讓學(xué)生在結(jié)構(gòu)化教學(xué)中感悟運(yùn)算的一致性*
——以“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”教學(xué)為例

陽海林

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）指出，課程內(nèi)容的組織重點(diǎn)是對內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，探索發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑。數(shù)學(xué)課程的結(jié)構(gòu)化特征，在內(nèi)容設(shè)計上體現(xiàn)了整體性、一致性和階段性。內(nèi)容結(jié)構(gòu)化為教師引導(dǎo)學(xué)生從整體上深刻理解主題的內(nèi)容和方法，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展提供了條件。在教學(xué)活動中，教師要充分考慮學(xué)科的核心概念，從體現(xiàn)核心概念的關(guān)鍵內(nèi)容入手，促進(jìn)學(xué)生理解學(xué)科本質(zhì)，逐步發(fā)展核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵內(nèi)容是指能更好地體現(xiàn)所學(xué)內(nèi)容的學(xué)科本質(zhì)和核心概念的內(nèi)容，其中蘊(yùn)含著相關(guān)的核心素養(yǎng)。學(xué)生對關(guān)鍵內(nèi)容的深刻理解可以促進(jìn)其對數(shù)與運(yùn)算內(nèi)容本質(zhì)的理解，有助于其溝通知識之間的聯(lián)系，深刻感悟運(yùn)算一致性?！胺?jǐn)?shù)除法”是“數(shù)與運(yùn)算”主題的關(guān)鍵內(nèi)容。下面，本文以“分?jǐn)?shù)除法”單元中“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的教學(xué)為例，來談?wù)勅绾瓮ㄟ^設(shè)計關(guān)鍵內(nèi)容和教學(xué)方式，溝通“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”與“一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)”之間的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生在結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)中理解算理、掌握算法，感悟運(yùn)算的一致性，發(fā)展運(yùn)算能力和推理意識。

一、厘清核心概念，明確關(guān)鍵內(nèi)容

核心概念有助于學(xué)生更好地理解和強(qiáng)化更多的知識與方法，并將其運(yùn)用于新場景的學(xué)習(xí)之中。數(shù)的運(yùn)算的重點(diǎn)在于理解算理、掌握算法，與算理直接相關(guān)的核心概念是“計數(shù)單位的‘累加’（這里的‘累加’可以擴(kuò)展至減少（減法）、連續(xù)累加（乘法）、連續(xù)減少（除法））”。數(shù)與運(yùn)算的結(jié)合不僅能促進(jìn)學(xué)生理解算理、掌握算法，也有助于學(xué)生從運(yùn)算的角度進(jìn)一步理解數(shù)的意義，有利于學(xué)生數(shù)感、符號意識、運(yùn)算能力、推理意識等核心素養(yǎng)的發(fā)展。

“分?jǐn)?shù)除法”單元的核心內(nèi)容是分?jǐn)?shù)除法的算理理解和算法掌握。分?jǐn)?shù)除法的算理和算法與整數(shù)除法有著密切的關(guān)系，需要追溯到整數(shù)除法運(yùn)算的含義的教學(xué)，教師教學(xué)時有必要喚醒學(xué)生這方面的經(jīng)驗，特別是對核心概念“計數(shù)單位個數(shù)‘累加’”的運(yùn)用。學(xué)生對分?jǐn)?shù)度量意義的理解對于其理解分?jǐn)?shù)除法的算理而言至關(guān)重要，教師教學(xué)時應(yīng)注意采用恰當(dāng)?shù)姆绞揭龑?dǎo)學(xué)生運(yùn)用分?jǐn)?shù)的度量意義理解算理。

分析“分?jǐn)?shù)除法”單元的相關(guān)知識內(nèi)容可知，“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”可以作為“分?jǐn)?shù)除法”單元的關(guān)鍵內(nèi)容，它直指分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算，學(xué)生直接要解決的問題是被除數(shù)是分?jǐn)?shù)時怎樣計算，可借助這個問題理解分?jǐn)?shù)除法的算理和算法。

學(xué)生要真正理解算理并掌握基本算法，需要逐步達(dá)成以下四個層次的目標(biāo)：一是能理解數(shù)的結(jié)構(gòu)以及算式的意義；二是能有自己的計算方法并說明理由；三是能理解不同的方法，且能夠?qū)Σ煌姆椒ㄟM(jìn)行比較；四是能在表征、比較的基礎(chǔ)上提煉通法?；诖?，學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除以整數(shù)算理的表現(xiàn)為：第一，能夠結(jié)合具體情境，根據(jù)等分除的含義列出分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算式，同時能夠畫圖表征分?jǐn)?shù)“部分與整體”以及分?jǐn)?shù)的“度量意義”；第二，能結(jié)合圖形表征，自主探索分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算法，除以一個整數(shù)相當(dāng)于求它的幾分之幾是多少或者是把幾個分?jǐn)?shù)單位平均分成幾份；第三，在不同方法的對比中，理解每一種運(yùn)算的方法，為提煉通法做好鋪墊。“分?jǐn)?shù)除法”的一般算法需要在學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)”之后再提煉，因此，對“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的算理的理解只需達(dá)到上述第三個層次的目標(biāo)即可。

二、學(xué)的結(jié)構(gòu)化的路徑設(shè)計

學(xué)的結(jié)構(gòu)化是指要對學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容做結(jié)構(gòu)化的分析和設(shè)計，從而使其更好地習(xí)得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法論，形成思維結(jié)構(gòu)。如此，教師不僅需要厘清單元、課時內(nèi)容的縱橫關(guān)聯(lián)，還需以學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗為起點(diǎn)，將新知、未知納入已知模式。以人教版教材為例，“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的例題有兩個小題，第一小題是：“把一張紙的平均分成2 份，每份是這張紙的幾分之幾？”第二小題是：“如果把這張紙的平均分成3份，每份是這張紙的幾分之幾？”教材引入“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的模型是“等分除”；表征形式包含程序表征、直觀表征、抽象表征。

為了更好地了解學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，筆者組織學(xué)生進(jìn)行了前測。以第一小題為例，有50%的學(xué)生用分子與除數(shù)直接相除的方法來解決，，并能說出理由“表示4 個，把4 個平均分成2 份，每份是2 個，即”。有35%的學(xué)生想到用來解決，在解釋道理時，一部分學(xué)生知道“除以一個數(shù)等于乘它的倒數(shù)”，但難以進(jìn)一步解釋“除以一個數(shù)為什么等于乘它的倒數(shù)”；還有一部分學(xué)生能結(jié)合除法運(yùn)算的含義和分?jǐn)?shù)乘法的意義來解釋“把平均分成2 份，求每份是多少，就相當(dāng)于求的是多少”。從單元整體教學(xué)的視角來分析，用乘法來解決“一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)”時，學(xué)生很難結(jié)合情境解釋這樣算的道理；而用分子與除數(shù)直接相除的方法，在不同的情境中都適用，且更能體現(xiàn)運(yùn)算的一致性——“計數(shù)單位的連續(xù)減少”。只是這種方法在分子不能整除整數(shù)時需要先通分，把被除數(shù)的分子變成可以除盡除數(shù)（或除數(shù)的分子）。這樣也更能說明分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的例題中需要出現(xiàn)的情況，從而讓學(xué)生感受到，在不同情境中需要自主運(yùn)用已有的知識經(jīng)驗和方法來進(jìn)行探索和遷移，這能使他們不僅明白怎么算，還能理解這樣算的道理。

基于以上分析，學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除以整數(shù)時的路徑如下：首先，在等分除的情境中列出除法算式，并能解釋除法算式和分?jǐn)?shù)表示的含義（特別是分?jǐn)?shù)度量的含義）；其次，結(jié)合已有的知識經(jīng)驗自主探索分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的方法，并結(jié)合圖和文字解釋這樣算的道理；再次，在分子不能整除除數(shù)的情況下，進(jìn)一步思考可以把被除數(shù)變成大小相同且能整除的分?jǐn)?shù)再除；最后，通過梳理和對比不同的算法，理解在計算分?jǐn)?shù)除以整數(shù)時可以運(yùn)用以前學(xué)過的知識來解決，并為后續(xù)學(xué)習(xí)一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)奠定基礎(chǔ)。

三、教的結(jié)構(gòu)化的策略設(shè)計

教的結(jié)構(gòu)化是指教師以結(jié)構(gòu)化的方式表達(dá)自己對教學(xué)的思考，建構(gòu)“從一節(jié)課到一類課”的整體教學(xué)框架，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)構(gòu)化地思考。

1.創(chuàng)設(shè)情境，提供探索空間

情境的創(chuàng)設(shè)要考慮充分激活學(xué)生的已有認(rèn)知，為學(xué)生提供自主探索的廣闊空間。從教學(xué)內(nèi)容分析和學(xué)情前測來看，在創(chuàng)設(shè)分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的情境時，“等分除”的模型既能幫助學(xué)生解釋“”，又有助于其解釋“4 個平均分成2 份，每份是2 個”。另外，情境中“一張紙的”更有助于學(xué)生想到用“面積模型”來直觀表征計算的方法和道理。因此，教學(xué)時可以采用人教版教材中“等分除”的情境——“把一張紙的平均分成2 份，每份是這張紙的幾分之幾？”

2.精心組織，聚焦核心問題

教師精心設(shè)計教學(xué)，把學(xué)生零散的、個別化的思考關(guān)聯(lián)起來，能促進(jìn)學(xué)生結(jié)構(gòu)化地思考。教學(xué)任務(wù)一“把一張紙的平均分成2 份，每份是這張紙的幾分之幾？”時，當(dāng)學(xué)生通過獨(dú)立思考呈現(xiàn)計算過程和表征方式以后，應(yīng)該選擇不同層次的作品，按照一定的順序組織學(xué)生討論，引導(dǎo)學(xué)生讀懂每一種計算方法。例如，首先呈現(xiàn)用分子直接除以除數(shù)的方法“”，引導(dǎo)學(xué)生遷移運(yùn)用分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的方法，同時結(jié)合圖解釋計算的道理，這更易于學(xué)生理解，能讓更多學(xué)生卷入學(xué)習(xí)；然后呈現(xiàn)把除法轉(zhuǎn)化為乘法的方法“”，這種方法側(cè)重于解釋“除以2為什么等于”，讓學(xué)生關(guān)注這樣算的道理和意義。在任務(wù)一的討論中，只要學(xué)生能解釋清楚計算的過程和道理即可，不需要他們?nèi)プ龇椒ǖ母爬ê蛢?yōu)化。教學(xué)任務(wù)二“如果把這張紙的平均分成3份，每份是這張紙的幾分之幾？”時，則要關(guān)注學(xué)生遇到分子4不能除盡3時是如何思考的。在教學(xué)反饋時，要先反饋不能平均分成3 份，怎么辦？通過討論，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)：可以把的方法，然后組織學(xué)生討論：4 個化成與之大小相同的，12 個平均分成3 份，每份是4 個，即。同時，這里需要追問學(xué)生：為什么要把化成？一方面，讓學(xué)生理解，根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，分子與分母同時乘3，分?jǐn)?shù)大小不變；另一方面，分子變成12 就可以除盡3 了。因為有“異分母分?jǐn)?shù)加減法先通分后計算”的經(jīng)驗，學(xué)生對于這種“先通分再除”的方法也較容易理解，且這種方法也是他們自主探究一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)時的重要方法，所以需要教師在學(xué)生自主探究遇到挑戰(zhàn)時，及時把握學(xué)情，設(shè)計關(guān)鍵問題，引導(dǎo)學(xué)生通過討論達(dá)成共識。

3.多元表征，實現(xiàn)方法遷移

借助多元表征，有助于學(xué)生清晰、準(zhǔn)確地解釋計算的道理。比如，教學(xué)任務(wù)一時，在學(xué)生列出算式“”后，教師追問：這里的=表示什么意思？讓學(xué)生結(jié)合情境解釋是把一張紙的平均分成2 份，從而把現(xiàn)實情境轉(zhuǎn)化為符號表征。還有教師在解釋的道理時，讓學(xué)生結(jié)合直觀圖解釋“表示什么意思”“分子4÷2 表示什么意思”“結(jié)果表示什么意思”。這些關(guān)鍵問題的追問，能讓學(xué)生把圖示表征和符號表征聯(lián)系起來，既能使他們理解計算的道理，又能為其探究算法提供更多思路。另外，在解釋的算法時，教師同樣讓學(xué)生把在圖中表示出來，以便于讓更多學(xué)生看到，把變成，分?jǐn)?shù)大小沒變，但分?jǐn)?shù)單位發(fā)生了變化，使其深刻感悟運(yùn)算的一致性，充分積累感性經(jīng)驗。

4.目標(biāo)導(dǎo)向，注重知識生長

“分?jǐn)?shù)除法”通法的算法和算理，需要學(xué)生學(xué)完分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)以后再進(jìn)行對比、概括與提煉。因此，在“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的教學(xué)中，不需要過早地進(jìn)行方法的對比和優(yōu)化，只要為一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)做好探索算法和理解算理的經(jīng)驗積累即可。比如，在研究學(xué)習(xí)時，學(xué)生結(jié)合已有的知識難以解釋；但發(fā)現(xiàn)可以通過“通分”把它們的分母變成15，然后計算，即。這種“先通分再除”的方法既是在分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的方法上生長出來的，又能幫助學(xué)生認(rèn)識到分?jǐn)?shù)除法的計算方法和算理與整數(shù)除法的計算方法和算理的一致性。更重要的是，學(xué)生的這種認(rèn)識是在自主探索的過程中發(fā)現(xiàn)的，是自主生成的，是自動習(xí)得的。