再談圓錐曲線焦點弦長的統(tǒng)一公式

一、問題的提出

例1 已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，求|AB|+|DE|的最小值.

該例題是普通高中教科書《數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》（湖南教育出版社，2019年第1版）課本P149習(xí)題3.3的第12題，原題則出自2017年高考全國數(shù)學(xué)理科I卷.原題作為選擇題，有不少資料上都利用了拋物線焦點弦的弦長公式來給出簡解，過程如下：

解析：不妨設(shè)l1的傾斜角為α（0<α<π2），則l2的傾斜角為α+π2，|AB|=4sin2α，|DE|=4sin2（α+π2）=4cos2α，故|AB|+|DE|=4（1sin2α+1cos2α）=16sin22α≥16，|AB|+|DE|的最小值為16，當(dāng)且僅當(dāng)α=π4時等號成立．

這里拋物線的焦點弦長公式指的是：若拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為p，過焦點的弦AB與對稱軸的夾角為α，則弦長|AB|=2psin2α．進一步地，該結(jié)論可以推廣到任意圓錐曲線，即：若圓錐曲線的一個焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為p，且過該焦點的弦AB與焦點所在的對稱軸的夾角為α，則弦長|AB|=2ep|1－e2cos2α|，其中e為該圓錐曲線的離心率．這就是圓錐曲線焦點弦長的統(tǒng)一公式，是一個在各級資料上比較常見的二級結(jié)論．

上述解析利用公式邏輯清晰，目標(biāo)明確，過程簡潔有效．在學(xué)生掌握了這個二級結(jié)論的前提下，作為選擇題的解法無可厚非．只是例1作為解答題，這個直接利用二級結(jié)論的解答過程就明顯不夠嚴(yán)謹(jǐn)了．筆者曾在高三某個班級利用該題做了一個小測驗，結(jié)果發(fā)現(xiàn)該班不少優(yōu)秀的同學(xué)光知道利用二級結(jié)論進行所謂“秒殺”，規(guī)范的解答過程反而不知道怎么書寫了，不是缺步就是跳步，這不禁讓筆者憂心不已．高三復(fù)習(xí)該不該任由學(xué)生去記憶類似的二級結(jié)論呢？二級結(jié)論是否會影響學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)？筆者不禁陷入了思索與困惑．

二、問題的思考

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》針對平面解析幾何內(nèi)容，對學(xué)生提出了具體的學(xué)業(yè)要求．即能夠掌握平面解析幾何解決問題的基本過程；根據(jù)具體問題情境的特點，建立平面直角坐標(biāo)系；根據(jù)幾何問題和圖形的特點，用代數(shù)語言把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；根據(jù)對幾何問題（圖形）的分析，探索解決問題的思路；運用代數(shù)方法得到結(jié)論；給出代數(shù)結(jié)論合理的幾何解釋，解決幾何問題．同時對高考命題原則，《課標(biāo)》明確指出：考查內(nèi)容應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)內(nèi)容主線，聚焦學(xué)生對重要數(shù)學(xué)概念、定理、方法、思想的理解和應(yīng)用，強調(diào)基礎(chǔ)性、綜合性；注重數(shù)學(xué)本質(zhì)、通性通法，淡化解題技巧；融入數(shù)學(xué)文化．由此可見，強調(diào)利用二級結(jié)論來解題，會讓學(xué)生陷入強化解題技巧的誤區(qū)，也會使學(xué)生忽視數(shù)學(xué)的本質(zhì)，甚至?xí)虼硕鴮?shù)學(xué)興趣索然．那二級結(jié)論是不是都沒有積極作用？教師是不是要制止學(xué)生去鉆研、理解二級結(jié)論呢？為此，筆者專門和一些成績優(yōu)秀的同學(xué)做了交流，其中有幾個學(xué)生反映以前在考試時經(jīng)常會因方法的選擇不當(dāng)、本身計算能力的不足等原因，導(dǎo)致成績一直不夠理想，而在掌握并能熟練使用一些二級結(jié)論后，對數(shù)學(xué)解題（特別是選擇題或填空題）有了較大的信心，不僅提高了解題速度，而且解題的準(zhǔn)確率也有一定的提升，成績自然也更加突出．

四、結(jié)語

以上通過對圓錐曲線的焦點弦長的統(tǒng)一公式的教學(xué)，舉一反三，給沉悶的數(shù)學(xué)教學(xué)注入了一絲活力，提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動了學(xué)生的積極性，從而提高了課堂教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量，同時也發(fā)展了學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說過：“解題可以是人的最富有特征性的活動，假如你想要從解題中得到最大的收獲，你就應(yīng)該在所做的題目當(dāng)中去找出它的特征，那些特征在你以后求解其他問題時，能起到指導(dǎo)的作用.”筆者認(rèn)為，二級結(jié)論其實就是所謂的“特征”，是對一些重要的數(shù)學(xué)概念、定理、性質(zhì)等進行的深入總結(jié)，它可以有意識的引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)論中發(fā)現(xiàn)解題思路，從證明中完善解題過程．要達(dá)到這樣的正面效果就要求教師要指導(dǎo)學(xué)生知其然更要知其所以然．?dāng)?shù)學(xué)題目是永遠(yuǎn)做不完的，如果學(xué)生能適當(dāng)掌握一些二級結(jié)論，就能解決更多相應(yīng)的問題，這確實會大大提升學(xué)習(xí)效率.當(dāng)然這里教師也要對二級結(jié)論進行篩選，指導(dǎo)學(xué)生去粗取精，避免學(xué)生陷入泥潭．

參考文獻

［1］張景中，黃步高．普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊［M］．湖南：湖南教育出版社，2019．

［2］林秋林．圓錐曲線焦點弦長的統(tǒng)一公式［J］．?dāng)?shù)理天地（高中版），2018（9）．