導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)不可求問題的破解策略

梁加林

我們?cè)诶脤?dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或者極值時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到導(dǎo)函數(shù)方程f′（x）=0是一個(gè)超越方程或是一個(gè)含有參數(shù)的二次方程，使我們無法求出方程根或者無法清晰的表述方程根的情況，此時(shí)我們可能是束手無策，無法繼續(xù)下去了，其實(shí)問題并非是無從下手，而可能是我們知識(shí)儲(chǔ)備不夠豐富，方法研究不夠透徹，針對(duì)這個(gè)常見的解題現(xiàn)象，本文通過對(duì)典型例題的分析探求，介紹常用的五種處理手段，供讀者朋友參考.

一 賦值探求

如果導(dǎo)函數(shù)涉及的是關(guān)于lnx的復(fù)合函數(shù)時(shí)，一般可令x=et，特別的是令x=1或者x=e進(jìn)行試探；如果導(dǎo)函數(shù)涉及的是關(guān)于ex的復(fù)合函數(shù)時(shí)，一般可令x=lnt，特別的是令x=0或者x=1進(jìn)行試探求解.

例1 已知函數(shù)f（x）=a－exx+alnx，若a∈R且a

析解：由題設(shè)可得定義域?yàn)閤>0，又f′（x）=－ex·x－（a－ex）x2+ax=（1－x）（ex－a）x2.當(dāng)a≤0時(shí)，ex－a>0，令f′（x）=0，得x=1，而當(dāng)00，f（x）是增函數(shù)；當(dāng)x>1時(shí)，f′（x）<0，f（x）是減函數(shù)，即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）.當(dāng)00，f（x）是增函數(shù)；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）<0，f（x）是減函數(shù)．所以此時(shí)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（0，lna）和（1，+∞），單調(diào)增區(qū)間為（lna，1）.

點(diǎn)評(píng)：如果導(dǎo)函數(shù)方程是超越方程，不應(yīng)該用常規(guī)解方程的方法求解，需要靈活地使用相關(guān)的特殊值驗(yàn)算得出，這是一個(gè)重要的解題共識(shí).

二 虛設(shè)零點(diǎn)

通過假設(shè)x0是方程f′（x）=0的根，然后將x0代入方程并設(shè)法消去參數(shù)，重新構(gòu)造出關(guān)于零點(diǎn)的一個(gè)單一函數(shù)，這樣就能把題目轉(zhuǎn)化為常規(guī)的方程問題了.