四省聯(lián)考解析幾何試題的分析與思考

張青松

(云南師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué),云南 昆明 650031)

2023年2月,為加強(qiáng)教考銜接,實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)過渡,針對(duì)2023年云南、吉林、黑龍江、安徽四個(gè)省的高考考生使用新課標(biāo)老高考的情況,教育部教育考試院命制了適應(yīng)性測(cè)試卷,供2023年考生進(jìn)行適應(yīng)性考試(下文稱“四省聯(lián)考”).這是數(shù)學(xué)新高考模式在云南省的首次大規(guī)模亮相,意義非凡.本次試題以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》為依據(jù),考查了學(xué)生的關(guān)鍵能力,突出思維品質(zhì)與創(chuàng)新精神;注重學(xué)用結(jié)合,創(chuàng)設(shè)真實(shí)靈活情境;命題設(shè)問更具開放性與探究性.整份試卷充分發(fā)揮高考“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”的核心功能,對(duì)后期的復(fù)習(xí)備考將起到積極而深遠(yuǎn)的引導(dǎo)作用.

1 試題結(jié)構(gòu)分析

解析幾何類試題在四省聯(lián)考試卷中一共有4道,其中單選題、多選題、填空題和解答題各有一道,合計(jì)27分,占整張?jiān)嚲淼姆种当壤秊?8%.這幾道試題涉及的知識(shí)點(diǎn)主要有圓的參數(shù)方程、橢圓的幾何性質(zhì)、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓與拋物線的位置關(guān)系、直線與雙曲線的位置關(guān)系,以及解析幾何與三次函數(shù)、三角函數(shù)的融合.試題結(jié)構(gòu)明了,重在檢測(cè)考生的四基、四能的發(fā)展水平.具體分布見表1.

表1 四省聯(lián)考解析幾何試題考查目標(biāo)分析

2 試題解法分析

試題1 已知點(diǎn)A,B,C為橢圓D的三個(gè)頂點(diǎn),若△ABC是正三角形,則D的離心率是( ).

圖1 長(zhǎng)軸端點(diǎn)為三角形頂點(diǎn) 圖2 短軸端點(diǎn)為三角形頂點(diǎn)

評(píng)析本題是一個(gè)橢圓離心率求解的問題,可視為人教A版選修一139頁第10題的一個(gè)變式,試題如下:

已知等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于原點(diǎn),另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2=2px(p>0)上,求這個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng).

對(duì)于四省聯(lián)考的這道試題,題目給出的條件是需要我們分類討論研究問題的,題干給出了三個(gè)頂點(diǎn),但沒有明確是哪些頂點(diǎn),這里就可以分為“有兩個(gè)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)”和“有兩個(gè)短軸頂點(diǎn)”這兩種情況進(jìn)行分析.除去考慮分類討論這點(diǎn)之外,本題難度不大,因?yàn)榻o出的是頂點(diǎn)的關(guān)系,自然可以很容易找到橢圓中a和b的關(guān)系.

圖3 動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)圖

設(shè)第ts時(shí),P,Q兩點(diǎn)重合,由動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度關(guān)系列等式如下:

故選ABD.

即f(k+3)=f(k),

試題3若P,Q分別是拋物線x2=y與圓(x-3)2+y2=1上的點(diǎn),則|PQ|的最小值為____.

解析如圖4,設(shè)該圓的圓心為C,由三角不等式可知|PQ|≥|PC|-|CQ|(當(dāng)P,Q,C三點(diǎn)共線時(shí)取等,點(diǎn)Q在點(diǎn)P,C之間),其中|CQ|為半徑,即|CQ| =1,所以|PQ|≥|PC|-1.問題轉(zhuǎn)化為求|PC|的最小值.

圖4 試題3圖

設(shè)f(x)=x4+x2-6x+9,則f′(x)=4x3+2x-6=2(2x3+x-3)=2(x-1)(2x2+2x+3).

又f″(x)=12x2+2>0,

所以f′(x)在R上單調(diào)遞增.

當(dāng)x∈(-∞, 1)時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(1, +∞)時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.

解法2 (幾何法計(jì)算最值)當(dāng)CP與點(diǎn)P處切線垂直時(shí),|PC|取到最小值.

對(duì)y=x2求導(dǎo)可得y′=2x.

可得x0=1,所以P(1 , 1).

評(píng)析本題是一個(gè)雙動(dòng)點(diǎn)最值的求解問題,背景是拋物線和圓,可視為2014年福建高考理科數(shù)學(xué)第9題的一個(gè)變式,試題如下:

對(duì)于四省聯(lián)考的這道試題,首先P,Q兩點(diǎn)是不相關(guān)的兩個(gè)變量,處理的思路必然是“固定一個(gè),變化一個(gè)”.這里可先認(rèn)為點(diǎn)P是定點(diǎn),那么|PQ|的最小值就變成了“圓上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最值”,這種問題就可以利用三角不等式轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到圓心的距離求解,該距離減去半徑就是距離最小值了.接下來問題就轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到圓心的距離最小值,此時(shí)問題就轉(zhuǎn)化為“拋物線上動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離最值”.

本文提供了兩種解題方法,一種比較直接,就是純代數(shù)方式處理,即設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),之后表達(dá)線段的長(zhǎng)度并求解最值.線段長(zhǎng)度表達(dá)式的核心部分是一個(gè)四次函數(shù),求導(dǎo)后為三次函數(shù),考生需要進(jìn)行因式分解來判斷導(dǎo)函數(shù)正負(fù)進(jìn)而求解最值.而如何因式分解是本題的一個(gè)難點(diǎn),可以教學(xué)生如下思考:由2x3+x-3的系數(shù)和為零,可知該三次多項(xiàng)式必然存在因式x-1,從而可將-3拆成-1和-2,即2x3-2+x-1,再根據(jù)試卷第22題給出的立方差公式得2(x-1)(x2+x+1)+(x-1),到此便可實(shí)現(xiàn)因式分解.對(duì)于系數(shù)和不為零的整系數(shù)多項(xiàng)式因式分解,讀者可參考以下定理.

定理的證明,在一般的高等代數(shù)教材中均可找到,在此省略.

第二種思路則是利用幾何關(guān)系,若定點(diǎn)與P連線垂直于在點(diǎn)P處的切線,對(duì)應(yīng)的距離就是最小的,這里需要一定的觀察能力或者平常學(xué)習(xí)的積累.這種方法雖然沒有求導(dǎo),但是也需要求解一個(gè)三次方程,總之此題是繞不過三次函數(shù)的處理的.

(1)求C的方程;

評(píng)析本題可視為2008年安徽高考卷第22題的一個(gè)變式.解題的核心思想是將線段比轉(zhuǎn)化為共線向量處理,類似的思路出現(xiàn)于2021年全國(guó)Ⅰ卷的解析幾何題,蘊(yùn)含了命題人對(duì)命制試題的理解,具有很強(qiáng)的指導(dǎo)性.用向量的數(shù)量積運(yùn)算,能很快剝離出運(yùn)算式的韋達(dá)定理的結(jié)構(gòu),整合分類討論.不足之處是計(jì)算量較大.

3 高考復(fù)習(xí)啟示

3.1 夯實(shí)基礎(chǔ),提升思維

從本次四省聯(lián)考的解析幾何試題來看,試題傾向于考查考生的邏輯推理能力,有著“送分題少、中檔題目占比大、難題梯度明顯”的特點(diǎn),而且在中檔題目上強(qiáng)調(diào)更加靈活地應(yīng)用所學(xué)知識(shí)和相應(yīng)的數(shù)學(xué)技能.在復(fù)習(xí)備考時(shí),首先讓學(xué)生牢固掌握直線、圓和圓錐曲線的相關(guān)概念,熟悉基本圖形和幾何性質(zhì),建構(gòu)知識(shí)體系;其次,讓學(xué)生深化理解通性通法,教學(xué)時(shí)不宜過度追求一題多解,應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注如何審題,怎樣應(yīng)用所學(xué)知識(shí)處理新問題;最后,以解析幾何為例,這份試卷的計(jì)算量較大,并且邏輯推理的要求也較高,因此我們?cè)谄匠＝虒W(xué)時(shí),要同時(shí)抓學(xué)生的計(jì)算能力和數(shù)學(xué)思維.

3.2 回歸課本,研究真題

有很多高考試題來自于教材例題或習(xí)題的改編,教材是最好的備考素材.教學(xué)時(shí)立足習(xí)題,尤其讓學(xué)生把那些“看上去沒有思路”的題多做幾遍,爭(zhēng)取能獨(dú)立解決.此外,教材上的“閱讀與思考”“探究與發(fā)現(xiàn)”等欄目也非常重要,讓學(xué)生認(rèn)真閱讀并思考這些內(nèi)容,培養(yǎng)他們閱讀習(xí)慣的同時(shí)提升學(xué)習(xí)能力.

高考真題凝結(jié)著命題專家的智慧,是考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法的載體[1],既有示范性,又有權(quán)威性.從本文的分析看,高考試題具有很強(qiáng)的傳承性,研究往年真題,挖掘背后的命題規(guī)律,對(duì)于復(fù)習(xí)備考具有重要的指導(dǎo)意義.