一道全國(guó)新高考Ⅱ卷題的探究與推廣

劉惠梅

2022年新高考全國(guó)Ⅱ卷第21題以解析幾何為背景設(shè)置了開(kāi)放性試題，比往年明顯加大了開(kāi)放題的創(chuàng)新力度和廣度，突出了對(duì)思維靈活性品質(zhì)的考查.在考査理性思維的同時(shí)，也考查了邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象核心素養(yǎng)，體現(xiàn)了素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的命題原則.

一、試題呈現(xiàn)及分析

（2022年全國(guó)新高考Ⅱ卷21）如圖1，設(shè)雙曲線x2a2－y2b2=1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)為F2，0，漸近線方程為y=±3x.

（1）求C的方程；

（2）經(jīng)過(guò)F的直線與C的漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1>x2>0，y1>0.過(guò)P且斜率為－3的直線與過(guò)Q且斜率為3的直線交于點(diǎn)M，從下面三個(gè)條件①②③中選擇兩個(gè)條件，證明另一個(gè)條件成立：

①M(fèi)在AB上；②PQ∥AB；③AM=BM.

本題以雙曲線為切入點(diǎn)，以探索創(chuàng)新情境為載體，聚焦結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新性的考察要求，重點(diǎn)考察與中點(diǎn)有關(guān)的曲線相交問(wèn)題，圍繞著圖形特征的探索，考察數(shù)學(xué)探究和空間想象素養(yǎng)以及邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算關(guān)鍵能力，其中特別是邏輯推理能力要求較高.解題的思路有四種：（1）“設(shè)線”入手（設(shè)直線PQ方程）;（2）“設(shè)點(diǎn)”入手（設(shè)P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)）;（3）“點(diǎn)差法”探索與中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題;（4）利用“直線參數(shù)方程的幾何意義”來(lái)解決問(wèn)題.下面從條件出發(fā)，以“設(shè)線”入手解題.

結(jié)論4 如圖5，已知雙曲線x2a2－y2b2=1（a>0，b>0），點(diǎn)M不在雙曲線上且不在漸近線上，過(guò)M作斜率為－ba的直線與雙曲線和漸近線分別交于P，D，過(guò)M作斜率為ba的直線與雙曲線和漸近線分別交于Q，E，則PQ∥DE.

以雙曲線為載體的解析幾何研究是近兩年全國(guó)卷的熱點(diǎn)問(wèn)題，雙曲線與其退化的情形（即兩條漸近線）的性質(zhì)有許多共通之處，研究雙曲線和其漸近線有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，可以考慮曲直轉(zhuǎn)化.解析幾何的教學(xué)要不斷強(qiáng)化“文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言”三種語(yǔ)言轉(zhuǎn)化能力.幾何問(wèn)題“解析化”是有方向可循的，首先我們要明確這是一個(gè)什么樣的幾何問(wèn)題，即我們是將這個(gè)幾何問(wèn)題視作整體的圖形去挖掘它的幾何特征，還是看作兩個(gè)或多個(gè)圖形去探索它們的關(guān)系，亦或者從數(shù)量關(guān)系角度進(jìn)行挖掘，接著研究和探索這個(gè)幾何問(wèn)題需要用到哪些代數(shù)條件，再把幾何問(wèn)題代數(shù)化（有時(shí)候這個(gè)代數(shù)化過(guò)程不是很直觀，需要把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)等價(jià)的幾何問(wèn)題后再進(jìn)行代數(shù)化）.

因此，新高考下我們?cè)趶?fù)習(xí)備考中要強(qiáng)化自主探究，要能夠從多角度思考，深入挖掘圖形的幾何特征，掌握研究解析幾何問(wèn)題的一般方法和思維方式，提升學(xué)生的解題力.