冪函數(shù)學(xué)習(xí)要重視的幾個(gè)要點(diǎn)

鞏豐賢

(山東省淄博市體育運(yùn)動(dòng)學(xué)校)

冪函數(shù)是重要的基本初等函數(shù)之一,也是高考命題的重要考點(diǎn),其中主要涉及冪函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖像以及與冪函數(shù)有關(guān)的組合函數(shù)或復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)問題.下面針對(duì)這幾個(gè)要點(diǎn)舉例說明,供同學(xué)們復(fù)習(xí)時(shí)參考.

1 冪函數(shù)的定義

形如f(x)＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中x是自變量,α∈R,人教A 版教材《數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)》中給出了具有代表性的5個(gè)α值,即α＝1,2,3,,－1,對(duì)應(yīng)的函數(shù)為,根據(jù)函數(shù)解析式求出函數(shù)的定義域,畫出函數(shù)的圖像,再研究函數(shù)的性質(zhì).據(jù)此類推,我們也可得出當(dāng)α＝4,5,,－2,…時(shí),相應(yīng)的冪函數(shù)及性質(zhì).

例1下列函數(shù)為冪函數(shù)的是( ).

A.y＝3xB.y＝(x≠0)

C.y＝－x2D.y＝x0(x≠0)

解析對(duì)于選項(xiàng)A,自變量在指數(shù)位置,為指數(shù)函數(shù);對(duì)于選項(xiàng)B,底數(shù)與指數(shù)中均含自變量,不屬于冪函數(shù);對(duì)于選項(xiàng)C,y＝－x2為二次函數(shù),不屬于冪函數(shù);對(duì)于選項(xiàng)D,冪函數(shù)的指數(shù)可以為0,此時(shí)x≠0,故選D.

點(diǎn)評(píng)此類問題只要把握好冪函數(shù)的定義,即其中底數(shù)為自變量,指數(shù)為常數(shù),系數(shù)為1,即可直接判斷.

2 冪函數(shù)的性質(zhì)

當(dāng)α取不同值時(shí),冪函數(shù)具有不同的性質(zhì),通過對(duì)這 5個(gè)函數(shù)的性質(zhì)探究,不難得出冪函數(shù)的共性:冪函數(shù)的圖像過定點(diǎn)(1,1),在(0,＋∞)上都有意義,當(dāng)α＞0時(shí),函數(shù)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)α＜0,函數(shù)在(0,＋∞)上單調(diào)遞減.

例2已知冪函數(shù)f(x)＝,若f(a＋1)＜f(10－2a),則a的取值范圍是_________.

點(diǎn)評(píng)此類問題的求解要注意函數(shù)的定義域,即a＋1＞0,10－2a＞0.

例3已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,給了下列三個(gè)條件:

①?x∈D,f(x)＋f(－x)＝0;

②?x∈D,f′(x)≤0;

③?x1,x2∈D,x1＜x2,使得f(x1)＜f(x2).

試寫出一個(gè)同時(shí)滿足條件①②③的函數(shù),則f(x)＝_____.

點(diǎn)評(píng)對(duì)于條件②和③,同學(xué)們可能認(rèn)為其中存在矛盾.原因是錯(cuò)誤地認(rèn)為f′(x)≤0,則函數(shù)單調(diào)遞減,注意f′(x)≤0是函數(shù)f(x)單調(diào)遞減的必要不充分條件.

3 冪函數(shù)之間的關(guān)系

將幾個(gè)冪函數(shù)的圖像畫在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中,不難發(fā)現(xiàn),當(dāng)α＞0時(shí),α越大,在(0,1)上,圖像離x軸越近,在(1,＋∞)上,圖像離x軸越遠(yuǎn).這些關(guān)系常常成為高考命題的重要視角.

例4已知使得方程f(x)－t＝0有兩個(gè)實(shí)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( ).

A.(－∞,0)∪(0,1) B.(0,1)

C.(－∞,0)∪(1,＋∞) D.(1,＋∞)

解析方程f(x)－t＝0有兩個(gè)實(shí)根,即存在直線y＝t與y＝f(x)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn),進(jìn)而可知函數(shù)f(x)不單調(diào).

當(dāng)m＜0時(shí),函數(shù)f(x)的圖像如圖1所示,存在直線y＝t與y＝f(x)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn),即方程f(x)－t＝0有兩個(gè)實(shí)根.

圖1

當(dāng)m＞1時(shí),函數(shù)f(x)的圖像如圖2所示,存在直線y＝t與y＝f(x)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn),即方程f(x)－t＝0有兩個(gè)實(shí)根.

圖2

綜上,m的取值范圍是(－∞,0)∪(1,＋∞),故選C.

點(diǎn)評(píng)y＝x2,y＝x3的公共點(diǎn)是(0,0),(1,1),在(0,1)上,x2＞x3;在(1,＋∞)上,x2＜x3.此類問題的求解關(guān)鍵是把握好同類函數(shù)的公共點(diǎn).

4 冪函數(shù)的組合

冪函數(shù)的組合函數(shù)主要有二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)、三次函數(shù)y＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)、雙曲線函數(shù)等,這些函數(shù)都是高考命題中?？嫉暮瘮?shù)類型.

圖3

點(diǎn)評(píng)在得出函數(shù)后,部分同學(xué)可能會(huì)直接利用均值不等式得出函數(shù)的最小值為4,但檢驗(yàn)會(huì)發(fā)現(xiàn)等號(hào)成立的條件不在函數(shù)的定義域內(nèi),故應(yīng)結(jié)合函數(shù)f(t)的性質(zhì)求解.

5 冪函數(shù)的復(fù)合

形如y＝f[g(x)]的函數(shù),稱為復(fù)合函數(shù),y＝f(t)為外函數(shù),t＝g(x)為內(nèi)函數(shù),f(x)的定義域與g(x)的值域交集非空.將兩個(gè)函數(shù)復(fù)合在一起,往往可得到較新穎的函數(shù).

點(diǎn)評(píng)本題將兩個(gè)冪函數(shù)復(fù)合在一起,通過兩邊取對(duì)數(shù)構(gòu)造新函數(shù),從而求函數(shù)的最值.

除了上述要點(diǎn)外,解題時(shí)還需關(guān)注冪函數(shù)與其他函數(shù)的綜合,如,…等超越函數(shù)模型,這些函數(shù)是高考命題常常涉及的背景函數(shù),因此要熟練掌握這些函數(shù)的圖像、性質(zhì).

(完)