“分類討論”思想在導(dǎo)數(shù)解答題中的應(yīng)用

于志東 王興濤

(山東省青州第一中學(xué))

在處理導(dǎo)數(shù)解答題時,會遇到多種多樣的情況,需要對各種情況加以分類,并逐類求解,然后整合,這就是數(shù)學(xué)中“分類討論”思想在解題中的靈活運(yùn)用,其優(yōu)點(diǎn)在于“化整為零”“各個擊破”.在進(jìn)行分類討論時,我們要遵循標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏不重的原則.

1 對參數(shù)實(shí)施“分類討論”

在處理含有參數(shù)的函數(shù)問題時,往往需要根據(jù)問題的具體情況對參數(shù)實(shí)施“分類討論”,進(jìn)而順利求解有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性、極值等問題.

1.1 討論函數(shù)的單調(diào)性

例1已知函數(shù)g(x)＝lnx＋ax2＋bx,其中g(shù)(x)的函數(shù)圖像在點(diǎn)(1,g(1))處的切線平行于x軸.

(1)確定a與b的關(guān)系;

(2)若a≥0,試討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性.

點(diǎn)評本題第(2)問需要分類討論的原因是令時對應(yīng)方程的根的情況以及根的大小關(guān)系不確定.

1.2 討論函數(shù)的極值

例2已知函數(shù)f(x)＝x－alnx(a∈R).

(1)當(dāng)a＝2 時,求曲線y＝f(x)在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線方程;

(2)求函數(shù)f(x)的極值.

解析由題意知f(x)的定義域?yàn)?0,＋∞),且

(1)當(dāng)a＝2時,f(x)＝x－2lnx,f′(x)＝1－(x＞0),所以f(1)＝1,f′(1)＝－1,故曲線y＝f(x)在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線方程為y－1＝－(x－1),即x＋y－2＝0.

綜上,當(dāng)a≤0時,函數(shù)f(x)無極值;當(dāng)a＞0時,函數(shù)f(x)的極小值為a－alna,無極大值.

點(diǎn)評本題第(2)問需要討論的原因是導(dǎo)函數(shù)與0的大小關(guān)系不確定.

2 對自變量實(shí)施“分類討論”

處理不含參數(shù)的函數(shù)問題時,一般不需要分類討論.但直接求解比較困難時,則可考慮對自變量實(shí)施“分類討論”,進(jìn)而借助函數(shù)的圖像與性質(zhì)求解.

例3已知函數(shù)f(x)＝sinx－ln(1＋x).

(1)證明:f′(x)在(－1,)上存在唯一極大值點(diǎn);

(2)證明:f(x)有且僅有2個零點(diǎn).

所以sinx－ln(x＋1)＜0,即f(x)在(π,＋∞)上不存在零點(diǎn).

綜上,f(x)有且僅有2個零點(diǎn).

點(diǎn)評一般地,利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個數(shù)的常用方法如下.1)構(gòu)建函數(shù)g(x),將原問題轉(zhuǎn)化為確定g(x)的零點(diǎn)個數(shù)問題,利用函數(shù)的性質(zhì)和圖像,通過數(shù)形結(jié)合求解.2)利用零點(diǎn)存在定理:先用該定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn),然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個數(shù).

(完)