巧用“三觀”妙解三角恒等變換問(wèn)題
——以2022年新高考全國(guó)Ⅰ卷第18題為例

蔡雙湖

(福建省安溪第八中學(xué),福建 泉州 362402)

解三角形問(wèn)題往往與平面幾何、函數(shù)與方程、三角函數(shù)、平面向量、基本不等式等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)交匯.三角恒等式變換是進(jìn)一步研究三角函數(shù)圖象和性質(zhì)、正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用的基礎(chǔ),它是解決三角函數(shù)相關(guān)問(wèn)題的必要知識(shí)和能力.全面貫徹新課標(biāo)“知識(shí)交匯命題”的指導(dǎo)思想,是高考數(shù)學(xué)命題的一個(gè)基本考點(diǎn),備受各方關(guān)注.以2022年新高考全國(guó)Ⅰ卷第18題為例,抓住常用三角函數(shù)公式的處理方法和變換方向,幫助學(xué)生進(jìn)一步掌握三角恒等式變換的基本技能,積累三角恒等式轉(zhuǎn)換的基本經(jīng)驗(yàn),從而提高解決問(wèn)題的能力[1].

1 觀角

所以cosAcosB=sinB+sinAsinB.

所以cosAcosB-sinAsinB=sinB.

即cos(A+B)=sinB.

所以cos(π-C)=sinB.

解法2由A+B+C=π,得

解析利用兩次變角α=(α-β)+β,2α-β=(α-β)+α.

所以-π<2α-β<0.

因?yàn)閠an(2α-β)=tan[(α-β)+α]=1,

2 觀名

整理,得3tan2α-8tanα-3=0.

3 觀結(jié)構(gòu)

要熟悉三角恒等變換的各個(gè)公式的結(jié)構(gòu)特征以及各種變形,像升冪、降冪,和差化積、積化和差,輔助角公式.

所以f(x)在(0,π)單調(diào)遞增.

練習(xí)5(2023年新高考全國(guó)Ⅰ卷第17題第(1)問(wèn))已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB．求sinA.

解析因?yàn)锳+B=3C,所以π-C=3C.

又2sin(A-C)=sinB=sin(A+C),

所以2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC.

所以sinAcosC=3cosAsinC.

所以sinA=3cosA.即tanA=3.

因?yàn)閟in26°

綜上所述,本文以2022年新高考全國(guó)Ⅰ卷第18題為例,抓住常用三角函數(shù)公式的處理方法和變換方向,梳理了三角恒等式變換的基本技能,積累三角恒等式轉(zhuǎn)換的基本經(jīng)驗(yàn),總結(jié)了解決三角恒等變換問(wèn)題的三個(gè)常見(jiàn)視角:觀角、觀名、觀結(jié)構(gòu).因此,在日常教學(xué)中,不僅要總結(jié)常見(jiàn)的結(jié)論,還要注意結(jié)論的推導(dǎo),明白變化的本質(zhì),加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解,實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu),積累基本數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn),達(dá)到對(duì)基本技能的掌握,增強(qiáng)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.