破解含參不等式恒成立問題

陳學(xué)義

(北京教育學(xué)院石景山分院)

含參不等式恒成立問題是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題中的常見問題,也是高考中的熱點(diǎn)問題.含參不等式中含有參數(shù),導(dǎo)致題目的難度增加,很多同學(xué)在解決問題時會出現(xiàn)束手無策的情況.本文通過幾道例題談?wù)勂平夂瑓⒉坏仁胶愠闪栴}的解題策略,供讀者參考.

1 參變分離

例1若不等式aex－lnx－1≥0(a∈R)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

點(diǎn)評參變分離是解決含參不等式中恒成立問題的常見方法,求解時,先將含參不等式f(a,x)≥0轉(zhuǎn)化為a≥g(x)或a≤g(x)的形式,再求函數(shù)g(x)的最大值或最小值,從而得出a的取值范圍.在利用參變分離求解含參不等式恒成立問題時,需要分離后的函數(shù)g(x)結(jié)構(gòu)不復(fù)雜,便于研究.

2 帶參討論

例2已知函數(shù)f(x)＝alnx－x＋1(a∈R),若f(x)≤0恒成立,求實(shí)數(shù)a的值.

當(dāng)a≤0 時,f′(x)＜0 恒成立,則f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞減,又f(1)＝0,所以當(dāng)0＜x＜1時,f(x)＞0,從而f(x)≤0不能恒成立,不符合題意.

當(dāng)a＞0 時,由f′(x)＞0,解得0＜x＜a,由f′(x)＜0,解得x＞a,所以f(x)在(0,a)上單調(diào)遞增,在(a,＋∞)上單調(diào)遞減,從而

又f(x)≤0恒成立,所以alna－a＋1≤0.

設(shè)φ(a)＝alna－a＋1,則φ′(a)＝lna,由φ′(a)＞0,解得a＞1,由φ′(a)＜0,解得0＜a＜1,從而φ(a)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,＋∞)上單調(diào)遞增,故φ(a)≥φ(1)＝0,所以φ(a)＝0,此時a＝1.

綜上,實(shí)數(shù)a的值為1.

例3已知函數(shù)f(x)＝ex－1－asinx,若f(x)≥0在[0,π]上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

所以g(x)在[0,π]上單調(diào)遞增,又g(0)＝0,所以g(x)≥0,而f(x)≥g(x),所以f(x)≥0,符合題意.

綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞,1].

點(diǎn)評例2、例3與例1一樣也是恒成立問題,但采用參變分離的方法解決,例2會出現(xiàn)兩個障礙:一是分離時不知lnx的符號,需要分0＜x＜1,x＝1,x＞1三種情形進(jìn)行討論;二是分離后的函數(shù)研究起來比較困難.同樣地,例3分離出的函數(shù)結(jié)構(gòu)不簡單,研究起來也比較困難.于是帶參對函數(shù)f(x)進(jìn)行研究,后續(xù)需對參數(shù)進(jìn)行分類討論,此時尋找討論的分界點(diǎn)是解題的關(guān)鍵,也就是例2中的“0”和例3中的“1”是如何找到的.通常在解決問題的過程中,需要求函數(shù)f(x)的最值,從而要研究函數(shù)f(x)的單調(diào)性,因此導(dǎo)函數(shù)f′(x)的符號是尋找討論的分界點(diǎn)方法之一.比如例2,因?yàn)閤＞0,所以當(dāng)a≤0,即a－x＜0時,此時f′(x)恒負(fù),所以0是討論的分界點(diǎn).例3利用例2的思路不太容易找到分界點(diǎn)使得f′(x)恒正或恒負(fù),但是發(fā)現(xiàn)f(0)＝0,要使f(x)≥0在[0,π]上恒成立,則在x＝0右側(cè)附近函數(shù)值不能減少,所以f′(0)≥0,由此可得到f(x)≥0成立的必要條件,從而找到討論的分界點(diǎn).若含參不等式f(x)≥0 在[0,＋∞)上恒成立,且恰好滿足f(0)＝0,則稱不等式具有端點(diǎn)效應(yīng),利用不等式的端點(diǎn)效應(yīng)也是尋找分類討論的分界點(diǎn)方法之一.

3 先必要后充分

例4(2020 年山東卷理21,節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝aex－1－lnx＋lna.若f(x)≥1,求a的取值范圍.

解析令g(x)＝aex－1－lnx＋lna－1,則對任意的x∈(0,＋∞)有g(shù)(x)≥0恒成立.

由g(1)＝a＋lna－1≥0,可得a≥1.下面證明當(dāng)a≥1時,g(x)≥0恒成立.當(dāng)a≥1時,有

令h(x)＝ex－1－lnx－1,則易知h′(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,又h′(1)＝0,所以當(dāng)x∈(0,1)時,h′(x)＜0,h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(1,＋∞)時,h′(x)＞0,h(x)在(1,＋∞)上單調(diào)遞增,hmin(x)＝h(1)＝0.因?yàn)間(x)≥h(x),所以g(x)≥0.

綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1,＋∞).

點(diǎn)評例4也是恒成立問題,本題參變分離較為困難,帶參討論分界點(diǎn)也不明確,此時可以采用先必要、后充分的方法,即先抓住一些關(guān)鍵點(diǎn),將關(guān)鍵點(diǎn)代入不等式解出參數(shù)的范圍,獲得結(jié)論成立的必要條件,再論證充分性,從而解決問題.

對于含參恒成立問題,若能參變分離且分離后的函數(shù)結(jié)構(gòu)簡單,便于研究,就用參變分離求解;若參變分離遇阻,那就帶參對函數(shù)進(jìn)行研究,可以利用導(dǎo)函數(shù)的符號以及端點(diǎn)效應(yīng)等方法尋找討論的分界點(diǎn)進(jìn)行帶參討論;若參變分離困難,帶參討論分界點(diǎn)也不明,則可以先利用關(guān)鍵點(diǎn)探究出必要條件,再論證充分性即可.

(完)