巧用構(gòu)造法 妙證不等式

陳國(guó)龍

(揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 揚(yáng)州 225002)

不等式在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占據(jù)了重要地位.在函數(shù)、幾何等知識(shí)中應(yīng)用廣泛,在高考和數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷中,不等式的證明一直都是考查的重點(diǎn)與難點(diǎn).構(gòu)造法是指當(dāng)按固有思維難以快速有效解決問題時(shí),嘗試結(jié)合已知條件、性質(zhì)等,選擇一定的數(shù)學(xué)對(duì)象去構(gòu)造新的數(shù)學(xué)載體,從而解決問題的分析方法[1].它是不等式證明中的一種重要方法,而本文正是從構(gòu)造不同數(shù)學(xué)載體的角度,用實(shí)例來(lái)分析總結(jié)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題中證明不等式的幾種方法.

1 構(gòu)造恒等式

由于恒等式的結(jié)果是顯然的,所以我們?cè)谧C明不等式的時(shí)候,常常會(huì)通過(guò)補(bǔ)充不等式中省去的某些項(xiàng),進(jìn)而挖掘不等式背后的恒等式,從而找到證明的突破口.

例1已知a2+b2+c2+d2=1, 求證:(a+b)4+(a+c)4+(a+d)4+(b+c)4+(b+d)4+(c+d)4≤6.

①

分析首先通過(guò)觀察,發(fā)現(xiàn)已知代數(shù)式與所證不等式的次數(shù)不一致,為了保持一致,很顯然我們可以得到(a2+b2+c2+d2)2=1,其次我們肯定要設(shè)法找出所得條件與①式之間的關(guān)系.注意到要使(a+b)4中a的奇次項(xiàng)不在(a2+b2+c2+d2)2的展開項(xiàng)中出現(xiàn),可以配上(a-b)4與之相消,這樣就找到了關(guān)鍵突破口.

證明考慮和式:(a-b)4+(a-c)4+(a-d)4+(b-c)4+(b-d)4+(c-d)4,不難發(fā)現(xiàn)它與①式左端恰好構(gòu)成恒等式,即

(a+b)4+(a-b)4+(a+c)4+(a-c)4+(a+d)4+(a-d)4+(b+c)4+(b-c)4+(b+d)4+(b-d)4+(c+d)4+(c-d)4=6(a2+b2+c2+d2)=6.

則顯然①式得證.

2 構(gòu)造函數(shù)

根據(jù)題中所給的代數(shù)式的關(guān)系以及特征,構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用函數(shù)的圖象與性質(zhì),例如函數(shù)單調(diào)性,可以有助于不等式的證明.

例2設(shè)xk≥1,k=1,2,…,n,且(1+x1)(1+x2)…(1+xn)>2λ,求證:x1+x2+…+xn>λ.

分析首先通過(guò)觀察,確定構(gòu)造的函數(shù)類型:以2為底的對(duì)數(shù)函數(shù);其次,根據(jù)已知條件確定構(gòu)造的具體函數(shù):函數(shù)f(x)=x-log2(1+x);分析其單調(diào)性,即可完成證明.

證明由條件不等式(1+x1)(1+x2)…(1+xn)>2λ,不等式兩邊可同時(shí)取以2為底的對(duì)數(shù),即log2(1+x1)+log2(1+x2)+…+log2(1+xn)>λ.

又因?yàn)閒(x)>f(1)=0,則x>log2(1+x)在x∈[1,+∞)時(shí)恒成立.

故x1+x2+…+xn>log2(1+x1)+log2(1+x2)+…+log2(1+xn)>λ.

3 構(gòu)造幾何圖形

如果題目中所給的不等式有明顯的幾何意義,或者通過(guò)觀察能夠以某種方式與幾何圖形建立相應(yīng)的聯(lián)系,那么通過(guò)構(gòu)造圖形,實(shí)現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”,使題設(shè)的條件及關(guān)系在圖形中得以體現(xiàn),從而利用構(gòu)造的幾何圖形證明不等式.

圖1 點(diǎn)與點(diǎn)距離之差示意圖

4 構(gòu)造對(duì)偶式

將函數(shù)式F中所有的“·”變成“+”,“+”變成“·”,“0”變成“1”,“1”變成“0”,并保持原函數(shù)中的運(yùn)算順序不變,則得到的新表達(dá)式稱為函數(shù)式F的對(duì)偶式[2].解題時(shí),在一些輪換不等式中,依據(jù)已知式子的結(jié)構(gòu)特征,構(gòu)造結(jié)構(gòu)一致,具有某種對(duì)稱關(guān)系的一對(duì)對(duì)偶式,就能通過(guò)一系列基本運(yùn)算,巧妙地證明不等式.

例4若a1+a2+…+an=1,求證:

分析觀察該不等式為輪換不等式,根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征,構(gòu)造相應(yīng)的對(duì)偶式,然后利用加減乘除四則運(yùn)算化簡(jiǎn)問題,從而證明不等式.

所以A=B.

又因?yàn)楦鶕?jù)算術(shù)幾何平均不等式,有

5 構(gòu)造數(shù)列

若題目是有關(guān)n的不等式時(shí),可以考慮構(gòu)造輔助數(shù)列,并類比構(gòu)造函數(shù),利用數(shù)列的性質(zhì),如單調(diào)性來(lái)證明不等式.

例5 設(shè)a1,a2,…,an(n≥2)都大于-1且同號(hào),求證:(1+a1)(1+a2)…(1+an)>1+a1+a2+…+an.

分析觀察題面可知,我們可以考慮構(gòu)造新的數(shù)列來(lái)進(jìn)行輔助證明,再根據(jù)我們所要證明的不等式,確定構(gòu)造的數(shù)列,即將不等式左右兩端相減組成一個(gè)新數(shù)列,最后利用新數(shù)列的單調(diào)性證明不等式.

證明構(gòu)造數(shù)列xn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)-(1+a1+a2+…+an)(n≥2),則

xn+1-xn=an+1[(1+a1)…(1+an)-1].

若ai>0(i=1,2,…,n+1),由上式可得

xn+1>xn.

若-1xn.

因此數(shù)列{xn}是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列(n≥2).

由于x2=(1+a1)(1+a2)-1-a1-a2=a1a2>0,則對(duì)一切n≥2,xn>0,從而原不等式成立.

6 構(gòu)造反例

在不等式的證明中,有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)證明存在有限種情況使得不等式成立,或者是否對(duì)于任意滿足條件的數(shù),不等式恒成立的問題.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,反例可以用來(lái)說(shuō)明一個(gè)命題是假命題,它滿足該命題的條件,但是不滿足該命題的結(jié)論[3],可以很好地解決這類不等式的證明問題.

例6設(shè)n為一個(gè)大于2的奇數(shù),求證:當(dāng)且僅當(dāng)n=3或5時(shí),對(duì)任意a1,a2,…,an∈R,有下面不等式成立:

(a1-a2)(a1-a3)…(a1-an)+(a2-a1)(a2-a3)…(a2-an)+…+(an-a1)(an-a2)…(an-an-1)≥0.

分析只需證明當(dāng)n=3或5時(shí),不等式成立,再利用反例證明當(dāng)n≥7時(shí),不等式不成立即可.

證明不妨設(shè)a1≤a2≤…≤an.

A5=(a1-a2)(a1-a3)(a1-a4)(a1-a5)

+(a2-a1)(a2-a3)(a2-a4)(a2-a5)

+(a3-a1)(a3-a2)(a3-a4)(a3-a5)

+(a4-a1)(a4-a2)(a4-a3)(a4-a5)

+(a5-a1)(a5-a2)(a5-a3)(a5-a4).

由于(a3-a1)(a3-a2)(a3-a4)(a3-a5)≥0,而A5前2項(xiàng)之和為(a2-a1)[(a3-a1)(a4-a1)·(a5-a1)-(a3-a2)(a4-a2)(a5-a2)]≥0,同理可得A5后2項(xiàng)之和也不小于0,故A5≥0.

當(dāng)n≥7時(shí),構(gòu)造反例如下:

令a1=a2=a3