基于ARMA-GARCH組合模型的匯率波動性預測

摘 ?要：文章使用2015年8月11日至2022年11月30日人民幣兌美元匯率的日交易中間價數(shù)據(jù)進行研究。首先對該數(shù)據(jù)進行對數(shù)差分處理，得到平穩(wěn)的人民幣匯率對數(shù)收益率序列。其次通過描述性統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)該序列“尖峰厚尾”，而平穩(wěn)性檢驗和ARMA模型建立證實了該序列的非隨機性質(zhì)，異方差性檢驗確認了波動聚集性。研究采用GARCH、EGARCH和TGARCH模型對波動率方程進行擬合，結果顯示匯率存在杠桿效應。最終，使用最佳擬合效果的EGARCH（1，2）模型對匯率序列進行回測分析，并提出相關建議。

關鍵詞：ARMA模型；GARCH族模型；杠桿效應

中圖分類號：TP391 ? ? 文獻標識碼：A ? 文章編號：2096-4706（2023）14-0129-05

Exchange Rate Volatility Forecasting Based on ARMA-GARCH Combined Model

CAI Binjian

（School of Mathematical Science， South China Normal University， Guangzhou ?510631， China）

Abstract： This paper uses daily transaction middle price data of the RMB-USD exchange rate between August 11， 2015 and November 30， 2022 for research. Firstly， the data is processed by logarithmic difference to obtain a stable logarithmic return rate sequence of the RMB exchange rate. Secondly， through descriptive statistical analysis， it is found that the sequence has a “peaked ness and fat tail”. The stationarity test and ARMA model establishment further confirm the non-randomness of the sequence， and the heteroscedasticity test confirms the volatility clustering. This study uses GARCH， EGARCH and TGARCH models to fit the volatility rate equation， and the results show that there is a leverage effect in the exchange rate. Finally， the EGARCH （1， 2） model with the best fitting effect is used for backtesting analysis of the exchange rate sequence， and relevant suggestions are proposed.

Keywords： ARMA model; GARCH family model; leverage effect

0 ?引 ?言

2015年8月11日，央行改革了人民幣對美元中間匯率報價機制，增強了人民幣匯率與匯率市場的緊密聯(lián)系，也加強了匯率在經(jīng)濟和金融領域的作用，但同時也增強了人民幣匯率的波動性。自2018年3月，中美貿(mào)易戰(zhàn)爆發(fā)以來，人民幣匯率市場大幅震蕩。2020年1月21日新冠疫情大規(guī)模擴散之后，人民幣匯率快速上升，對經(jīng)濟造成了一定的沖擊。

隨著我國經(jīng)濟水平不斷提高和全球化不斷發(fā)展，中國的經(jīng)濟發(fā)展狀況備受世界各國關注，人民幣匯率波動備受國家和投資者關注。研究匯率的波動規(guī)律，平衡人民幣國際化和人民幣匯率穩(wěn)定的關系，對于影響國家經(jīng)濟和進出口企業(yè)走勢至關重要。

1 ?研究方法與理論分析

本節(jié)將會主要介紹文章建模所需要的ARMA模型、GARCH模型以及GARCH模型的拓展模型——TGARCH模型和EGARCH模型。

1.1 ?ARMA模型

由自回歸模型和滑動平均模型結合而成，能夠分析時間序列數(shù)據(jù)的線性部分。表達式為：

1.2 ?GARCH模型

GARCH模型是一種用于建模時間序列波動率的經(jīng)典方法。它是對ARCH模型的擴展，能夠?qū)Ω唠A自回歸和高階移動平均過程建模，并能夠描述更復雜的異方差性質(zhì)。其數(shù)學表達式為：

其中，ht表示時間t的波動率，α0表示常數(shù)項， 表示時間t - i的誤差項的平方，αi和βi分別表示ARCH和GARCH過程的系數(shù)，p和q分別表示ARCH和GARCH的階數(shù)。GARCH模型的完整表達式為：

1.3 ?EGARCH模型

EGARCH[1]模型，又稱為指數(shù)GARCH模型，由Nelson于1991年提出，該模型的結構為：

1.4 ?TGARCH模型

TGARCH模型[2]，又稱為門限GARCH模型，它將門限自回歸的概念與GARCH模型相結合所得到的GARCH模型拓展形式，其具體表達式為：

2 ?匯率波動性分析及預測

2.1 ?數(shù)據(jù)來源

本文的實證研究對象為人民幣兌美元匯率中間價，下文簡稱“匯率”。由于2015年8月11日起，人民幣兌美元中間報價機制發(fā)生改革，因此本文選取了2015年8月11日至2022年11月30日的人民幣匯率數(shù)據(jù)，并去除了節(jié)假日和個別日期的缺失數(shù)據(jù)，共得到2 691個匯率數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源為Choice金融。

2.2 ?數(shù)據(jù)處理

基于圖1的趨勢分析，可以初步推斷人民幣匯率原始序列存在較大波動，圍繞平均值的波動情況并不穩(wěn)定，這表明該序列可能是不平穩(wěn)的。

通常，若金融資產(chǎn)價格的時間序列不滿足平穩(wěn)性要求，則需要分析其收益率時間序列。在金融資產(chǎn)研究中，多數(shù)學者采用對數(shù)收益率表示價格收益率[3]。圖2展示了人民幣匯率對數(shù)收益率時序圖。

基于圖2的表現(xiàn)，可以看出收益率序列呈現(xiàn)波動聚集的趨勢，即一段時間內(nèi)的波動程度相對較小，但有時出現(xiàn)極大波動，且大波動之后會跟隨更大的波動，小波動之后也會跟隨更小的波動。綜上所述，我們初步推斷該序列可能具有異方差性。

2.3 ?描述性統(tǒng)計

在構造GARCH模型時，默認該序列服從正態(tài)分布。然而，金融時間序列通常呈現(xiàn)出尖峰厚尾的性質(zhì)，正態(tài)分布不能很好地解釋它。因此，需要研究該序列是否服從正態(tài)分布。該文章進行了JB正態(tài)性檢驗和計算序列的偏度與峰度，以確定適合描述該序列的分布。檢驗結果如表1和表2所示。

根據(jù)表1的檢驗結果，JB檢驗統(tǒng)計量的P值遠小于5%的顯著性水平，拒絕序列服從正態(tài)分布的假定。表2中對數(shù)收益率的偏度和峰度的值表明，該序列的峰度為6.94，超過了正態(tài)分布的峰度值3，暗示著相對于正態(tài)分布，該序列存在更多的極端值，同時偏度為0.11＞0，表明該序列呈現(xiàn)右偏態(tài)，是非對稱的，具有長尾的特征。鑒于此，文章將采用t分布對該序列進行分析。

2.4 ?構建ARMA模型

2.4.1 ?單位根檢驗

為了檢驗數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性，常使用ADF檢驗，但基于其方差齊性假設，不適用于異方差序列。因此，文章采用適用于異方差場合的平穩(wěn)性檢驗Phillips-Perron檢驗對對數(shù)收益率序列進行分析，PP檢驗得到的P值為0.000 1，小于5%顯著性水平，說明對數(shù)收益率序列通過了單位根檢驗，可用于ARMA模型構建。

2.4.2 ?模型識別

在序列滿足平穩(wěn)性前提下，需要檢驗序列的純隨機性。文章使用Ljung-Box檢驗構造LB統(tǒng)計量來對序列進行純隨機性檢驗，選取12階滯后階數(shù)，結果如表3所示。

根據(jù)表3，各階延遲階數(shù)的P值均小于5%的顯著性水平，表明序列不是純隨機性的，因此可以使用ARMA模型來擬合該序列。對此，我們初步選擇了AR（1）、AR（7）、MA（1）和ARMA（1，1）四個模型進行參數(shù)估計。然后，使用AIC和BIC準則進一步確定模型，結果表明AR（1）模型的AIC值最小，因此我們選擇AR（1）模型作為最合適的模型。然而，在擬合過程中，我們發(fā)現(xiàn)AR（1）的常數(shù)項系數(shù)不顯著，因此將其剔除，最終得到的模型表達式為：

2.4.3 ?模型檢驗

為了驗證ARMA模型的殘差是否是白噪聲序列，本文采用Ljung-Box檢驗對殘差序列進行了檢驗。具體結果如表4所示。

根據(jù)表4的輸出結果可知，各級延遲階數(shù)下的LB統(tǒng)計量的P值均大于5%的顯著性水平，即無法拒絕殘差序列為白噪聲的原假設，說明殘差序列通過了白噪聲檢驗，ARMA模型均值方程信息提取充分。

2.5 ?建立ARMA-GARCH模型

2.5.1 ?ARCH效應檢驗

在分析人民幣匯率對數(shù)收益率時序圖走勢時，發(fā)現(xiàn)序列存在波動集群效應，表明該收益率序列可能具有條件異方差性。為了確定ARCH效應是否真實存在，常用的方法是Portmanteau Q檢驗和LM檢驗。文章使用R軟件進行了這兩種檢驗方法，觀察了滯后6與12期的殘差平方序列，檢驗結果如表5所示。

根據(jù)表5的ARCH效應檢驗結果，殘差平方序列的Q檢驗和LM檢驗P值都顯著小于5%，說明存在長期相關性。因此，需要使用低階GARCH模型來提取殘差平方序列中的相關關系[4，5]。

2.5.2 ?AR-GARCH模型

本文采用低階的GARCH模型對方差方程進行擬合，包括GARCH（1，1）、GARCH（1，2）和GARCH（2，1）。根據(jù)比較不同模型的各種信息準則的結果，選擇最適合擬合匯率收益率序列的模型。本文發(fā)現(xiàn)GARCH（1，2）模型的AIC、BIC和HQIC結果均最小，表明GARCH（1，2）最適合刻畫收益率波動率的特征。因此，文章采用AR（1）-GARCH（1，2）模型對對數(shù)收益率序列進行擬合，具體結果如表6所示。

由表6可知，除了方差方程的常數(shù)項外，其余參數(shù)系數(shù)均顯著。常數(shù)項在條件異方差分析中不是重要的觀測參數(shù)，因此其顯著性不大。因此可以得出結論，GARCH（1，2）模型能夠很好地擬合數(shù)據(jù)。另外，由以上分析可知，ARCH項和GARCH項之和小于1，即該GARCH（1，2）過程是平穩(wěn)的。

對于所估計出的模型，我們還需要對其殘差進行檢驗以診斷模型的優(yōu)劣性，判斷該模型是否能夠充分提取波動信息。其檢驗結果如表7所示。

根據(jù)表7的檢驗結果可知，模型對水平信息以及波動信息提取均非常充分。這個AR-GARCH模型顯著成立，擬合效果理想，該模型的擬合方程為：

2.5.3 ?AR-EGARCH模型

根據(jù)前文分析，判斷人民幣匯率收益率可能存在非對稱性，為驗證收益率的杠桿效應，需使用更貼合數(shù)據(jù)的GARCH族模型。文章首先采用EGARCH模型驗證，通過比對不同模型的信息準則大小選擇最適合擬合匯率收益率序列的模型得知，EGARCH（1，2）最小。因此，文章采用AR（1）-EGARCH（1，2）模型擬合對數(shù)收益率序列，結果如表8所示。

由表8可知，除了方差方程的常數(shù)項外的所有參數(shù)系數(shù)的P值均小于5%的顯著性水平，均通過了顯著性檢驗。又由于EGARCH模型的非對稱性由參數(shù)αi刻畫，αi為負則說明序列過程對負沖擊的反應更大。而在以上的分析中，模型的系數(shù)α1為負且顯著，說明對數(shù)收益率的杠桿效應存在，AR（1）-EGARCH（1，2）模型能較好地體現(xiàn)對數(shù)收益率的杠桿效應。

對AR（1）-EGARCH（1，2）模型擬合后顯示的加權ARCH LM檢驗結果如表9所示。

根據(jù)表9可知，EGARCH模型擬合后的殘差序列不存在ARCH效應。因此，我們最終可以確認該模型的擬合方程為：

2.5.4 ?AR-TGARCH模型

在本小節(jié)中文章將繼續(xù)使用TGARCH模型來擬合出序列的杠桿效應，以對比EGARCH模型的效果。同樣地，文章結合信息準則原理，選擇合適的TGARCH模型為TGARCH（1，1）。

由表10可知，在10%的顯著性水平下，該模型除了方差方程的常數(shù)項外其他系數(shù)均通過了顯著性檢驗。同時，觀察該擬合結果表可以發(fā)現(xiàn)，TGARCH模型的系數(shù)γ1＞0且表現(xiàn)顯著，說明對數(shù)收益率的非對稱效應的存在，表明模型擬合合理。AR（1）-TGARCH（1，1）模型同樣也能較好地體現(xiàn)對數(shù)收益率的杠桿效應。

根據(jù)表11的AR（1）-TGARCH（1，1）ARCH效應檢驗檢驗可知，TGARCH模型擬合后的殘差序列不存在ARCH效應。

我們最終可以確認該模型的擬合方程為：

綜上所述，由于AR-TGARCH模型在參數(shù)顯著性上相對于AR-EGARCH模型表現(xiàn)較差，可得AR-EGARCH模型為最優(yōu)擬合模型，其中，AR（1）-EGARCH（1，2）模型具有較好的解釋力。

2.6 ?模型的擬合預測

為了檢驗AR-EGARCH模型有效性，本文采用回測方法：選定樣本時期，使用模型預測該時間段內(nèi)的VaR值，并比對真實收益率與VaR值來檢驗。如果有效，則落在VaR之外的樣本量應與置信水平一致；無效則樣本量過大，說明模型低估風險。

觀察圖3，圓圈圈出的地方為落在VaR曲線的樣本點位置，它們大多分布在發(fā)生較大波動之前，說明該模型能在收益率發(fā)生大幅度波動之前發(fā)出相應信號，實現(xiàn)對波動發(fā)生的預警。由此可知，該模型的預測效果較好，具有一定的參考價值。

3 ?結 ?論

根據(jù)文章的實證分析，得出以下結論：首先，人民幣匯率的對數(shù)收益率序列是平穩(wěn)時間序列，呈現(xiàn)出明顯的尖端厚尾特征，可使用t分布作為其密度分布；其次，人民幣匯率的對數(shù)收益率并非純隨機過程，序列之間存在一定的相關性，可使用AR（1）模型消除其線性依賴；第三，經(jīng)過ARMA模型提取了均值的序列顯示出明顯的條件異方差性，使用EGARCH（1，2）模型可較好地提取波動率信息。EGARCH模型方程中的杠桿效應系數(shù)小于0，說明匯率波動存在杠桿效應，且負面沖擊比正面沖擊對匯率的影響更大。第四，使用AR-EGARCH模型進行歷史回測發(fā)現(xiàn)，在大幅度波動發(fā)生之前會有預警信號出現(xiàn)，波動并非突然發(fā)生。

基于以上研究，提出以下建議：首先，政府部門應積極適度地干預匯率變動，維護外匯市場交易秩序的穩(wěn)定和匯率的平穩(wěn)；其次，應權衡人民幣國際化與匯率穩(wěn)定的關系，在人民幣國際化的進程中擴大外匯市場對內(nèi)對外開放，鼓勵“走出去”“迎進來”戰(zhàn)略，降低人民幣升值的預期，緩和杠桿效應中的負面沖擊。當匯率波動增大時，應適當放緩人民幣國際化的步伐，維護匯率穩(wěn)定。

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作者簡介：蔡斌堅（2001—），男，漢族，廣東潮州

人，本科在讀，研究方向：時間序列分析。