函數(shù)誠(chéng)可貴 同構(gòu)價(jià)更高

陳熙春(正高級(jí)教師)

(寧夏六盤(pán)山高級(jí)中學(xué))

利用同構(gòu)法解題已經(jīng)成為近年來(lái)高考命題的熱點(diǎn).對(duì)一個(gè)等式或不等式進(jìn)行變形,使等式或不等式左、右兩邊式子結(jié)構(gòu)完全相同,然后通過(guò)構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行處理,找這個(gè)函數(shù)模型的方法就是同構(gòu)法.在一些函數(shù)或不等式問(wèn)題中,同構(gòu)已經(jīng)成為一種常見(jiàn)的解題意識(shí)與技巧.其關(guān)鍵在于觀察函數(shù)或式子結(jié)構(gòu)的共性,并合理構(gòu)造共性,借助并應(yīng)用共性解題.

1 常見(jiàn)同構(gòu)試題類型

1.1 利用同構(gòu)法解決解不等式中比較大小問(wèn)題

例1(2020年全國(guó)Ⅰ卷理12)若2a＋log2a＝4b＋2log4b,則( ).

A.a＞2bB.a＜2b

C.a＞b2D.a＜b2

解析因?yàn)?a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b,而22b＋log2b＜22b＋log2b＋1＝22b＋log22b,所以2a＋log2a＜22b＋log22b.

令f(x)＝2x＋log2x,由指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,且f(a)＜f(2b),所以a＜2b,故選B.

點(diǎn)評(píng)解題的關(guān)鍵是先對(duì)等式右邊4b＋2log4b變形并放縮,得到2a＋log2a＜22b＋log22b,觀察不等式左、右兩邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),構(gòu)造函數(shù)f(x)＝2x＋log2x,從而利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.

變式(2020 年全國(guó)Ⅱ卷理11)若2x－2y＜3－x－3－y,則( ).

A.ln(y－x＋1)＞0 B.ln(y－x＋1)＜0

C.ln|x－y|＞0 D.ln|x－y|＜0

解析由2x－2y＜3－x－3－y,可得2x－3－x＜2y－3－y.令f(x)＝2x－3－x,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得f(x)在R上單調(diào)遞增,且f(x)＜f(y),所以x＜y,即y－x＞0.因?yàn)閥－x＋1＞1,所以

故選A.

點(diǎn)評(píng)把不等式變形,使不等式左、右兩邊結(jié)構(gòu)形式完全相同,通過(guò)構(gòu)造函數(shù),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解.

1.2 利用同構(gòu)法求解參數(shù)取值范圍問(wèn)題

例2(2020 年新高考Ⅰ卷21,節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝aex－1－lnx＋lna.若f(x)≥1,求a的取值范圍.

解析方法1構(gòu)造函數(shù)法

f(x)＝aex－1－lnx＋lna＝elna＋x－1－lnx＋lna≥1等價(jià)于elna＋x－1＋lna－1≥lnx等價(jià)于elna＋x－1＋lna＋x－1≥lnx＋x＝elnx＋lnx.

令g(x)＝ex＋x,上述不等式等價(jià)于g(lna＋x－1)≥g(lnx),顯然g(x)在R 上為增函數(shù),則lna＋x－1≥lnx,即lna≥lnx－x＋1.

令h(x)＝lnx－x＋1,則,在(0,1)上,h′(x)＞0,h(x)單調(diào)遞增;在(1,＋∞)上,h′(x)＜0,h(x)單調(diào)遞減,所以hmax(x)＝h(1)＝0,則lna≥0,即a≥1,故a的取值范圍是[1,＋∞).

點(diǎn)評(píng)解題的關(guān)鍵是在變形的基礎(chǔ)上連續(xù)進(jìn)行五次等價(jià)轉(zhuǎn)化,第一次等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式elna＋x－1＋lna＋x－1≥elnx＋lnx;第二次等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式g(lna＋x－1)≥g(lnx);根據(jù)g(x)的單調(diào)性,第三次等價(jià)轉(zhuǎn)化為lna≥lnx－x＋1;令h(x)＝lnx－x＋1,第四次等價(jià)轉(zhuǎn)化為求h(x)的最大值;第五次轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的對(duì)數(shù)不等式lna≥0,解得a的取值范圍.

方法2“改頭換面”切線放縮法

由f(x)≥1,得aex－1－lnx＋lna≥1,等價(jià)于

由①和③得lna＋lnx＋1≥lnx－lna＋1,即2lna≥0,所以lna≥0,故a≥1.

點(diǎn)評(píng)在解決含有指數(shù)式和對(duì)數(shù)式混合型不等式問(wèn)題時(shí),有時(shí)在同構(gòu)的基礎(chǔ)上結(jié)合切線放縮可以有效降低此類問(wèn)題的難度.利用ex≥x＋1,x－1≥lnx將ex和lnx同時(shí)放縮成直線,這種方法稱為“改頭換面”.

方法3構(gòu)造“形似”函數(shù)法

點(diǎn)評(píng)本題先將原不等式等價(jià)變形,使其左、右兩邊具有“形似”結(jié)構(gòu),再構(gòu)造“形似”輔助函數(shù)g(x)＝xex解題.解題的關(guān)鍵是將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題,再利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值(最值),然后構(gòu)建不等式求解.

變式若不等式ln(x＋1)－a(x＋1)＞x－aex在x∈(0,＋∞)上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

方法2設(shè)g(x)＝lnx－ax,則x－aex＝g(ex),不等式ln(x＋1)－a(x＋1)＞x－aex在x∈(0,＋∞)上恒成立,等價(jià)于g(x＋1)＞g(ex)在x∈(0,＋∞)上恒成立.又ex＞x＋1在x∈(0,＋∞)上成立(證明過(guò)程略),所以x＋1＞1,ex＞1,故g(x)＝lnx－ax在x∈(1,＋∞)上單調(diào)遞減,故g′(x)＝在x∈(1,＋∞)上恒成立,而∈(0,1),所以a≥1,故a的取值范圍是[1,＋∞).

點(diǎn)評(píng)形如ea±a≥b±lnb型的不等式一般有兩種同構(gòu)途徑:

1)ea±a≥elnb±lnb,構(gòu)造函數(shù)f(x)＝ex±x;

2)ea±lnea≥b±lnb,構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x±lnx.

方法1是以不等式右邊的表達(dá)式為標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)造函數(shù),方法2 是以不等式左邊的表達(dá)式為標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)造函數(shù),再借助函數(shù)的單調(diào)性求解.

1.3 利用同構(gòu)法解決函數(shù)中的最值問(wèn)題

點(diǎn)評(píng)解題的關(guān)鍵是進(jìn)行xex＝elnx＋x的轉(zhuǎn)化,把含有指數(shù)式xex化為含有指數(shù)和對(duì)數(shù)式elnx＋x的同構(gòu)式,再利用切線不等式ex≥x＋1放縮.常見(jiàn)的同構(gòu)變形有

變式已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x＞0,不等式2ae2xlnx＋lna≥0恒成立,求實(shí)數(shù)a的最小值.

點(diǎn)評(píng)解題的核心是把不等式兩邊化為同構(gòu)式,分別構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于a的不等式,再利用參變分離構(gòu)造函數(shù)求最值.比較這3種方法可知方法3最簡(jiǎn)單,因?yàn)闃?gòu)造出的函數(shù)的單調(diào)性最明顯,所以在遇到乘積型問(wèn)題時(shí),兩邊取對(duì)數(shù)是比較簡(jiǎn)單的方法.

1)形如乘積型aea≥blnb的同構(gòu),一般有三種同構(gòu)途徑:

1.4 利用同構(gòu)法解決與方程根有關(guān)的問(wèn)題

變式已知x0是方程2x2e2x＋lnx＝0的實(shí)數(shù)根,則關(guān)于實(shí)數(shù)x0的判斷正確的是( ).

方法1由2x2e2x＋lnx＝0,得

方法3由2x2e2x＋lnx＝0,得2x2e2x＝－lnx,兩邊取自然對(duì)數(shù)得2x＋ln(2x2)＝ln(－lnx),則

得g(2x)＝g(－lnx),所以2x＝－lnx,即2x＋lnx＝0,故選C.

點(diǎn)評(píng)方法1 是以左邊的函數(shù)為目標(biāo),構(gòu)造函數(shù)g(x)＝xex,方法2是以右邊的函數(shù)為目標(biāo),構(gòu)造函數(shù)g(x)＝xlnx,方法3是兩邊取自然對(duì)數(shù)構(gòu)造基本函數(shù),顯然方法3較簡(jiǎn)單.以上三種方法都用到了同構(gòu)思想,一題多構(gòu)殊途同歸,體現(xiàn)了思維的靈活性.

1.5 利用同構(gòu)法解決不等式證明問(wèn)題

例5(2014年全國(guó)Ⅰ卷理21)設(shè)函數(shù)f(x)＝,曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y＝e(x－1)＋2.

(1)求a,b;

(2)證明:f(x)＞1.

又h′(x)＝e－x(1－x),所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h′(x)＞0,當(dāng)x∈(1,＋∞)時(shí),h′(x)＜0,所以h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,＋∞)上單調(diào)遞減,故

點(diǎn)評(píng)若不等式中同時(shí)含有指數(shù)式和對(duì)數(shù)式,則在證明過(guò)程中要進(jìn)行指、對(duì)分離(“一分為二”),把指數(shù)式和對(duì)數(shù)式分別放在不等式的兩邊,采用“分而治之”的策略分別求出不等式兩邊函數(shù)的最值.

點(diǎn)評(píng)同構(gòu)主要原理:若F(x)≥0 能夠變形成f[g(x)]≥f[h(x)],則可利用f(x)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化,如若f(x)單調(diào)遞增,則轉(zhuǎn)化為g(x)≥h(x).

1.6 利用同構(gòu)法解決雙變量問(wèn)題

點(diǎn)評(píng)對(duì)于含有二元變量x1,x2的函數(shù),常見(jiàn)的同構(gòu)類型有以下幾種:

點(diǎn)評(píng)題目中出現(xiàn)x1,x2,f(x1),f(x2)的對(duì)稱數(shù)據(jù),因而我們可以把x1和f(x1)放在一起,把x2和f(x2)放在一起,兩個(gè)變量沒(méi)有等量關(guān)系,具有任意性,故可以化為同構(gòu)式,構(gòu)造新函數(shù),再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解.

2 小結(jié)

運(yùn)用同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)是高中數(shù)學(xué)解題的一種常見(jiàn)方法,尤其對(duì)于涉及包含指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)混合的不等式問(wèn)題有著巧妙應(yīng)用.在解題過(guò)程中要充分挖掘題目結(jié)構(gòu)式隱含的共性特征,通過(guò)觀察、分析,不斷變形等將之轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)相同的式子,再構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性或不等式放縮等方法解決問(wèn)題.

(完)