幾類藥物依賴的常微分方程模型

郭樹敏　李儒風(fēng)

摘 要：藥物依賴是一類影響人的認(rèn)知、行為和生理的病癥。近年來，藥物依賴，特別是阿片類藥物濫用問題日益嚴(yán)重，患病人數(shù)不斷增加，遏制此類疾病的發(fā)展已經(jīng)刻不容緩。數(shù)學(xué)建模是研究控制傳染病的有效方法之一，主要介紹了幾類常見藥物依賴的常微分方程模型以及所得結(jié)論在疾病傳播控制中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：藥物依賴；數(shù)學(xué)建模；疾病控制；常微分方程

藥物依賴俗稱藥物成癮，是指藥物與人體機(jī)能相互作用，使人體發(fā)生生理以及形態(tài)變化，產(chǎn)生連續(xù)性的定期用藥需求，一旦停止用藥就會(huì)產(chǎn)生生理上和心理上的不適反應(yīng)。目前，會(huì)讓人產(chǎn)生依賴的常見藥物可分為7類：（1）酒精-巴比妥類，包括乙醇、巴比妥類及其他催眠藥和鎮(zhèn)靜藥；（2）苯丙胺類，包括苯丙胺、右苯丙胺、甲基苯丙胺等；（3）阿片類，包括阿片和嗎啡等；（4）可卡因，包括可卡因和古柯葉；（5）致幻劑，包括麥司卡林和裸蓋菇素等；（6）揮發(fā)性化合物，包括丙酮、四氯化碳和其他溶媒；（7）煙堿，包括煙草和鼻煙。藥物依賴危害人類身體健康，會(huì)損害神經(jīng)系統(tǒng)和內(nèi)分泌系統(tǒng)，導(dǎo)致人類產(chǎn)生煩躁、抑郁情緒，甚至精神錯(cuò)亂；也會(huì)損害人體的免疫力和其他臟器。許多藥品能通過胎盤進(jìn)入胎兒體內(nèi)，損害胎兒健康，嚴(yán)重的會(huì)引起流產(chǎn)。近年來，藥物依賴，特別是阿片類藥物依賴的患病者數(shù)量越來越多。面對(duì)如此嚴(yán)峻的形勢(shì)，亟待找到更有效的藥物依賴控制手段。數(shù)學(xué)建模作為防控傳染病的有效手段，在以往大型傳染病暴發(fā)時(shí)都發(fā)揮了重要的作用。藥物依賴的過程也能用數(shù)學(xué)建模的方式進(jìn)行模擬，根據(jù)建立的符合其傳播特性的微分方程模型，能揭示其流傳規(guī)律，找到控制其擴(kuò)散發(fā)展的方法。

1?模型

1.1? SI及SIV模型

SI及SIV模型把藥物依賴當(dāng)成一類普通傳染病處理，形式也較為簡(jiǎn)單。其中，SI模型不考慮外在控制措施的影響，將人群分為兩類—易感者S和藥物依賴者I，疾病發(fā)生率也采用較為簡(jiǎn)單的線性發(fā)生率αSI，建立的常微分方程模型如下[1]：

通過分析方程的奇點(diǎn)和數(shù)值模擬得出，當(dāng)患病者數(shù)量超越臨界值時(shí)，患病人數(shù)會(huì)不斷增長(zhǎng)，形成流行趨勢(shì)；當(dāng)患病者數(shù)量低于臨界值時(shí)，患病人數(shù)會(huì)緩慢減少，最終趨于零。除了上述基本模型，修正過的模型更接近實(shí)際情況[1]：

該模型增加了γSI2項(xiàng)，表示政府的宣傳以及控制行動(dòng)減少了患病者數(shù)量，εI項(xiàng)表示患病人數(shù)增多時(shí)易感者的人數(shù)也會(huì)增長(zhǎng)。由得出的基本再生數(shù)表達(dá)式能分析出控制藥物依賴的關(guān)鍵因素，從而有效控制患病者數(shù)量。還有一些具有飽和發(fā)生率的模型被討論過[2]，將人群分為易感者S、患病者I和治療者V，所建立的模型為：

該模型考慮了治療和治療又復(fù)發(fā)的情況，通過數(shù)學(xué)分析得到了基本再生數(shù)，并進(jìn)行了數(shù)值模擬，所得結(jié)論可以反映患病人群數(shù)量增長(zhǎng)的關(guān)鍵因素。

1.2? SU1U2模型

SU1U2模型將人群分為3類，包含易感者S、未接受治療的藥物依賴者U1和接受治療的藥物依賴者U2，建立的模型為：

該模型分析出了平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性以及基本再生數(shù)，并討論引入了隨機(jī)擾動(dòng)模型，這樣更符合藥物濫用的現(xiàn)實(shí)環(huán)境。隨機(jī)模型的解圍繞振蕩變化，振蕩幅度與噪聲強(qiáng)度成正比，且當(dāng)白噪聲的強(qiáng)度較小時(shí)，隨機(jī)模型持續(xù)存在[3]。在此基礎(chǔ)上改良的模型為[4]：

此模型將發(fā)生率改為更符合實(shí)際情況的標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率，且考慮部分患病者自主治療轉(zhuǎn)化為易感者，接受治療后也有部分患病者轉(zhuǎn)化為易感者，通過討論得到了基本再生數(shù)，證明了模型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。還有模型把患病者治療的過程也記為標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率形式，模型如下[5]：

用特征方程理論證明了平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，結(jié)論說明預(yù)防患病者出現(xiàn)優(yōu)于治療已患病者，更能有效地遏制藥物依賴，強(qiáng)制患病者治療對(duì)減少患病者的數(shù)量沒有太大幫助。模型分析結(jié)果還取得了一些有重要意義的參數(shù)，有助于找到更有效的藥物依賴治療和預(yù)防方法。

還有一些模型應(yīng)用了更復(fù)雜的傳染率形式，更貼合藥物依賴的實(shí)際情況，例如以下模型[6]：

該模型假設(shè)易感者兩次接觸藥物就會(huì)變?yōu)樗幬镆蕾囌撸坏┗疾?，未?jīng)治療不能康復(fù)，這種假設(shè)更符合實(shí)際情況。該模型有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)性態(tài)，出現(xiàn)了不穩(wěn)定的極限環(huán)和分支，說明在一定條件下，成癮藥物的流行會(huì)出現(xiàn)周期性變化。這些復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)結(jié)論說明控制藥物依賴比想象中更加困難。

1.3? SPHT模型

除了生理因素，藥物依賴還和個(gè)人性格特征、心理易感性有關(guān)，很多藥物不但會(huì)讓人產(chǎn)生生理依賴，還會(huì)使人產(chǎn)生更強(qiáng)的心理依賴。因此，在建立與之相關(guān)的模型時(shí)，將總?cè)巳悍譃?類—易感者S、心理依賴者P、生理依賴者H以及治療中的患病者T，模型為：

該模型假設(shè)心理依賴者和生理依賴者對(duì)易感者具有相同的傳染率，且心理依賴者治療后不會(huì)復(fù)發(fā)，生理依賴者治療后還有一定的復(fù)發(fā)概率。通過對(duì)模型進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，得到了無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的局部、全局穩(wěn)定性，還分析了重要參數(shù)的靈敏性[7]。還有與之類似的模型：

該模型假設(shè)易感者S可能會(huì)產(chǎn)生藥物依賴，輕度依賴者P會(huì)有部分轉(zhuǎn)化為重度依賴者H，部分會(huì)自主治療轉(zhuǎn)化為易感者，只有重度依賴者會(huì)成為治療者T，治療成功后會(huì)轉(zhuǎn)化為輕度依賴者，同樣也有一定復(fù)發(fā)概率[8]。通過對(duì)模型的求解和分析得到結(jié)論：藥物依賴者越早接受治療越能有效減少患病者數(shù)量。

還有一類模型結(jié)構(gòu)與上述模型類似[9]，只是在人群分類上有所不同，共分為4類—易感者S、阿片類藥物使用者P、藥物依賴者A以及治療者R，模型為：

模型中阿片類藥物使用者并沒有成癮，但其中有一部分人按照一定比例用藥就會(huì)上癮，還有部分人是由于接觸了藥物依賴者而患病。依賴者通過治療可以變?yōu)橐赘姓撸€有部分人會(huì)復(fù)發(fā)。未成癮的阿片類藥物使用者可以通過自我調(diào)節(jié)變?yōu)橐赘姓摺Ｍㄟ^分析和數(shù)值模擬得出，控制成癮者數(shù)量的關(guān)鍵是降低阿片類藥物使用者成癮的比例，因此，密切關(guān)注藥物使用者、控制用藥量，以防藥物成癮十分必要。

1.4? n維模型

有一類模型結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，模型的維數(shù)一般較高，例如下面的模型[10]，把人群分為6類—不接受健康教育的易感者S、接受健康教育的易感者C、輕度藥物依賴者L、重度藥物依賴者H、治療者T和永久康復(fù)者R，模型為：

模型中假設(shè)接受了健康教育的個(gè)體會(huì)拒絕服用易成癮藥物，自覺地避免與藥物依賴者接觸，從而降低有效接觸率，更有部分人會(huì)永久遠(yuǎn)離成癮藥物。輕度藥物依賴者和重度藥物依賴者中都會(huì)有部分人接受治療，經(jīng)過治療部分人會(huì)永久康復(fù)，重度藥物依賴者中會(huì)有人復(fù)發(fā)。通過分析得到了系統(tǒng)的基本再生數(shù)，并證明了平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性。由此得知家庭教育和公共衛(wèi)生教育對(duì)藥物依賴模型動(dòng)態(tài)的影響，靈敏性分析表明，這兩者都會(huì)影響藥物依賴的傳播。通過數(shù)值模擬畫圖分析可知，加大宣傳力度、增強(qiáng)人們的防范意識(shí)有助于控制藥物依賴的傳播。

還有維數(shù)更高的復(fù)雜模型[11]，考慮了藥物依賴者多次復(fù)發(fā)的問題。在治療過程中，一個(gè)人可能會(huì)康復(fù)或復(fù)發(fā)。因此，建立了一個(gè)階段進(jìn)展模型：

模型中，易感者為S、初始藥物依賴者為Ud、n次在門診接受治療者為、n次治療失敗者為、治療半途放棄者為Q。分析結(jié)果表明，從長(zhǎng)遠(yuǎn)來看，沒有參加康復(fù)治療的復(fù)發(fā)藥物依賴者是藥物依賴者數(shù)量增加的主要原因。因此，預(yù)防藥物依賴者復(fù)發(fā)會(huì)對(duì)其流行泛濫產(chǎn)生重大影響。

2?結(jié)語

數(shù)學(xué)建模對(duì)傳染病控制具有積極作用，通過分析能更好地掌握疾病傳播規(guī)律，預(yù)測(cè)其發(fā)展趨勢(shì)，為控制疾病傳播提供有效的措施和手段。藥物依賴作為一類特殊的傳染病，對(duì)人類的健康和社會(huì)的安定產(chǎn)生了威脅，了解其發(fā)展規(guī)律、找到遏制藥物依賴者數(shù)量進(jìn)一步增加的方法具有重要意義?？偨Y(jié)了幾類常見的藥物依賴常微分方程模型以及由此得出的有效防止疾病擴(kuò)散的方法。除了常微分方程，還有時(shí)滯微分方程和偏微分方程等其他類別的方程被運(yùn)用到該模型上，鑒于篇幅有限，并未對(duì)此類模型進(jìn)行總結(jié)分析。

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