“趙州橋”中的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化

林琪瑜　張維忠

【摘 要】橋是表達(dá)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化與數(shù)學(xué)文化的媒介，溝通人與自然的重要橋梁.基于趙州橋的歷史文化，揭示了趙州橋中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生洞見古人智慧，實現(xiàn)今人與前人的對話，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展．

【關(guān)鍵詞】趙州橋；傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化；數(shù)學(xué)探究

成長至今的你走過多少橋？生活中的你又多少次用“橋”將世界聯(lián)結(jié)？自古以來，橋是文人墨客們創(chuàng)作靈感之源，是人類最偉大的創(chuàng)造之一．它蘊(yùn)含著建筑美、數(shù)學(xué)美、繪畫美、文學(xué)美……而趙州橋是我國古代先人將人、自然、科學(xué)巧妙聯(lián)系后創(chuàng)造的代表性杰作，充滿了中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化與數(shù)學(xué)文化．在這里，讓我們一起揭開“趙州橋”的神秘面紗，一同領(lǐng)略它的美，揭示其蘊(yùn)含的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化及教育價值．

1 初聞“趙州橋”的故事

趙州橋（圖1）坐落于河北省趙縣洨河上，建于隋代公元605—618年間，由中國第一位橋梁專家李春建造．因趙縣古稱趙州而得名，后由宋哲宗趙煦賜名安濟(jì)橋，并以之為正名．

隋朝趙縣不僅是戰(zhàn)略要地，還是南北交通的樞紐：北上可抵重鎮(zhèn)涿郡，南下可達(dá)京都洛陽，但橫亙在境內(nèi)的“巨川”洨河對交通造成嚴(yán)重阻礙，于是巧工能匠李春受命負(fù)責(zé)設(shè)計這座大石橋.他周密考察自然環(huán)境，結(jié)合實際需要，在繼承前人經(jīng)驗的同時，發(fā)揮智慧與才能，成功建造了這座舉世聞名的趙州橋．這座屹立了1400多年的石橋，猶如一首千古絕唱，歷久彌堅，它也是世界上現(xiàn)存年代久遠(yuǎn)、跨度最大、保存最完整的首創(chuàng)“敞肩拱”形單孔坦弧敞肩石拱橋．

“玉石欄桿圣人留，張果老騎驢橋上走，柴王爺推車軋了一道溝”的圣人與仙跡傳說是游人津津樂道的有趣內(nèi)容之一．相傳著名工匠祖師魯班為解決洨河兩岸來往困難的問題，一夜之間建好了趙州大石橋，這一奇跡驚動了“八仙”之一的張果老．張果老想試一試這橋到底結(jié)實否，便在驢背的褡褳里一邊裝上了“太陽”，一邊又裝上了“月亮”，要在橋上走過．與此同時還請來了柴王爺推著載有“五岳名山”的獨(dú)輪車．他倆一人騎著驢，一人推著獨(dú)輪車就上了橋．不料橋被壓得搖搖欲墜，魯班急中生智跳下橋去，用手托住橋身東側(cè)，這才使兩位仙人順利通過．

這“神仙斗法”的故事，還留下了后人“有跡可查”的仙跡：張果老的驢蹄印壓出了圓坑窩；柴王爺推車過猛壓出的膝蓋印和車道溝（圖2）；以及魯班托橋的手?。?/p>

2 探秘“趙州橋”中的數(shù)學(xué)

趙州橋長64.40米，跨徑37.02米，拱矢7.23米，拱矢和跨度的比例大約是1∶5（圖3）．只用單孔石拱跨越?jīng)┖樱捎跊]有橋墩，既增加了排水功能，又方便舟船往來．橋高比拱弧的半徑要小得多，整個橋身只是圓弧的一段，這樣的拱，也叫做“坦拱”．以此為拱橋的承重結(jié)構(gòu)，可使在相同跨度情況下，大幅度地降低橋梁高度，使得橋面更加平緩，便于舟車人馬通行．

趙州橋的石拱有28道拱券并列砌筑，每一拱券可獨(dú)立成拱，便于后期修補(bǔ)．橋臺基礎(chǔ)為砌石淺基礎(chǔ)，基礎(chǔ)寬度9.6 m，長度5.8 m，基礎(chǔ)高度1.57 m，埋深2.0～2.5 m（圖4）．這樣低拱腳、淺基礎(chǔ)、短橋臺的特征，使其橋體穩(wěn)固堅實．雖然并列拱券結(jié)構(gòu)易橫向聯(lián)系不足，需要通過護(hù)拱石、鐵梁、腰鐵等方式加強(qiáng)聯(lián)系，但是趙州橋的拱腳仰角已然是基本達(dá)到最佳設(shè)計．

列出拱腳的水平推力和抗力相平衡的方程式：Tsin αtan φ_c+P_pTcos α=K.

（其中，T為拱腳的軸向推力，α為拱腳的仰角，φ_c為基底綜合摩擦角，P_p為基礎(chǔ)側(cè)面被動土壓力，K表示安全系數(shù)）

當(dāng)取P_p=0，K=1時，有tan α=1tan φ_c，可畫出圖5.

如圖6，若拱腳的仰角α設(shè)計太小，則拱腳對基礎(chǔ)的水平推力就會過大，不利于基礎(chǔ)水平穩(wěn)定；若拱腳的仰角α設(shè)計太大，則拱腳對基礎(chǔ)的水平推力就會變小，但此時拱券的高就會增大，橋面愈發(fā)陡，不利于通行．而從上面的簡單分析中，發(fā)現(xiàn)當(dāng)拱腳的仰角α為40°時，基底綜合摩擦角為50°，此時情況最佳，這便是趙州橋的拱腳仰角度數(shù)，可見這座石拱橋的設(shè)計充滿著隋代堯山石匠的智慧與膽識！

談及橋面平緩，這優(yōu)美的曲拱，實際是用一塊塊直棱石料構(gòu)造而成的，你是否心生疑惑了呢？直棱怎么會鋪成一個圓弧曲拱呢？其實，這其中閃耀著數(shù)學(xué)曲中有直、化曲為直的思想光芒！

趙州橋的曲直與我們學(xué)的圓有什么聯(lián)系呢？在推導(dǎo)圓的面積公式時，我們把圓分割成許多扇形，然后把這些扇形拼成接近矩形或平行四邊形．分的扇形越多，扇形的弧就越接近直線，化曲為直，由此推導(dǎo)出圓的面積公式．公元3世紀(jì)北魏的劉徽提出的“割圓術(shù)”（圖7），就體現(xiàn)了現(xiàn)代微積分的極限思想，即用圓內(nèi)接正多邊形的面積來逼近圓面積，也體現(xiàn)了曲直互化．他把極限的動態(tài)變化過程及其歸宿描述得十分透徹和傳神：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓周合體而無所失矣”（圖8）．用圓內(nèi)接192邊形的周長與直徑之比作為“π”的近似值，得到了π≈3.14的世界首創(chuàng)．無獨(dú)有偶，祖沖之利用圓內(nèi)接正12288邊形，得出π介于3.1415926與3.1415927之間，成為世界上第一個把π的準(zhǔn)確值計算到小數(shù)點(diǎn)后七位的人^［1］．

3 “趙州橋”里的數(shù)學(xué)題

2013版浙教版“義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)”九年級上冊第三章“圓的垂徑定理”節(jié)前語^［2］就借趙州橋引入，并探索垂徑定理：“我國歷史上著名的趙州橋建于隋大業(yè)（公元605—618）年間，橋長64.40 m，是現(xiàn)存世界上跨徑最大、建造最早的單孔敞肩型石拱橋．你知道怎樣確定橋拱圓弧的半徑嗎？”

掌握了垂徑定理后，解決節(jié)前語，例3：已知節(jié)前語所示的趙州橋的跨徑（橋拱圓弧所對的弦的長）為37.02 m，拱高（橋拱圓弧中點(diǎn)到弦的距離）為7.23 m．求趙州橋的橋拱圓弧的半徑（精確到0.01）（圖9）．

以探索現(xiàn)實情境為需要，解決數(shù)學(xué)問題，將所學(xué)知識巧妙融合于其中，學(xué)生既能成功求解，又能在其中感受中國古人的智慧，陶冶愛國情操.由于趙州橋只是圓弧的一小部分，我們利用圓的知識去解決時，可先設(shè)所在圓的圓心為O，半徑為r（m）．因為C為AB的中點(diǎn)，CO為半徑，依據(jù)垂徑定理逆定理可知CO垂直平分AB，由題意，得AB=37.02 m，CD=7.23 m，繼而可知AD，用r表示OD．在Rt△OAD中，OA²=AD²+OD²，即r²=18.51²+（r－7.23）²，解方程得r≈27.31．解決這一問題的關(guān)鍵，是根據(jù)實物畫出幾何圖形，將具體轉(zhuǎn)化成抽象，相信看到抽象圖形的你能快速有效結(jié)合圓的知識去完成任務(wù)．當(dāng)我們得出橋拱所在圓的半徑時，可知趙州橋拱之所以能如此平緩，正是因為它所在圓十分巨大！無獨(dú)有偶，2013版人教版“義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)”九年級上冊第24章圓的閱讀材料中也為同學(xué)們介紹了圓周率π的由來^［3］，隨著圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)的成倍增多，它們的周長p越來越接近圓的周長c．現(xiàn)在的你肯定可以理解為何巨大的圓拱可以近似地看作一段段直邊拼接而成了吧！

橋拱作為圓的知識教學(xué)素材，也能在數(shù)學(xué)題中找到它的影子，2022年溫州九年級期末卷中，需要同學(xué)們根據(jù)素材解決問題（表1）.

相較教材例題，這里增加了兩次垂徑定理的使用，及一個反比例函數(shù)的關(guān)系最后轉(zhuǎn)化．（圖13）任務(wù)1，通過垂徑定理，構(gòu)造Rt△ADO，列式（r－4）²+8²=r²，求得半徑為10米；任務(wù)2，再次利用垂徑定理，在Rt△EMO中，勾股列式求解MO，后續(xù)便是結(jié)合實際情境，分析MD的長度，判斷貨船能否通過圓形橋拱，再借反比例函數(shù)轉(zhuǎn)化求解需要貨船增加貨物的質(zhì)量．

利用正多邊形與圓的知識，劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)的應(yīng)用也能在初中數(shù)學(xué)題中找到落腳點(diǎn)．如用圓的內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓的面積（圖14），若用圓的內(nèi)接正八邊形的面積S₁來近似估計⊙O的面積S，設(shè)⊙O的半徑為2，求S－S₁的值．熟練基本知識的你可以得到每條邊（弦）所對的圓心角的度數(shù)為45°，并對連半徑后分割成的8個正三角形作高求面積和，即可得到結(jié)論4π－82．相信敏銳的你也發(fā)現(xiàn)了這個結(jié)果表明圓內(nèi)接正八邊形與圓的面積實際誤差已經(jīng)很小了，可見古人以直代曲的思想來割圓是蘊(yùn)含著極大智慧的！

圓形橋拱中有數(shù)學(xué)，又有文化，更是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不可多得的良好素材，當(dāng)我們結(jié)合數(shù)學(xué)知識去解決現(xiàn)實問題時，一方面需要將情境抽象化探尋現(xiàn)實中的數(shù)學(xué)魅力，另一方面也需要將抽象數(shù)學(xué)具象化，感受情境的內(nèi)涵和其透露的藝術(shù)與生活的感染力！

參考文獻(xiàn)

［1］張維忠.文化視野中的數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育［M］．北京：人民教育出版社，2005：120-128．

［2］范良火．義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（九年級上冊）［M］．杭州：浙江教育出版社，2013：76-80．

［3］人民教育出版社 課程教材研究所 中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心．義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（九年級上冊）［M］．北京：人民教育出版社，2013：109-110．

作者簡介 林琪瑜（1993—），女，浙江溫州人，中學(xué)一級教師;主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

張維忠（1964—），男，甘肅天水人，博士，教授;主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究.