關(guān)于等價無窮小在求函數(shù)極限中的推廣①

劉明術(shù)，王蘭芬

（1.黃山職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽 黃山 245000；2.歙縣小洲中心學(xué)校，安徽 黃山 245200）

極限是高等數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)分析中重要內(nèi)容之一，在函數(shù)連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、積分等方面都涉及極限問題．一些函數(shù)求極限比較復(fù)雜，而運用等價無窮小替換會變得簡便快捷.但定理受到條件的制約，需將等價無窮小代換進行推廣[1]．文中在定理1 的基礎(chǔ)上將分子、分母推廣到三個及以上的和差等價無窮小，并探索等價無窮替換的條件和方法；在定理2 的基礎(chǔ)上，利用泰勒公式，研究函數(shù)的等價無窮??；在定理3中，將被積函數(shù)之間的等價無窮小，推廣到積分上限、下限之間的等價無窮?。贸龅慕Y(jié)論通過具體的例題進行驗證．

1 和差等價無窮小求極限的相關(guān)定理及推廣

定理1[2-5]設(shè)f(x),f1(x),g(x),g1(x),u(x),u1(x),v(x),v1(x)是同一過程中的無窮小，若f(x)～f1(x)，f(x)～f1(x),g(x)～g1(x),u(x)～u1(x),v(x)～v1(x).

（1）當(dāng)m≠-1,n≠-1 時

（2）當(dāng)m≠1,n≠ 1時

推廣1設(shè)f(x),g(x),h(x),f1(x),g1(x),h1(x),是同一過程在中的無窮小，f(x)～f1(x),g(x)～g1(x)，f(x)～f1(x),g(x)～g1(x),h(x)～h1(x)，，則lim(f(x)+g(x) +h(x))=lim(f1(x)+g1(x)+h1(x)).

證明

推廣2設(shè)函數(shù)f i(x),f ii(x)(i=1,2, …,n)是同一過程中的無窮小，且f i(x)～f ii(x)(i=1,2,… ,n)，且，則.

證明

2 等價無窮小構(gòu)造定理及推廣

定理2[6]設(shè)在同一變換過程中有，則.

證明因為，則，即

上述定理說明無窮小與它的高階無窮小的代數(shù)和與該無窮小等價，在求極限時可將階數(shù)較高的無窮小舍棄，可以簡化求極限[7].

推廣1設(shè)

對于一些用洛必達法則和等價無窮小替換求極限[8]比較復(fù)雜或易出錯時，可用上述的方法求解.

例1[5]求

推廣2若函數(shù)f(t) 在t=a處n階可導(dǎo)，且，,當(dāng)時，有

證明

當(dāng)h(x)=x,x→ 0時，有如下結(jié)論[10]

例2[5]求

解令，f(0)=f′( 0) =0,f′′(0) = 2 ≠0，由推廣2，當(dāng)x→ 0，

3 求變上限積分函數(shù)極限定理和推廣

定理3[9]若當(dāng)x→0 時，存在，,則

推廣1若當(dāng)x→0 時，存在，且，存在，則

證明

（1）當(dāng)x→0 時，,β1(x)均為無窮小量，且β1(x)；

證明,由定理3 和推論1 可得：，再由相關(guān)定理可得

例3求

解當(dāng)x→0 時，有sinx～x，,由推廣2 得

4 總 結(jié)

根據(jù)對已有的利用等價無窮小求極限相關(guān)定理進行研究，得出了幾個定理的推廣，拓展了其應(yīng)用范圍和條件．善于分析和總結(jié)，可將等價無窮小替換發(fā)揮到極致，對求一些未定式極限更加簡便快捷.