我們需要怎樣的結(jié)構(gòu)化教學(xué)*
——談小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)與教的結(jié)構(gòu)化

章勤瓊

2022 年4 月，《義務(wù)教育課程方案（2022 年版）》和《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）正式頒布，本次課程標(biāo)準(zhǔn)修訂以核心素養(yǎng)為綱領(lǐng)，貫穿課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的全過程，統(tǒng)領(lǐng)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的各部分，從而使課程標(biāo)準(zhǔn)的各個(gè)組成部分保持內(nèi)在的一致性和統(tǒng)一性?；诖?，結(jié)構(gòu)化教學(xué)成為當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的熱點(diǎn)。

結(jié)構(gòu)化教學(xué)在教育學(xué)和心理學(xué)上有著廣泛的理論基礎(chǔ)，正如布魯納所言：“給任何特定年齡的兒童教某門學(xué)科，其任務(wù)就是按照這個(gè)年齡兒童觀察事物的方式去闡述那門學(xué)科的結(jié)構(gòu)?！表f特海默的格式塔心理學(xué)也提到了整體不等于各部分之和，強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生利用基本的記憶、想象、聯(lián)想、感知、體驗(yàn)等途徑對(duì)學(xué)科知識(shí)進(jìn)行由淺入深的學(xué)習(xí)。皮亞杰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)理論認(rèn)為學(xué)習(xí)的本質(zhì)就是同化與順應(yīng)，奧蘇貝爾的有意義學(xué)習(xí)理論也提到學(xué)習(xí)需要關(guān)注學(xué)習(xí)對(duì)象的上位概念與下位概念。作為西方最具代表性的教學(xué)理論之一，結(jié)構(gòu)主義具有以下特征：強(qiáng)調(diào)整體和關(guān)系（這是結(jié)構(gòu)主義的最基本特征）；將認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)化（模式化）；在研究方法上強(qiáng)調(diào)分解與化合；注重探究事物結(jié)構(gòu)的層次。

然而，“結(jié)構(gòu)化”是一個(gè)語意頗豐的詞語，有不同層次的解讀。例如，美國課程理論專家施瓦布就指出了學(xué)科知識(shí)的三種結(jié)構(gòu)，除了不同學(xué)科間的組織結(jié)構(gòu)外，還有學(xué)科內(nèi)的實(shí)質(zhì)結(jié)構(gòu)和句法結(jié)構(gòu)。其中，實(shí)質(zhì)結(jié)構(gòu)是指學(xué)科領(lǐng)域的觀點(diǎn)、事實(shí)與概念及這三者間的相互關(guān)系，以及學(xué)科的概念結(jié)構(gòu)和概念組織的原理；句法結(jié)構(gòu)是指探究學(xué)科的方法，如何取舍優(yōu)劣、創(chuàng)造及評(píng)量新知識(shí)，句法結(jié)構(gòu)關(guān)注事實(shí)的分辨、鑒定、證明及應(yīng)用的規(guī)則，如學(xué)科領(lǐng)域的重要觀念與技能是什么?？梢哉J(rèn)為，實(shí)質(zhì)結(jié)構(gòu)更多關(guān)注學(xué)科內(nèi)容本身的結(jié)構(gòu)化，而句法結(jié)構(gòu)更多關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)過程的結(jié)構(gòu)化。因此，結(jié)構(gòu)化教學(xué)的探討需要同時(shí)關(guān)注知識(shí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)過程兩個(gè)方面的結(jié)構(gòu)化。

此外，還需要從學(xué)與教兩個(gè)角度來思考如何真正實(shí)現(xiàn)學(xué)生的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)。例如，從學(xué)的角度而言，結(jié)構(gòu)化既體現(xiàn)在內(nèi)容的結(jié)構(gòu)性上，也體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思想方法的結(jié)構(gòu)性上；既體現(xiàn)在知識(shí)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性上，也體現(xiàn)在學(xué)生認(rèn)知過程的結(jié)構(gòu)性上；既體現(xiàn)在教師課堂結(jié)構(gòu)、板書形式的結(jié)構(gòu)化上，也體現(xiàn)在學(xué)生思維結(jié)構(gòu)化的孕育和發(fā)展上。從教的角度而言，結(jié)構(gòu)化要求教師能夠從宏觀整體的角度進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，以學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)與知識(shí)為基礎(chǔ)，為學(xué)生架構(gòu)所學(xué)內(nèi)容之間的橋梁，最終形成有章可循的體系，使學(xué)生能整體理解數(shù)學(xué)概念，掌握數(shù)學(xué)方法，形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、學(xué)的結(jié)構(gòu)化：基于學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)的結(jié)構(gòu)生長

若要真正實(shí)現(xiàn)有效的結(jié)構(gòu)化教學(xué)，需要基于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)順學(xué)而教，真正的結(jié)構(gòu)化不是由教師教給學(xué)生的，而是讓學(xué)生真正形成自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)并實(shí)現(xiàn)生長。例如，新課標(biāo)中有一個(gè)重要的提法：感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識(shí)，也就是“運(yùn)算一致性”。加減法運(yùn)算的一致性體現(xiàn)為：相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字相加減，計(jì)數(shù)單位不變。乘除法運(yùn)算的一致性體現(xiàn)為：計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相乘除，計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字與計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字相乘除。其中關(guān)于加減法的描述很好理解，無論是整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)的加減法，教師教學(xué)時(shí)都是從計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)運(yùn)算的角度來引導(dǎo)學(xué)生理解算理并掌握算法的。乘除法運(yùn)算一致性的描述則引發(fā)了一定的爭議，讓不少教師無所適從。以小數(shù)乘法0.3×0.8=0.24 為例，算理為（3×0.1）×（8×0.1）=（3×8）×（0.1×0.1）=0.24，即計(jì)數(shù)單位0.1和0.1相乘得到新的計(jì)數(shù)單位0.01，計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)和個(gè)數(shù)相乘得到新的個(gè)數(shù)24，合起來就是24 個(gè)0.01。整數(shù)乘法（如300×20）和分?jǐn)?shù)乘法（如）算理均可如此表達(dá)。然而，依據(jù)現(xiàn)行教材，0.1×0.1=0.01 該如何解釋？之前小數(shù)的意義的學(xué)習(xí)，0.01 的產(chǎn)生并沒有強(qiáng)調(diào)這樣的過程，而的學(xué)習(xí)還在后面。另外，學(xué)生在學(xué)習(xí)30×20 時(shí)還未學(xué)習(xí)乘法結(jié)合律，如何更好地理解30×20=（3×10）×（2×10）=（3×2）×（10×10）？到了除法的學(xué)習(xí)，更是如此。例如，有教師在教學(xué)小數(shù)除法時(shí)，要求學(xué)生采用以下計(jì)算方式：

0.6÷0.03=（6×0.1）÷（3×0.01）=（6÷3）×（0.1÷0.01）=2×10=20，這樣的方式對(duì)小學(xué)生來說顯然不太友好，他們更熟悉的是將其轉(zhuǎn)化為60÷3 來計(jì)算。況且，如果按照這樣的方法，當(dāng)學(xué)生遇到0.3÷0.06 時(shí)，該怎么來解決？如果變成（3÷6）×（0.1÷0.01），還需要再去處理3÷6，這顯然是舍近求遠(yuǎn)，而且最后的結(jié)果變成0.5 個(gè)10，也不易于理解。從算理的本質(zhì)的角度而言，這樣的方式是正確的，符合施瓦布所言的實(shí)質(zhì)結(jié)構(gòu)。然而，從學(xué)生如何更好地理解算理并掌握算法的角度而言，卻未必符合學(xué)生學(xué)習(xí)的句法結(jié)構(gòu)。

事實(shí)上，從學(xué)的結(jié)構(gòu)化而言，運(yùn)算的一致性并不是一定要學(xué)生以某種固定的方式來“一致地”計(jì)算，更重要的是要引導(dǎo)每個(gè)學(xué)生學(xué)會(huì)一致性地思考問題。因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)運(yùn)算時(shí)需要一以貫之地貫徹兩個(gè)方面：一是運(yùn)算要基于數(shù)的意義理解，即數(shù)的本質(zhì)都是多少個(gè)計(jì)數(shù)單位；二是得到運(yùn)算結(jié)果的方式，都是先確定單位再確定單位個(gè)數(shù)。而確定單位并不只有唯一的方法，如40×2 是“4 個(gè)10”×2；也可以是單位計(jì)算得到新單位，如小數(shù)相乘與分?jǐn)?shù)相乘；還可以是多次確定不同單位，如計(jì)算除法時(shí)需要在每一個(gè)單位上分別計(jì)算和轉(zhuǎn)化。此外，在計(jì)算中還可以靈活運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)與策略。因此，理解運(yùn)算的一致性，仍然需要引導(dǎo)并鼓勵(lì)每個(gè)學(xué)生形成自己的理解，不同人的理解角度可以不同，但每個(gè)人都需要努力實(shí)現(xiàn)自身理解的邏輯一致性。

例如，在“分?jǐn)?shù)除法”單元教學(xué)中，首先要更好地理解作為度量意義的分?jǐn)?shù)，以為例，學(xué)生需要認(rèn)識(shí)到，其意義不僅是把一個(gè)或一些事物平均分成5份后取其中的4份，也可以看成以作為單位度量4次的結(jié)果，即4個(gè)。在此基礎(chǔ)之上，建構(gòu)符合學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)路徑。在教學(xué)分?jǐn)?shù)除以整數(shù)時(shí)，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生以等分的模型理解，如就 是 將4 個(gè)平均分成2份，結(jié)果為2個(gè)，即。遇到這樣不能均分的，則運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為。而到了除數(shù)為分?jǐn)?shù)的除法時(shí)，則可以以包含的意義來理解，如，可理解為“6 個(gè)”中含有多少個(gè)“2 個(gè)”，也就是6 里面有幾個(gè)2，因此，。如果是異分母的情況，需要先將計(jì)數(shù)單位變?yōu)橄嗤蟛趴梢杂冒姆绞絹硐喑蚨枰ǚ?。在學(xué)生經(jīng)歷等分和包含兩種意義，真正理解算理之后，還需要思考如何使用運(yùn)算策略。即在計(jì)算除數(shù)為分?jǐn)?shù)的除法時(shí)，還可以思考如何轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，因此可以運(yùn)用商的變化規(guī)律。如，或者可以將除數(shù)化為1，，這也就是“除以一個(gè)數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”。

因此，就“分?jǐn)?shù)除法”這個(gè)單元而言，真正的結(jié)構(gòu)化是學(xué)生基于分?jǐn)?shù)意義的理解，用符合自己認(rèn)知的方式建構(gòu)對(duì)算理的理解，并能進(jìn)一步思考如何運(yùn)用運(yùn)算策略，最后得出計(jì)算方法。這樣的學(xué)習(xí)方式跟所有運(yùn)算的學(xué)習(xí)一致，是學(xué)生自主生長出來的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并不是要由教師“教”給學(xué)生某種“結(jié)構(gòu)化”的方法，要求學(xué)生必須以這樣的方式來計(jì)算。

二、教的結(jié)構(gòu)化：關(guān)注教學(xué)方式和內(nèi)容的一致性

新課標(biāo)明確提出，要“改變過于注重以課時(shí)為單位的教學(xué)設(shè)計(jì)，推進(jìn)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，以及學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)聯(lián)。單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)要整體分析數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)和學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，合理整合教學(xué)內(nèi)容，分析主題—單元—課時(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)和核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)，確定單元教學(xué)目標(biāo)，并落實(shí)到教學(xué)活動(dòng)各個(gè)環(huán)節(jié)，整體設(shè)計(jì)，分步實(shí)施，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的整體理解與把握，逐步培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)”。然而，教的結(jié)構(gòu)化并不是教師將成人視角下“應(yīng)有的”結(jié)構(gòu)“告知”學(xué)生就能實(shí)現(xiàn)的，必須同時(shí)考慮內(nèi)容的整體關(guān)聯(lián)與學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。例如，為了讓學(xué)生更好地體會(huì)運(yùn)算的意義，教師應(yīng)注意加強(qiáng)四則運(yùn)算之間關(guān)系的教學(xué)，體現(xiàn)減法是加法的逆運(yùn)算、乘法是加法的簡便運(yùn)算、除法是乘法的逆運(yùn)算。有教師在二年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)完四則運(yùn)算之后，專門增加一節(jié)“加減乘除是一家”這樣的課，幫助學(xué)生梳理四則運(yùn)算之間的關(guān)系。這樣的教學(xué)可以認(rèn)為是教的結(jié)構(gòu)化的一種方式。但事實(shí)上，像這樣關(guān)聯(lián)起來的四則運(yùn)算之間的關(guān)系，更多是一種教師所教的知識(shí)，并不是學(xué)生在真正理解之后自主建立起來的結(jié)構(gòu)。

如果說學(xué)的結(jié)構(gòu)化更多關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)的路徑，那么教的結(jié)構(gòu)化則更強(qiáng)調(diào)在教學(xué)時(shí)要整體思考，并形成教學(xué)方式上的一致性。因此，需要從教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方式兩個(gè)方面來思考教的結(jié)構(gòu)化。

首先是教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化。如理解算理是小學(xué)階段所有運(yùn)算教學(xué)的核心目標(biāo)，是算法的依據(jù)，也是后續(xù)形成運(yùn)算策略的基礎(chǔ)。但學(xué)生對(duì)算理的理解不是一步到位的，總體而言，算理理解的水平也可以有以下幾個(gè)層次：水平一，理解數(shù)的意義，需要理解數(shù)的組成與算式的意義；水平二，表征計(jì)算過程，能用自己的方法計(jì)算并對(duì)過程進(jìn)行表征和描述；水平三，識(shí)別比較方法，能識(shí)別不同的方法并進(jìn)行比較；水平四，提煉基本方法，能在比較聯(lián)系中發(fā)現(xiàn)相同本質(zhì)，提煉通法。上述算理理解的四個(gè)層次適用于所有計(jì)算的算理課，因此，運(yùn)算教學(xué)的模式也可以進(jìn)行遷移，可以思考如何從一節(jié)課發(fā)展到一類課，構(gòu)建算理理解教學(xué)的一般路徑。

其次是教學(xué)方式的結(jié)構(gòu)化。教師整體把握教學(xué)內(nèi)容，能夠幫助學(xué)生以一以貫之的方式來學(xué)習(xí)每一個(gè)內(nèi)容。如運(yùn)算能力是小學(xué)階段需要落實(shí)的核心素養(yǎng)，其中一個(gè)內(nèi)涵為“明晰運(yùn)算的對(duì)象與意義”，從教的結(jié)構(gòu)化出發(fā)，教師需要認(rèn)識(shí)到，加減乘除四則運(yùn)算的意義是與這一核心素養(yǎng)表現(xiàn)有聯(lián)系的知識(shí)內(nèi)容。因此，雖然這些內(nèi)容分散在小學(xué)數(shù)學(xué)教材的不同單元中，但是在教學(xué)中需要將它們放在一起思考，都需要指向“明晰運(yùn)算的對(duì)象與意義”的落實(shí)。目標(biāo)定位一致，所采取的教學(xué)方式也應(yīng)該一致。在教學(xué)中，都需要讓學(xué)生經(jīng)歷識(shí)別情境、提出問題、提取并關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)信息的過程，在此基礎(chǔ)上用多種方式表征情境信息，列出算式并進(jìn)行闡釋，提煉基本運(yùn)算模型，還需要進(jìn)一步運(yùn)用算式解決更多數(shù)學(xué)問題。這樣的教學(xué)能讓學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)到數(shù)學(xué)的過程，真正明晰運(yùn)算的對(duì)象與意義，最后真正落實(shí)運(yùn)算能力這一核心素養(yǎng)。這可以成為運(yùn)算意義教學(xué)的一般路徑，也是所有數(shù)學(xué)教學(xué)中都需要讓學(xué)生經(jīng)歷的數(shù)學(xué)化過程。

從更大的層面而言，教的結(jié)構(gòu)化還體現(xiàn)在落實(shí)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)中，教師可以思考一般化的教學(xué)路徑。例如，為了更好地落實(shí)與評(píng)價(jià)核心素養(yǎng)，可以基于課程標(biāo)準(zhǔn)，實(shí)現(xiàn)“學(xué)教評(píng)一致性”，需要首先明晰核心素養(yǎng)的內(nèi)涵，確定學(xué)習(xí)目標(biāo)；其次，基于學(xué)習(xí)目標(biāo)，在分析學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)后設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)任務(wù)；再次，依照學(xué)習(xí)任務(wù)進(jìn)行教學(xué)實(shí)施；最后，制訂適當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)框架，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)行分析，并反思改進(jìn)教學(xué)。這樣才能幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)、對(duì)其未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知識(shí)體系，這也是一條能更好地將新課標(biāo)中提到的核心素養(yǎng)落實(shí)到教學(xué)中的實(shí)踐路徑。