層次分析法中兩種標(biāo)度的對(duì)比分析

舒孝珍

（成都師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 611130）

美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家T·L·saaty 教授提出層次分析法是一種基于1-9 標(biāo)度下的定性與定量分析相結(jié)合的系統(tǒng)決策方法[1]．在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，該標(biāo)度下的層次分析法存在很多不足之處，因而，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)層次分析法的1-9 標(biāo)度進(jìn)行了改進(jìn)，并且取得了豐碩的研究成果．目前的研究成果有：1-15 標(biāo)度、x2標(biāo)度、標(biāo)度[2]、9/9-9/1 標(biāo)度、10/10-18/2 標(biāo)度、指數(shù)標(biāo)度[3-4]、分?jǐn)?shù)標(biāo)度[5-6]等互反型標(biāo)度，0-2 標(biāo)度[7]、-1-1標(biāo)度[8]、-2-2 標(biāo)度[9]、0.1-0.9 標(biāo)度[10]等互補(bǔ)型標(biāo)度．如何分析比較不同類型標(biāo)度在實(shí)際決策應(yīng)用中的效益已成為眾多研究者所關(guān)心的問題[11-14]．

對(duì)于標(biāo)度的對(duì)比分析，呂躍進(jìn)及其合作者對(duì)指數(shù)標(biāo)度與1-9 標(biāo)度進(jìn)行了對(duì)比研究，得到指數(shù)標(biāo)度與1-9 標(biāo)度在一致性上是互不相容的，前者效果優(yōu)于后者，且前者具有優(yōu)良的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)[15]．駱正清和楊善林提出了用保序性、一致性、標(biāo)度均勻性、標(biāo)度可記憶性、標(biāo)度可感知性、標(biāo)度權(quán)重?cái)M合性6 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)常見的7 種互反型標(biāo)度進(jìn)行了比較，得到對(duì)于解決單一準(zhǔn)則下的排序問題，保序性對(duì)所有標(biāo)度都成立，指數(shù)標(biāo)度的一致性和權(quán)重?cái)M合性最好[16]．1-9 標(biāo)度法的標(biāo)度均勻性、標(biāo)度可記憶性、標(biāo)度可感知性這3個(gè)性質(zhì)最好．劉穎芬和占濟(jì)舟論證了1-9 標(biāo)度、a8= 9 標(biāo)度、9/9-9/1 標(biāo)度、10/10-18/2 標(biāo)度的完全一致性互不相容，得到a8= 9 標(biāo)度比其他幾種標(biāo)度更為合理[17]．以上的研究主要集中在“互補(bǔ)型”標(biāo)度的對(duì)比方面，但很少有研究針對(duì)“互反型標(biāo)度”和“互反與互補(bǔ)型”標(biāo)度進(jìn)行深入研究.因此，在前人的研究方法基礎(chǔ)上，文章對(duì)應(yīng)用最廣泛的互反型1-9 標(biāo)度與互補(bǔ)型0.1-0.9 標(biāo)度進(jìn)行了對(duì)比研究，得到了如下的結(jié)論：1- 9 標(biāo)度和0.1- 0.9 標(biāo)度這兩種標(biāo)度法都具有保序性和一致性，1/9 標(biāo)度的均勻性比0.1-0.9標(biāo)度要好，而權(quán)重?cái)M合性比后者差.

1 兩種標(biāo)度的關(guān)系

在實(shí)際應(yīng)用中，互反型1-9 標(biāo)度與互補(bǔ)型0.1-0.9 標(biāo)度是應(yīng)用廣泛的兩種標(biāo)度，二者的關(guān)系如表1 所示.

表1 1-9 標(biāo)度與0.1-0.9 標(biāo)度的關(guān)系

2 兩種標(biāo)度的比較

2.1 保序性

保序性的數(shù)學(xué)定義如下[16]：對(duì)某一排序決策問題D，有n個(gè)被比較對(duì)象A1,A2, ... ,An，它們?cè)跍?zhǔn)則C下存在一個(gè)客觀次序R，現(xiàn)利用某一標(biāo)度S對(duì)問題D進(jìn)行排序，如果得到的排序結(jié)果與客觀次序R相同，則稱標(biāo)度S對(duì)排序決策問題D具有保序性.

現(xiàn)建立一組被比較對(duì)象：A1,A2,A3,A4,A5．不失一般性，假定在某準(zhǔn)則C（即構(gòu)造一個(gè)新的標(biāo)度：1-5標(biāo)度）下的客觀次序是A1與A1,A2,A3,A4,A5之間的關(guān)系恰好構(gòu)成：同等重要、稍微重要、明顯重要、強(qiáng)烈重要、極端重要．A2與A2,A3,A4,A5之間的關(guān)系恰好構(gòu)成：同等重要、稍微重要、明顯重要、強(qiáng)烈重要．A3與A3,A4,A5之間的關(guān)系恰好構(gòu)成：同等重要、稍微重要、明顯重要．A4與A4,A5之間的關(guān)系恰好構(gòu)成：同等重要、稍微重要．A5與A5之間的關(guān)系恰好構(gòu)成：同等重要．

根據(jù)以上關(guān)系，可以得到這5 個(gè)被比較的對(duì)象在1-5 標(biāo)度的判斷矩陣，如表2 所示.

表2 1-5 標(biāo)度下的判斷矩陣

根據(jù)表2，把1-9 標(biāo)度下的5 個(gè)標(biāo)度值作為被比較的5 個(gè)對(duì)象，可得它們1-5 標(biāo)度的

利用MATLAB 編寫程序cxl1.m

Z=[1 1/3 1/5 1/7 1/9;3 1 1/3 1/5 1/7;5 3 1 1/3 1/5;7 5 3 1 1/3 9 7 5 3 1];

[V,D]=eig(Z)

W=V(:,1)/sum(V(:,1))

lambda=max(eig(Z))

n=size(Z)

CI=(lambda-n)./(n-1)

RI=1.12

CR=CI./RI

if CR＞=0.1

error;

else ’pass text’

end

運(yùn)算結(jié)果：

lambda=5.2375，W=（ 0.0333 0.0634 0.1290 0.2615 0.5128)，CI=0.0594，CR=0.0530，ans=pass text

根據(jù)表2，可得0.1-0.9 標(biāo)度下的5 個(gè)標(biāo)度值作為被比較的5 個(gè)對(duì)象，并且可得其在1-5 標(biāo)度下的判斷矩陣為：

根據(jù)上述判斷矩陣，利用MATLAB 編寫程序cxl2.m

Z=[0.5 0.4 0.3 0.2 0.1;0.6 0.5 0.4 0.3 0.2;0.7 0.6 0.5 0.4 0.3;0.8 0.7 0.6 0.5 0.4; 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5];

[V,D]=eig(Z)

W=V(:,1)/sum(V(:,1))

lambda=max(eig(Z))

運(yùn)算結(jié)果：

lambda=2.808，W=(0.1123 0.1562 0.2000 0.2438 0.2877 ).

由上述運(yùn)算結(jié)果，可得1-9 標(biāo)度與0.1-0.9 標(biāo)度的權(quán)重，如表3 所示.

表3 1-9 標(biāo)度與0.1-0.9 標(biāo)度的權(quán)重

由表3 可知，1-9 標(biāo)度與0.1-0.9 標(biāo)度的權(quán)重雖然不同，但是當(dāng)它們同在1-5 這個(gè)任意特定的標(biāo)度下，權(quán)重又都具有如下性質(zhì)：Wi＞W(wǎng)j，當(dāng)i＞j時(shí)，即下標(biāo)小的權(quán)重小，由此可知，對(duì)1-5 這個(gè)標(biāo)度下的排序問題，1-9 標(biāo)度與0.1-0.9 標(biāo)度都具有保序性.由此，得到如下結(jié)論：對(duì)單一準(zhǔn)則下的任何排序問題，1-9標(biāo)度與0.1-0.9 標(biāo)度，這兩種標(biāo)度都具有保序性.

2.2 一致性

層次分析法中判斷矩陣的一致性，主要用來(lái)評(píng)判決策者在作出定性判斷時(shí)是否保持前后一致．在互反型判斷矩陣中，若矩陣中的元素滿足aik×akj=aij，則稱判斷矩陣為一致性矩陣．但在實(shí)際應(yīng)用中，決策者做出的定性判斷往往不是完全一致的，因而引入了一致性指標(biāo)CR作為衡量判斷矩陣一致性的標(biāo)準(zhǔn)，并規(guī)定當(dāng)CR= 0 時(shí)，判斷矩陣具有完全一致性；當(dāng)CR＜ 0.1 時(shí)，判斷矩陣的一致性在可以接受的范圍；當(dāng)CR＞ 0.1 時(shí)，判斷矩陣的一致性不符合要求．

一致性指標(biāo)CR的計(jì)算方法如下：

其中，RI是平均隨機(jī)一致性指標(biāo)，可通過(guò)查表得到.λmax是判斷矩陣的最大特征值，aij=aik－ajk＋0 是判斷矩陣的階.

在互補(bǔ)型判斷矩陣中，若判斷矩陣中的元素滿足aij=aik－ajk＋0.5，則稱判斷矩陣是一致性矩陣.根據(jù)杜棟教授在文章[10]和徐澤水教授在文章[18]中的分析，可以得到：原始互補(bǔ)型判斷矩陣A= (aij)n×n，通過(guò)以下數(shù)學(xué)變換[19]，可以得到一致性判斷矩陣B= (bij)n×n，從而可以避免一致性檢驗(yàn).

其中，i,j= (1,2,...,m)，m為單準(zhǔn)則下的元素個(gè)數(shù).

另外，徐澤水教授在文章[18]中指出，若A= (aij)n×n是互反型1-9 標(biāo)度下的判斷矩陣，則可以通過(guò)公式（2）

轉(zhuǎn)換為互補(bǔ)型0.1-0.9 標(biāo)度下的判斷矩陣B= (bij)n×n.

反過(guò)來(lái)，若B= (bij)n×n是互補(bǔ)型0.1-0.9 標(biāo)度下的判斷矩陣，則可以通過(guò)公式（3）

轉(zhuǎn)換為互反型1-9 標(biāo)度下的判斷矩陣A= (aij)n×n.

由上述分析可知，1-9 標(biāo)度與0.1-0.9 標(biāo)度這兩種標(biāo)度的判斷矩陣的一致性是相同的．對(duì)于1-9 標(biāo)度的判斷矩陣，通過(guò)2.1 節(jié)中的MATLAB 軟件運(yùn)算結(jié)果，可以看到一致性指標(biāo)：

滿足一致性，從而0.1-0.9 標(biāo)度的判斷矩陣也滿足一致性.

2.3 標(biāo)度均勻性

標(biāo)度均勻性是指在某一標(biāo)度下，所有相鄰的兩標(biāo)度值的差或商大致相等的程度[16]．為了比較1-9 標(biāo)度與0.1-0.9 標(biāo)度這兩種標(biāo)度的均勻性，引入如下關(guān)于標(biāo)度均勻性的定義.

定義1[16]某一標(biāo)度下相鄰的標(biāo)度值差dij為：

其中，Si，Sj為某一標(biāo)度下相鄰的兩個(gè)標(biāo)度值.

定義2[16]某一標(biāo)度下相鄰的標(biāo)度值商Dij為：

其中，Si，Sj為某一標(biāo)度下相鄰的兩個(gè)標(biāo)度值.

定義3[16]某一標(biāo)度下標(biāo)度值差的距離d為該標(biāo)度下最大標(biāo)度值差與該標(biāo)度下最小標(biāo)度值差的差：

定義4[16]某一標(biāo)度下標(biāo)度值差商的距離D為該標(biāo)度下最大標(biāo)度值商與該標(biāo)度下最小標(biāo)度值商的商：

定義5[16]某一標(biāo)度的標(biāo)度值距離的平衡值為：

當(dāng)1.1 ≤b≤ 2.0 時(shí)，標(biāo)度均勻性比較理想；當(dāng)2.1 ≤b≤ 6.0 時(shí)，標(biāo)度均勻性比較好；當(dāng)b取其他值時(shí)，標(biāo)度均勻性比較差.

根據(jù)上述定義，現(xiàn)在分別考察1-9 標(biāo)度與0.1-0.9 標(biāo)度，這兩種標(biāo)度的均勻性．

對(duì)于1-9 標(biāo)度，所有的dij= 2，故標(biāo)度值差的均勻性好，標(biāo)度值差的距離d= 2．標(biāo)度值商分別為D31= 3，D53= 1.67，D75= 1.4，D97= 1.29．標(biāo)度值商的距離D= 2.33.因而平衡值b=1.16，標(biāo)度均勻性較為理想.

對(duì)于0.1-0.9 標(biāo)度，所有的dij= 0.1，故標(biāo)度值差的均勻性好，標(biāo)度值差的距離d= 0.1．標(biāo)度值商分別為D31= 1.2，D53= 1.17，D75= 1.14，D97= 1.13．標(biāo)度值商的距離D= 1.06．因而平衡值b= 10.6，標(biāo)度均勻性較差.

根據(jù)以上分析表明，1-9 標(biāo)度的標(biāo)度均勻性優(yōu)于0.1-0.9 標(biāo)度的標(biāo)度均勻性.

2.4 標(biāo)度權(quán)重?cái)M合性

定義6[16]標(biāo)度權(quán)重?cái)M合性是指用層次分析法計(jì)算的權(quán)重與用標(biāo)度值直接加權(quán)的權(quán)重的擬合程度.我們可以引入以下公式來(lái)判斷一個(gè)標(biāo)度權(quán)重?cái)M合性的優(yōu)劣.

其中，Wbi表示用層次分析法得到的第i個(gè)標(biāo)度值的權(quán)重，Wzi表示用直接加權(quán)法得到的第i個(gè)標(biāo)度值的權(quán)重，n表示某一標(biāo)度下標(biāo)度值的個(gè)數(shù)．當(dāng)Eavg越小時(shí)，表明該標(biāo)度的權(quán)重?cái)M合性越好．

利用上述權(quán)重?cái)M合性優(yōu)劣公式以及通過(guò)表3 和直接計(jì)算兩種標(biāo)度的權(quán)重，可以得到1-9 標(biāo)度與0.1-0.9 標(biāo)度的權(quán)重?cái)M合程度，如表4 所示.

表4 1-9 標(biāo)度與0.1-0.9 標(biāo)度的權(quán)重?cái)M合度

表4 表明，1-9 標(biāo)度的權(quán)重?cái)M合度比0.1-0.9 標(biāo)度的權(quán)重?cái)M合度差.

3 結(jié) 語(yǔ)

關(guān)于1-9 標(biāo)度和0.1-0.9 標(biāo)度，文章從標(biāo)度的保序性、一致性、均勻性、權(quán)重?cái)M合性這4 個(gè)方面對(duì)兩種標(biāo)度法進(jìn)行了對(duì)比分析．結(jié)果表明，在標(biāo)度的保序性和一致性這兩方面，1-9 標(biāo)度和0.1-0.9 標(biāo)度的都具有良好的保序性和一致性；在標(biāo)度均勻性方面，1-9 標(biāo)度優(yōu)于0.1-0.9 標(biāo)度；在標(biāo)度的權(quán)重?cái)M合性方面，0.1-0.9 標(biāo)度優(yōu)于1-9 標(biāo)度．

文章通過(guò)對(duì)1-9 標(biāo)度和0.1-0.9 標(biāo)度進(jìn)行分析比較，目的在于幫助決策者在利用層次分析法去解決實(shí)際問題時(shí)，可以根據(jù)具體情況入手，有針對(duì)性地選擇恰當(dāng)標(biāo)度去解決問題，從而避免在標(biāo)度選擇上的盲目與無(wú)所適從.