù)學(xué)文化的融入方式分為復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式三大類.縱觀近年高考，可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)文化類試題比重逐漸增加，而且每年的高考文化題都充滿“數(shù)學(xué)味”.因此教師應(yīng)在平時(shí)的教學(xué)中讓學(xué)生逐步接觸文化類試題，并掌握命題思路.

本文以數(shù)列為例，論述數(shù)學(xué)文化融入試題中的路徑.

例1 （2022屆云南師大附中適應(yīng)性考試）《九章算術(shù)》是我國(guó)秦漢時(shí)期一部杰出的數(shù)學(xué)著作，書中第三章“衰分”有如下問(wèn)題：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百錢.欲令高爵出少，以次漸多，問(wèn)各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪裹、上造、公士（爵位依次變低）5個(gè)人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成遞增等差數(shù)列，這5個(gè)人各出多少錢？”在這個(gè)問(wèn)題中，若不更出17錢，則公士出的錢數(shù)為（? ）.

A.10? B.14? C.23? D.26

解析：設(shè)大夫、不更、簪裹、上造、公士所出錢數(shù)構(gòu)成遞增等差數(shù)列an，公差為d，由題意可知a2=17，S5=5a3=100，∴a3=20，d=a3－a2=3，所以公士出的錢數(shù)為a5=a2+3d=26.故選D.

評(píng)注：本題以古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中提出的問(wèn)題為背景，考查了等差數(shù)列基本量的關(guān)系式，本題注重考查考生的閱讀理解、提取信息、數(shù)學(xué)建模以及通過(guò)計(jì)算解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

筆者仿照例1，選取等比數(shù)列求某項(xiàng)為知識(shí)點(diǎn)，尋找素材，以“畢達(dá)哥拉斯樹”為背景，嘗試命題如下：

例2 畢達(dá)哥拉斯樹是據(jù)勾股定理所畫出來(lái)的一個(gè)可以無(wú)限重復(fù)的圖形，如圖1所示.因?yàn)樾螤詈盟埔豢脴?，被稱為畢達(dá)哥拉斯樹，也叫“勾股樹”.畢達(dá)哥拉斯樹以如下方式生長(zhǎng)：以邊長(zhǎng)為1的正方形的一邊作為斜邊，向外作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的兩直角邊為邊向外作正方形，得到2個(gè)新的小正方形，實(shí)現(xiàn)了一次生長(zhǎng)；再將這兩個(gè)小正方形各按照上述方式生長(zhǎng)，如此重復(fù)下去.則經(jīng)過(guò)10次生長(zhǎng)，可形成新小正方形個(gè)數(shù)為（ ?）.

A.128? B.256? C.1024? D.2048

解析：由題意得an+1=2an且a1=2，所以，數(shù)列an為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)和公比均為2，因此，an=2n，因此，則經(jīng)過(guò)10次生長(zhǎng)，可形成an=210=1024個(gè)新小正方形.故選C.

評(píng)注：復(fù)制式命制試題往往難度較低，前半部分一般都是以論述的形式，給出背景，對(duì)之后的解題影響不大，學(xué)生很容易找到數(shù)學(xué)本質(zhì)，進(jìn)行求解.

例3 （2022長(zhǎng)沙市模擬，多選題）對(duì)于正整數(shù)n，φ（n）是小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目.函數(shù)φ（n）以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如φ（9）=6（1，2，4，5，7，8與9互質(zhì)），則（? ）.

A. 若n為質(zhì)數(shù)，則φ（n）=n－1

B.數(shù)列φ（n）單調(diào)遞增

C.數(shù)列nφ（2n）的前5項(xiàng)和等于72

D.數(shù)列φ（3n）為等比數(shù)列

解析：對(duì)于A，若n為質(zhì)數(shù)，則與n互質(zhì)的數(shù)為1，2，3，…，n－1，共n－1個(gè)，即φ（n）=n－1.對(duì)于B，若n=3則與3互質(zhì)的數(shù)為1，2，即φ（3）=2，若n=4則與4互質(zhì)的數(shù)為1，3，即φ（4）=2，所以數(shù)列φ（n）不是單調(diào)遞增.對(duì)于C，n=2n，則互質(zhì)的為小于2n的所有奇數(shù)，所以φ（2n）=2n－1，nφ（2n）=n2n－1，∴nφ（2n）=n2n－1，∴S5=1+1+34+48+516=5716.對(duì)于D，n=3n，則與之互質(zhì)的為1，2，4，5，7，8，…，3n－2，3n－1，所以φ（3n）=23×3n，所以數(shù)列φ（3n）為等比數(shù)列.故選AD.

評(píng)注：本題以數(shù)學(xué)文化“歐拉函數(shù)”為背景，考查數(shù)列的通項(xiàng)及求和、判斷數(shù)列的單調(diào)性、等比數(shù)列的判斷方法等，考查考生的運(yùn)算能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.且此題為多選題，考察學(xué)生考慮問(wèn)題的全面性和周全性，選項(xiàng)的設(shè)置更是引導(dǎo)考生由淺入深考慮問(wèn)題.另外，多選題考察的知識(shí)點(diǎn)更多，更難，學(xué)生不易得全分，這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的選拔功能.

筆者仿照例3，選取“冰雹猜想”為背景，考察學(xué)生對(duì)分段數(shù)列求值問(wèn)題，嘗試命題如下：

例4 任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2，反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”），若取正整數(shù)m=5，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出5→16→8→4→2→1共需經(jīng)過(guò)5個(gè)步驟變成1（簡(jiǎn)稱為5步“雹程”）則（? ）.

A.若m=17，則需要12步“雹程”.

B.“冰雹猜想”的遞推關(guān)系可以為：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)an+1=an2，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)an+1=3an+1.

C.若對(duì)于正整數(shù)m，共需8個(gè)步驟變成1，則滿足條件的所有m構(gòu)成的集合為20，128.

D.存在連續(xù)的兩個(gè)正整數(shù)m1，m2，使得兩者的“雹程”一樣.

解析：對(duì)于A，若m=17，則上述運(yùn)算法則得出17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1共需經(jīng)過(guò)12個(gè)步驟變成1.對(duì)于B，根據(jù)題意，顯然正確.對(duì)于C，可采用逆向思維，所有m構(gòu)成的集合為128，21，20，3，如圖2.

對(duì)于D，由C可知存在連續(xù)的兩個(gè)正整數(shù)，m1=20，m2=21使得兩者的“雹程”都是8.因此選ABD.

評(píng)注：順應(yīng)式命制試題往往難度中等，是某一知識(shí)點(diǎn)的性質(zhì)和應(yīng)用，往往既考察知識(shí)點(diǎn)，也考察建模能力，往往比較靈活，學(xué)生也容易失分.

例5 （2020·臨沂三模）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F（1）=F（2）=1，F(xiàn)（n）=F（n－1）+F（n－2），（n≥3，n∈N+），此數(shù)列在現(xiàn)代物理、化學(xué)等方面都有著廣泛的應(yīng)用.若此數(shù)列被2除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列an，則數(shù)列an的前2019項(xiàng)的和為（? ）.

A.672? B.673? C.1346? D.2019

解析：斐波那契數(shù)列各項(xiàng)除以2的余數(shù)只有1和0，an為1，1，0，1，1，0，…，1，1，0，是周期函數(shù).∴S2019=（1+1+0）×13×2019=1346，故選C.

評(píng)注：本題以“斐波那契”數(shù)列為背景，考察周期函數(shù)求和.考察學(xué)生閱讀理解、數(shù)學(xué)模型能力，學(xué)生需要脫去背景，找到實(shí)質(zhì)是利用斐波那契數(shù)列的各項(xiàng)除以2的余數(shù)特征，得出新數(shù)列的周期性，進(jìn)而求出結(jié)果.屬于中檔題.另外，此題以著名的“斐波那契”數(shù)列為背景，增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)史的理解，擴(kuò)寬了學(xué)生的眼界.

筆者仿照例5，在斐波那契數(shù)列的基礎(chǔ)上加以延伸，以“黃金螺線”為背景，結(jié)合扇形的弧長(zhǎng)公式，嘗試命題如下：

例6 斐波那契螺旋線也稱黃金螺旋線，是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來(lái)的螺旋曲線，如圖3所示.首先，我們用以斐波拉契數(shù)為邊長(zhǎng)的兩個(gè)正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，然后再不斷以長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)畫對(duì)應(yīng)的正方形，同時(shí)再在正方形里面畫一個(gè)圓心角為90°的14扇形，這樣所有的弧線連接起來(lái)就是黃金螺線了，當(dāng)這根黃金螺線無(wú)限向外延伸時(shí)，它所在的這個(gè)矩形就無(wú)限的接近一個(gè)黃金矩形.所以這根螺線看起來(lái)是如此的迷人，以至于有人稱之為“上帝之眼”.達(dá)·芬奇的《蒙娜麗莎》，希臘雅典衛(wèi)城的帕特農(nóng)神廟等都符合這個(gè)曲線.如圖共有7個(gè)扇形組成，則整個(gè)黃金螺線長(zhǎng)度為?? .

解析：由題意可知每段黃金曲線與其所在正方形所合成的扇形半徑設(shè)為an，則數(shù)列an滿足a1=a2=1，an=an－1+an－2（n≥3），則扇形的長(zhǎng)度設(shè)為bn，則bn=12πan，則整個(gè)黃金螺線的長(zhǎng)度為S7=12π（a1+a2+…+a7）=12π（1+1+2+3+5+8+13）=332π.

評(píng)注：重構(gòu)式命制試題往往難度較高，是某一知識(shí)點(diǎn)或者方法的遷移，常涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，能較好考察學(xué)生閱讀理解能力、建模能力.

綜上分析可見，文化類試題更多考察到學(xué)生的閱讀理解能力，無(wú)論那種命題方式，都應(yīng)該學(xué)會(huì)脫去背景，尋找文化背景后的數(shù)學(xué)考點(diǎn).教師應(yīng)在日常教學(xué)中經(jīng)常滲透此類題，讓學(xué)生更好的經(jīng)歷數(shù)學(xué)歷程、理解數(shù)學(xué)知識(shí)、感受數(shù)學(xué)思維、體會(huì)數(shù)學(xué)精神.同時(shí)，亦可引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注我國(guó)社會(huì)的進(jìn)步與發(fā)展，增強(qiáng)民族自豪感，增強(qiáng)愛國(guó)情懷，培育和踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)“以德樹人”的教育宗旨.