在“做數(shù)學(xué)”中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力

【摘 要】“做數(shù)學(xué)”以學(xué)生沉浸式體驗(yàn)，“動(dòng)態(tài)”感知知識(shí)結(jié)構(gòu)，秉承“手腦協(xié)同”理念，獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).做中思，達(dá)成思想感悟，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力：理解數(shù)學(xué)概念本質(zhì)，培養(yǎng)直觀思維能力；理解數(shù)學(xué)基本事實(shí)和原理，培養(yǎng)抽象思維能力；增強(qiáng)運(yùn)算能力，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律和關(guān)系，培養(yǎng)代數(shù)推理能力；經(jīng)歷數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力；激發(fā)學(xué)生質(zhì)疑問難，培養(yǎng)批判性思維能力.

【關(guān)鍵詞】“做數(shù)學(xué)”；思維能力；活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)思維就是通常所指的數(shù)學(xué)思維能力，即能夠用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)去思考問題和解決問題的能力.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)2022版》）指出，數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為：運(yùn)算能力、推理意識(shí)或推理能力^［1］.然而，數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象獲得研究對(duì)象，基于抽象結(jié)構(gòu)，以符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型建構(gòu)等多元化方式理解和表征現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì)屬性、結(jié)構(gòu)關(guān)系和變化規(guī)律.隨著初中教學(xué)內(nèi)容的快速增長(zhǎng)，思維形式逐步從具象過渡到抽象，且抽象程度越來越高，造成學(xué)生對(duì)于初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了畏懼感.

夸美紐斯倡導(dǎo)：“教一個(gè)活動(dòng)的最好方法是演示，學(xué)一個(gè)活動(dòng)最好的方法是做.”“做數(shù)學(xué)”是學(xué)生運(yùn)用材料和工具，在動(dòng)手動(dòng)腦過程中，通過操作體驗(yàn)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、綜合實(shí)踐等活動(dòng)，理解數(shù)學(xué)知識(shí)，探究數(shù)學(xué)規(guī)律，解決問題的一種學(xué)習(xí)方式.因此，“做數(shù)學(xué)”強(qiáng)調(diào)的不是簡(jiǎn)單動(dòng)手做一做，而是需要?jiǎng)幽X思考，通過學(xué)生參與，建立數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考與深刻感悟，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和探究欲望.數(shù)學(xué)中很多概念和法則的形成、公式的由來、定理的理解，可以在教師的引導(dǎo)下，運(yùn)用有關(guān)工具，通過實(shí)際操作，在認(rèn)知與非認(rèn)知因素參與下進(jìn)行理解數(shù)學(xué)知識(shí)、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論，從動(dòng)手操作、體驗(yàn)探索、邏輯思辨中，增強(qiáng)對(duì)問題思考和理解的深刻性，在將“冰冷的美麗”變成“火熱的思考”歷程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

1 “做數(shù)學(xué)”揭示概念本質(zhì)，培養(yǎng)直觀思維能力

數(shù)學(xué)直觀思維能力的核心在于將數(shù)學(xué)問題用圖象、圖表等直觀性元素表達(dá)出來，在直觀性元素應(yīng)用下了解數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，繼而幫助學(xué)生厘清數(shù)學(xué)知識(shí)體系，深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容.培養(yǎng)學(xué)生直觀思維是學(xué)生正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的保障，因此將直觀思維能力培養(yǎng)滲透到初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，轉(zhuǎn)變課堂學(xué)習(xí)模式，拓展學(xué)生思維，進(jìn)而構(gòu)建高效數(shù)學(xué)課堂.概念是反映事物本質(zhì)屬性的思維形式，是從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出來.基于初中學(xué)生直觀思維相對(duì)較強(qiáng)的特征，在概念教學(xué)時(shí)，應(yīng)根據(jù)學(xué)生已有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和基礎(chǔ)，以“做數(shù)學(xué)”的方式，學(xué)生“手腦協(xié)同”，經(jīng)歷“操作—體驗(yàn)—感悟”的過程，在習(xí)得概念、獲得結(jié)論中，由“動(dòng)態(tài)”活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)串聯(lián)“靜態(tài)”文本知識(shí)，并用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和符號(hào)表征原汁原味的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，自然揭示知識(shí)本質(zhì)，培養(yǎng)直觀思維能力，形成數(shù)學(xué)對(duì)象之間的聯(lián)系.

例如，畫“螺旋圖”感受無(wú)理數(shù)的存在性.

如圖1，OB=BA₁=A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄=A₄A₅=…=1，

∠A₁BO=∠A₂A₁O=∠A₃A₂O=∠A₄A₃O=∠A₅A₄O=…=90°.

（1）我們知道a²₁=2，且a₁是無(wú)理數(shù)，試計(jì)算a²₂，a²₃，a²₄，a²₅，…的值.你能知道a₂，a₃，a₄，a₅，…這些數(shù)據(jù)中哪些是有理數(shù)？哪些是無(wú)理數(shù)？

（2）你能在數(shù)軸上畫出表示a₂，a₃，a₄，a₅，…這些數(shù)的點(diǎn)嗎？

《課標(biāo)2022版》指出：利用數(shù)學(xué)專業(yè)軟件等教學(xué)工具開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀化，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu).教學(xué)中利用“尺規(guī)作圖”構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理計(jì)算“斜邊長(zhǎng)”，發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)的客觀存在，通過“尺規(guī)”操作，在數(shù)軸上找到相應(yīng)無(wú)理數(shù)的點(diǎn)，擴(kuò)充數(shù)域，完善實(shí)數(shù)體系.學(xué)生經(jīng)歷作圖，理解抽象的無(wú)理數(shù)：直角三角形邊長(zhǎng)和數(shù)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)表征，結(jié)合“直觀”的有理數(shù)整體建構(gòu)，進(jìn)一步理解“實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)”的關(guān)系.

“做數(shù)學(xué)”通過學(xué)生親自操作，將抽象的數(shù)可視化，形象地理解并揭示無(wú)理數(shù)的本質(zhì)屬性.數(shù)軸提供了數(shù)及其關(guān)系的直觀模型，從“數(shù)”到“形”、從“形”到“數(shù)”的互逆過程，“扮演”了理解數(shù)的概念、大小關(guān)系及運(yùn)算的基本工具角色，提供直觀思維的“平臺(tái)”，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解，建立數(shù)學(xué)對(duì)象之間的聯(lián)系.

2 “做數(shù)學(xué)”理解數(shù)學(xué)事實(shí)和原理，培養(yǎng)抽象思維能力

抽象思維是指從具體事物中，抽取本質(zhì)屬性，舍棄其他非本質(zhì)屬性的思維過程，通過對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，形成數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則和方法，以分析、綜合、比較、抽象、概括和具體化作為思維的基本過程，從而揭露事物的本質(zhì)特征和規(guī)律性聯(lián)系.《課標(biāo)2022版》指出：基本事實(shí)是反映數(shù)學(xué)最基本的規(guī)律和特點(diǎn)的，經(jīng)過長(zhǎng)期實(shí)踐檢驗(yàn)得到普遍認(rèn)可的，無(wú)需證明的事實(shí).因此，數(shù)學(xué)基本事實(shí)具有真實(shí)性、基礎(chǔ)性和可感知性，是構(gòu)建數(shù)學(xué)內(nèi)部邏輯體系的根基.史寧中教授認(rèn)為，要在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考問題，要知道自己思考問題的開始是什么，沒有合理出發(fā)點(diǎn)的論據(jù)是沒有根據(jù)的，只有建立在論據(jù)基礎(chǔ)上才能夠合乎邏輯地解釋或論證數(shù)學(xué)的基本方法與結(jié)論，才能進(jìn)一步分析、解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題.學(xué)生經(jīng)歷“做數(shù)學(xué)”體悟數(shù)學(xué)基本事實(shí)的合理性，進(jìn)而將其作為知識(shí)生成體系中的“種子”，作為推理的依據(jù)，逐步構(gòu)建數(shù)學(xué)內(nèi)部邏輯體系.

例如，轉(zhuǎn)木條感受“同位角相等，兩直線平行”這一基本事實(shí).

如圖2，3根木條（或硬紙板）相交成∠1，∠2，固定木條b，c，轉(zhuǎn)動(dòng)木條a.在木條a的轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，木條a，b的位置發(fā)生了什么變化？∠2與∠1的大小關(guān)系發(fā)生什么變化？

在教學(xué)中，教師鼓勵(lì)學(xué)生自己動(dòng)手操作、觀察、想象，得出結(jié)論.在轉(zhuǎn)動(dòng)a的過程中，∠2與∠1的大小關(guān)系為3種情況：大于、等于、小于；a，b所在的直線的位置關(guān)系有兩種情況：相交或平行.思考兩者之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，當(dāng)∠2=∠1時(shí)，a與b平行.從平行線的畫法（如圖3），研究直線a，b平行的原理，由于直尺不動(dòng)，三角尺在平移過程中，其對(duì)應(yīng)角（∠2=∠1）的大小不變，由此感知畫平行線實(shí)際上就是畫相等的角.反之，若∠2與∠1不相等，可直觀察得出a，b會(huì)相交于c的某一側(cè)，于是通過觀察、比較，形成“同位角”概念，進(jìn)而得出兩直線平行的條件：同位角相等，兩直線平行.在此基本事實(shí)基礎(chǔ)上，類比探究，獲得“內(nèi)錯(cuò)角”“同旁內(nèi)角”概念，推導(dǎo)出“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”的判定條件，從而建立平行線判定方法的邏輯體系.而后，進(jìn)一步探索平行線的性質(zhì)及其應(yīng)用，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò).

“做數(shù)學(xué)”由學(xué)生操作、觀察、交流，完成對(duì)數(shù)學(xué)基本事實(shí)的抽象、歸納和理解.基本數(shù)學(xué)事實(shí)本質(zhì)屬性，始于抽象的“思”，終于表象的“理”，為此“做數(shù)學(xué)”需要在數(shù)學(xué)抽象中繼續(xù)深入研究，引導(dǎo)學(xué)生從形象思維過渡到抽象思維，建構(gòu)知識(shí)體系，從直觀的“做”到抽象的“思”，“做數(shù)學(xué)”對(duì)學(xué)生抽象思維的培養(yǎng)發(fā)揮著獨(dú)特作用，進(jìn)而使數(shù)學(xué)內(nèi)部邏輯體系自然發(fā)生.

3 “做數(shù)學(xué)”增強(qiáng)運(yùn)算能力，培養(yǎng)代數(shù)推理能力

運(yùn)算能力是指運(yùn)用有關(guān)運(yùn)算的知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算、推理求得運(yùn)算結(jié)果的能力.運(yùn)算實(shí)際上是一個(gè)演繹推理過程，運(yùn)算即是推理.《課標(biāo)2022版》指出：學(xué)生應(yīng)該“能夠通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想，并進(jìn)一步尋找證據(jù)給出證明或舉出反例；能清晰、有條理地表達(dá)自己的思考過程，是代數(shù)推理的具體表現(xiàn).代數(shù)推理是數(shù)學(xué)思維的重要內(nèi)容，學(xué)生的思維能力發(fā)展與心智水平密切相關(guān)，通過運(yùn)算聯(lián)想“式結(jié)構(gòu)”，大膽嘗試，在歸納的過程中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其合理性，循序漸進(jìn)的發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律，從而養(yǎng)成有條理做事的習(xí)慣.“做數(shù)學(xué)”經(jīng)歷運(yùn)算、猜想、驗(yàn)證、歸納，將“冰冷”的符號(hào)運(yùn)算“趣味化”，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)邏輯結(jié)構(gòu)“好玩”，外加一個(gè)有力的演繹邏輯，從而確定結(jié)果是否正確，甚至可以發(fā)現(xiàn)新規(guī)律.

例如，勾股數(shù)特征的探究：直角三角形三邊長(zhǎng)都是整數(shù)稱為勾股數(shù)，勾股數(shù)有多少？勾股數(shù)有規(guī)律嗎？

活動(dòng)1 試構(gòu)造5組造勾股數(shù)

學(xué)生寫出：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41.

引導(dǎo)學(xué)生思考，構(gòu)造勾股數(shù)，就是要尋找3個(gè)正整數(shù)，使它們滿足“兩個(gè)數(shù)的平方和（差）等于第三個(gè)數(shù)的平方”，即滿足以下形式：

（）²+（）²=（）²①

或（）²-（）²=（）²②

要滿足上述①或②形式，不妨從乘法公式入手.我們已經(jīng)知道：（x+y）²－（x－y）²=4xy. ③

如果等式③的右邊也能寫成“（）²”的形式，那么它就符合②的形式.因此，只要設(shè)x=m²，y=n²，③式就可以化成：（m²+n²）²－（m²－n²）²=（2mn）²

于是，當(dāng)m，n為任意正整數(shù)，且m>n時(shí)，“m²+n²，m²－n²和2mn”就是勾股數(shù).根據(jù)勾股數(shù)的這種表達(dá)式，就可以找出無(wú)數(shù)組勾股數(shù).從探索到的勾股數(shù)表達(dá)式，構(gòu)造勾股數(shù)并填寫在表格中.不難看出，它們是特殊的勾股數(shù)，每組數(shù)中都有兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù).你能借助在上面的活動(dòng)中探索得到勾股數(shù)的表達(dá)式，探索并構(gòu)造這樣的勾股數(shù)嗎？

在表1中填寫勾股數(shù)：

活動(dòng)2 一位科學(xué)家在他找到的勾股數(shù)的表達(dá)式中，用2n²+2n+1（n為任意正整數(shù)）表示勾股數(shù)中最大的一個(gè)數(shù)，你能找出另外兩個(gè)數(shù)的表達(dá)式嗎？

活動(dòng)3 課后查詢資料，思考畢達(dá)哥拉斯數(shù)組、柏拉圖數(shù)組、丟番圖數(shù)組的相通之處，寫出來，并說明理由.

“做數(shù)學(xué)”理念下探索“勾股數(shù)”的數(shù)學(xué)活動(dòng)，不僅增強(qiáng)了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，更發(fā)展學(xué)生的代數(shù)推理能力，具有較豐富的數(shù)學(xué)教育價(jià)值.從熟悉的勾股數(shù)入手，根據(jù)式結(jié)構(gòu)，大膽嘗試，聯(lián)想乘法公式.分析思考勾股數(shù)的本質(zhì)是三個(gè)正整數(shù)間的關(guān)系，根據(jù)形式，靈活換元，探究結(jié)論，發(fā)現(xiàn)規(guī)律.通過“做數(shù)學(xué)”探索并發(fā)現(xiàn)了多種構(gòu)造勾股數(shù)的方法，還能體悟數(shù)學(xué)家們的智慧結(jié)晶.

4 “做數(shù)學(xué)”經(jīng)歷數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力

創(chuàng)新思維是指人們?cè)谡J(rèn)知世界的過程中，以及創(chuàng)造具有獨(dú)創(chuàng)性成果的過程中，表現(xiàn)出來的特殊的認(rèn)識(shí)事物的方式，是人們運(yùn)用已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)提高開拓新領(lǐng)域的思維能力.弗賴登塔爾指出：“將數(shù)學(xué)作為一種活動(dòng)來進(jìn)行解釋和分析，建立這一基礎(chǔ)之上的教學(xué)方法，稱之為再發(fā)現(xiàn)方法.”教學(xué)中“再發(fā)現(xiàn)”是指把教學(xué)過程設(shè)計(jì)成知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展自然生長(zhǎng)過程，引導(dǎo)學(xué)生在自我認(rèn)知過程中建構(gòu)新思維.在探究歷程中，引發(fā)學(xué)生“做”中“思”，再探究，讓學(xué)生在所思、所悟中提升思維深度，從而培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維能力.

例如，從“拼圖：理解乘法公式的意義”到“其他公式”的再發(fā)現(xiàn).

“出入相補(bǔ)”原理是中國(guó)古代數(shù)學(xué)中一條用于推證幾何圖形面積的基本原理，其基本內(nèi)容：一個(gè)幾何圖形，可以切割成任意多塊任何形狀的小圖形，總面積保持不變，總面積等于所有分割成的小圖形的面積之和.從圖4拼圖教學(xué)中，幫助學(xué)生形象理解完全平方公式（a+b）²=a²+2ab+b²的幾何意義.有學(xué)生從平面圖形聯(lián)想到立體模型（圖5）發(fā)現(xiàn)（a+b）3=a3+b3+3a²b+3ab²關(guān)系式.另有學(xué)生沿對(duì)角線將兩個(gè)矩形剪成四個(gè)全等的直角三角形，在拼圖中意外獲得勾股定理的證明：圖4是由兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b的正方形和兩個(gè)矩形構(gòu)成；圖6是由四個(gè)直角邊長(zhǎng)分別為a，b的直角三角形和邊長(zhǎng)為c的正方形構(gòu)成.對(duì)比兩個(gè)圖，圖4兩個(gè)小正方形（陰影部分）面積和等于圖6小正方形（陰影部分）面積，即c²=a²+b²，感嘆學(xué)生的創(chuàng)新思維能力！

從圖4和圖6正方形拼圖得到完全平方和勾股定理的思維啟發(fā)，拓展到一般情況，長(zhǎng)方形按類似操作遷移，易知圖7陰影部分面積為ac+bd，圖8陰影部分面積為a²+d²·b²+c²·sinα，兩者數(shù)量相等.因?yàn)閟inα≤1，所以通過平方可得（ac+bd）²≤（a²+d²）（b²+c²），誕生二維形式柯西不等式.當(dāng)兩直角三角形斜邊夾角為90°時(shí)，“=”成立，此時(shí)兩三角形相似即ab=cd.在此，不得不佩服學(xué)生的再創(chuàng)造思維能力！

“做數(shù)學(xué)”不能停留在簡(jiǎn)單獲得某一公式、操作與觀察、達(dá)到理解的層面，更要運(yùn)用類比與聯(lián)想，激發(fā)學(xué)生思考，進(jìn)入深度思維，指向問題本源，經(jīng)歷“再發(fā)現(xiàn)”過程，才能更好激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力.

5 “做數(shù)學(xué)”產(chǎn)生質(zhì)疑問難，培養(yǎng)批判性思維能力

批判性思維是以一種合理的、反思的、心靈開放的方式進(jìn)行思考，從而能夠清晰準(zhǔn)確地表達(dá)、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)赝评?、合理地論證，以及培養(yǎng)思辨精神.《禮記·中庸》中提出“博學(xué)之、審問之、慎思之、明辨之、篤行之”的教育理念，其中“審問”“慎思”“明辨”表達(dá)了要有批判性思維的觀點(diǎn).《論語(yǔ)·述而》中“不憤不啟，不悱不發(fā)”說明學(xué)習(xí)過程中質(zhì)疑的重要性.因此，教學(xué)中的質(zhì)疑問難，通過問題的設(shè)置引發(fā)學(xué)生的思維認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生深入研究的意識(shí)，通過動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，理性驗(yàn)證，解決疑惑，感受成功的體驗(yàn).以質(zhì)疑為引導(dǎo)，不斷探究，不斷解決問題，發(fā)展質(zhì)疑問難的批判性思維，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，逐步養(yǎng)成講道理、有條理的思維品質(zhì)，形成理性精神.

例如，問題1：圖9是一張8×8的正方形紙片，把它剪成4塊，按圖重新拼合.這4塊紙片恰好能拼成一個(gè)長(zhǎng)為13、寬為5的長(zhǎng)方形嗎？

學(xué)生觀察圖9和圖10，直觀判定是“可以”拼成，但馬上有學(xué)生提出不同意見.通過計(jì)算和分析發(fā)現(xiàn)：圖9正方形的面積為64，而圖10長(zhǎng)方形的面積為65，面積不相等，因此不能構(gòu)成，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突.為此，讓學(xué)生按圖分割正方形紙片，通過拼接發(fā)現(xiàn)：直角三角形斜邊與梯形一腰不在同一直線上，而直角三角形斜邊與梯形的腰剛好構(gòu)成一個(gè)面積為1的平行四邊形.視覺直觀引發(fā)“它們”似乎在同一直線上的錯(cuò)覺，于是進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考下面的問題.

問題2：將一個(gè)正方形紙片按上述方式進(jìn)行裁剪后，重新拼合，能否拼成一個(gè)長(zhǎng)方形？若可以，又該怎么裁剪？

學(xué)生思考，改變裁剪位置期待拼成長(zhǎng)方形，將圖9、圖10中的數(shù)據(jù)8，5分別替換成a，x.如圖11，12，利用剪拼前后圖形面積相等，列出方程（a+x）x=a²，整理為x²+ax－a²=0，解得x₁=－1+52a（x₂=－1－52a舍去）.從而發(fā)現(xiàn)x₁a=－1+52蘊(yùn)含著“黃金分割”的奧秘.

在“做數(shù)學(xué)”這一開放、多元的活動(dòng)中，容許學(xué)生“犯錯(cuò)”，營(yíng)造敢于質(zhì)疑、敢于批判的思辨氣氛，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考的內(nèi)驅(qū)力，體現(xiàn)學(xué)習(xí)的主體地位，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法不全是證實(shí)，也可以是通過證偽，引發(fā)大家質(zhì)疑思考，在交流合作中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，進(jìn)而證實(shí)，由此培養(yǎng)學(xué)生批判性思維能力.

結(jié)束語(yǔ)

“做數(shù)學(xué)”可以改變學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的知識(shí)形態(tài)，化抽象為形象，化結(jié)果為過程，化靜止為動(dòng)態(tài)，改變學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，變被動(dòng)接收為主動(dòng)探究，變“離身”思辨為具體體驗(yàn)，變“半腦”學(xué)習(xí)為全腦學(xué)習(xí)^［2］.因此，在“做”與“思”融合中，一方面培養(yǎng)了學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐意識(shí)和問題解決能力，另一方面又培養(yǎng)了學(xué)生批判質(zhì)疑精神和提出問題能力，進(jìn)而使學(xué)生逐漸養(yǎng)成理性思維意識(shí)和創(chuàng)新思維能力.

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社.

［2］董林偉，石樹偉.做數(shù)學(xué)：學(xué)科育人方式的實(shí)踐創(chuàng)新［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2021（04）：22-24.

作者簡(jiǎn)介 王明（1984—），男，江蘇昆山人，中小學(xué)一級(jí)教師，蘇州市學(xué)科帶頭人;主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究，曾獲江蘇省基礎(chǔ)教育教學(xué)論文評(píng)比一等獎(jiǎng).