結(jié)構(gòu)化視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教材研讀*
——以“分?jǐn)?shù)除法”為例

殷美琴 申 苗

從目前的小學(xué)數(shù)學(xué)教材及教學(xué)現(xiàn)狀來看，由于各知識(shí)領(lǐng)域的內(nèi)容分散編排、各自呈現(xiàn)，教師教學(xué)也大多依據(jù)教材上的內(nèi)容分課時(shí)展開，從而導(dǎo)致學(xué)生難以將知識(shí)點(diǎn)關(guān)聯(lián)成一個(gè)整體的知識(shí)結(jié)構(gòu)?；凇读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）對(duì)課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的要求，在結(jié)構(gòu)化視角下對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教材進(jìn)行研讀，教師既要以整體、聯(lián)系的思維把握課程內(nèi)容的知識(shí)結(jié)構(gòu)，從單元整體的視角對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行統(tǒng)整與梳理，又要站在學(xué)生的立場(chǎng)分析新課標(biāo)對(duì)課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化教學(xué)的目標(biāo)要求與教材之間的落差，促進(jìn)學(xué)生遷移學(xué)科知識(shí)與方法，構(gòu)建有結(jié)構(gòu)的、完整的認(rèn)知系統(tǒng)，從而培養(yǎng)他們的結(jié)構(gòu)化思維和系統(tǒng)化思維。

一、明確課標(biāo)要求，把握課程內(nèi)容

1.對(duì)數(shù)運(yùn)算一致性的要求

新課標(biāo)十分強(qiáng)調(diào)數(shù)運(yùn)算教學(xué)的整體性和一致性，明確指出“感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識(shí)”。史寧中教授也提出，在“數(shù)與代數(shù)”中要注意兩個(gè)一致性：乘法和除法運(yùn)算的一致性；整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)加減運(yùn)算的一致性。因此，分?jǐn)?shù)除法的教學(xué)內(nèi)容要緊扣“一致性”這條主線，前后貫通，既要整體把握課程內(nèi)容學(xué)習(xí)要求，還要考慮整體的“一致性”，以促進(jìn)學(xué)生形成和發(fā)展學(xué)科關(guān)鍵能力。

2.對(duì)分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算的要求

“分?jǐn)?shù)除法”是第三學(xué)段的內(nèi)容，新課標(biāo)中相對(duì)應(yīng)的目標(biāo)要求是：能進(jìn)行簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算，感悟數(shù)運(yùn)算的一致性；形成符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力和推理意識(shí)。內(nèi)容要求指出：能進(jìn)行分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算和混合運(yùn)算，感悟運(yùn)算的一致性，發(fā)展運(yùn)算能力和推理意識(shí)。學(xué)業(yè)要求指出：能進(jìn)行簡(jiǎn)單分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算和混合運(yùn)算，并說明運(yùn)算過程。數(shù)的運(yùn)算的重點(diǎn)在于理解算理、掌握算法，與算理直接相關(guān)的核心概念是計(jì)數(shù)單位，本質(zhì)都是計(jì)數(shù)單位之間的計(jì)算。

二、基于教材編排，明晰關(guān)鍵內(nèi)容

1.“分?jǐn)?shù)除法”在教材中的地位

“分?jǐn)?shù)除法”是“數(shù)與運(yùn)算”主題的關(guān)鍵內(nèi)容，其統(tǒng)籌了四則運(yùn)算的所有內(nèi)容（如圖1），既是分?jǐn)?shù)乘法的延伸，也是整數(shù)除法運(yùn)算的擴(kuò)展，還是比、百分?jǐn)?shù)等知識(shí)的基礎(chǔ)，其中蘊(yùn)含多種核心素養(yǎng)。學(xué)生主要學(xué)習(xí)與理解“分?jǐn)?shù)除法”的本質(zhì)：可以按照整數(shù)除法的算理和算法進(jìn)行運(yùn)算，即在計(jì)數(shù)單位相同的前提下進(jìn)行個(gè)數(shù)的均分，構(gòu)建分?jǐn)?shù)除法與整數(shù)除法的關(guān)聯(lián)，理解分?jǐn)?shù)除法與整數(shù)除法的一致性；同時(shí)，體會(huì)所有的除法運(yùn)算本質(zhì)上都是乘法運(yùn)算，感受乘法、除法運(yùn)算的一致性。

（圖1）

2.“分?jǐn)?shù)除法”在不同版本教材中的編排

研究不同版本的教材，有助于教師從不同視角把握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)和內(nèi)容結(jié)構(gòu)。對(duì)比人教版和蘇教版兩個(gè)版本教材的單元目標(biāo)，可以發(fā)現(xiàn)，其重點(diǎn)都是讓學(xué)生在理解分?jǐn)?shù)除法意義的基礎(chǔ)上，理解和掌握分?jǐn)?shù)除法的算理和算法。它們都是把分?jǐn)?shù)除法分為分?jǐn)?shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)等幾種不同的類型，每種類型通過圖示直觀解釋算式意義的計(jì)算結(jié)果，計(jì)算方法則是從觀察一組除法轉(zhuǎn)化為乘法的例子中歸納得出的。

對(duì)于“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的算理和算法，兩個(gè)版本的教材都呈現(xiàn)了兩種算法：一種是等分除，利用計(jì)數(shù)單位說理；一種是包含除，根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義來思考。等分除不能解釋分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，而包含除雖然能解釋，但也只是解釋了除法算式的意義，無法解釋分?jǐn)?shù)除法的算理，不能突出計(jì)數(shù)單位對(duì)于算理理解的意義。

對(duì)于“除數(shù)是分?jǐn)?shù)的除法”，兩個(gè)版本教材的編排層次都不太明顯，計(jì)數(shù)單位的價(jià)值難以凸顯。人教版教材呈現(xiàn)同一個(gè)路程情境，分別從整數(shù)和分?jǐn)?shù)除以非分?jǐn)?shù)單位的分?jǐn)?shù)入手，根據(jù)這兩個(gè)例子總結(jié)出“除以一個(gè)不為0 的數(shù)，等于乘上這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”，而就路程情境而言，學(xué)生是較難理解的；蘇教版教材則從整數(shù)除以分?jǐn)?shù)單位、整數(shù)除以非分?jǐn)?shù)單位、同分母分?jǐn)?shù)相除入手。兩個(gè)版本的教材均根據(jù)特例總結(jié)出“除以一個(gè)不為0 的數(shù)，等于乘這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”，然后對(duì)該總結(jié)進(jìn)行推廣應(yīng)用，整體探究上缺乏對(duì)除數(shù)是一般分?jǐn)?shù)類型的研究，而把從特例中發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證得到的計(jì)算方法推廣為一般分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)算法則。這個(gè)推理過程屬于不完全歸納，沒有體現(xiàn)分?jǐn)?shù)除法通法通則的推導(dǎo)過程，給學(xué)生的知識(shí)建構(gòu)留下了思維“縫隙”?？梢?，兩個(gè)版本的教材都沒有把統(tǒng)一的算理貫徹其中，忽略了計(jì)數(shù)單位在計(jì)算方法探索過程中的作用，不利于學(xué)生感悟數(shù)的運(yùn)算在本質(zhì)上的一致性，顯然與新課標(biāo)對(duì)分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算的要求有一定落差。

三、站在學(xué)生立場(chǎng)，審視教材安排

結(jié)構(gòu)化視角下的教材研讀必須關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知和思維發(fā)展水平，需要教師站在學(xué)生的視角研讀教材，以學(xué)生的眼光看待教材內(nèi)容的呈現(xiàn)，分析學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)存在的思維障礙，立足學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行合理編排，以便學(xué)生更好地形成知識(shí)結(jié)構(gòu)及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法論。

筆者所在學(xué)校使用的是人教版教材，曾在六年級(jí)下學(xué)期對(duì)學(xué)生進(jìn)行了一次“分?jǐn)?shù)除法”的教學(xué)評(píng)估，形式為紙筆測(cè)試，以分析學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)除法算理的理解和算法的掌握情況。后測(cè)題目為：計(jì)算，為什么可以寫成，你能用文字、算式或畫圖的方式說說你的想法嗎？從后測(cè)分析（如表1）來看，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)除法的算理理解并不到位，40%的學(xué)生僅僅知道除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)的算法，對(duì)計(jì)數(shù)單位在運(yùn)算過程中的價(jià)值難以體會(huì)。

表1 “分?jǐn)?shù)除法”后測(cè)分析反饋表

基于以上分析，根據(jù)新課標(biāo)對(duì)分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算一致性的要求，筆者認(rèn)為，教材需進(jìn)一步突出計(jì)數(shù)單位解釋算理的理解過程，使學(xué)生明確分?jǐn)?shù)運(yùn)算就是在分?jǐn)?shù)單位相同的前提下進(jìn)行分子的運(yùn)算，即整數(shù)的運(yùn)算，所有除法運(yùn)算都可歸結(jié)為乘法運(yùn)算。從結(jié)構(gòu)化的視角研讀教材，需要思考以下幾個(gè)問題：（1）有沒有產(chǎn)生新的計(jì)數(shù)單位？（2）新的計(jì)數(shù)單位是多少？（3）如何找到有多少個(gè)新的計(jì)數(shù)單位？因此，需要對(duì)“分?jǐn)?shù)除法”單元進(jìn)行重構(gòu)，將“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”“除數(shù)是分?jǐn)?shù)的除法”進(jìn)一步細(xì)分為“同分母分?jǐn)?shù)相除”“整數(shù)除以分?jǐn)?shù)”“異分母分?jǐn)?shù)的除法”，并設(shè)計(jì)基于真實(shí)情境的核心任務(wù)，以大任務(wù)驅(qū)動(dòng)學(xué)生深度思考，從而使其更好地理解分?jǐn)?shù)除法的算理和算法。

四、基于結(jié)構(gòu)化視角，重構(gòu)教學(xué)內(nèi)容

1.同分母分?jǐn)?shù)相除

“同分母分?jǐn)?shù)相除”的算法能運(yùn)用到所有分?jǐn)?shù)除法中，其方法具有一般性。筆者教學(xué)時(shí)以“科技節(jié)”為現(xiàn)實(shí)背景，設(shè)計(jì)包含除的任務(wù)。在同一個(gè)情境下設(shè)置兩個(gè)問題，側(cè)重于運(yùn)用計(jì)數(shù)單位解釋算法。學(xué)生通過畫圖或文字表征的計(jì)算過程，發(fā)現(xiàn)同分母分?jǐn)?shù)相除等于兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子相除，即理解相同分?jǐn)?shù)單位下的個(gè)數(shù)相除可得到結(jié)果，把分?jǐn)?shù)除法與整數(shù)除法相聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)運(yùn)算的一致性。

【任務(wù)一】學(xué)校舉行科技節(jié)，給各班發(fā)了一些彩帶，用于制作海報(bào)，501 班用了米，502 班用了米，503班用了米。（1）501班用的彩帶是502 班用的彩帶的幾倍？（2）501 班用的彩帶是503班用的彩帶的幾倍？

要求：（1）列式計(jì)算；（2）請(qǐng)通過畫圖或文字表示你的計(jì)算過程和想法。

2.整數(shù)除以分?jǐn)?shù)

“整數(shù)除以分?jǐn)?shù)”依然以“科技節(jié)”為現(xiàn)實(shí)背景，設(shè)計(jì)包含除的任務(wù)。任務(wù)二是整數(shù)除以分?jǐn)?shù)單位，任務(wù)三沒有具體的情境，學(xué)生首先需要理解整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的含義，再用文字或畫圖的方式表征計(jì)算的過程，理解整數(shù)除以分?jǐn)?shù)要把整數(shù)化成和除數(shù)分母相同的分?jǐn)?shù)再相除，把被除數(shù)與除數(shù)的計(jì)數(shù)單位統(tǒng)一，進(jìn)一步感受分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算的本質(zhì)是相同計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的均分，從而更好地體會(huì)數(shù)的運(yùn)算在本質(zhì)上的一致性。

【任務(wù)二】在科技節(jié)的開幕式上，需要先將場(chǎng)地進(jìn)行消毒，工作人員將2 升的消毒液分瓶裝，每升倒?jié)M一瓶，可以倒?jié)M幾瓶？

要求：（1）列式計(jì)算；（2）請(qǐng)通過畫圖或文字表示你的計(jì)算過程和想法。

要求：（1）這個(gè)算式表示什么意思？（2）請(qǐng)通過畫圖或文字表示你的計(jì)算過程和想法。

3.異分母分?jǐn)?shù)的除法

任務(wù)四沒有情境；任務(wù)五則繼續(xù)以“科技節(jié)”為現(xiàn)實(shí)背景，設(shè)計(jì)包含除的任務(wù)——。學(xué)生需要先理解分?jǐn)?shù)除法的含義，借助直觀或文字的形式理解算理，理解分母不同時(shí)可以先通分成同分母的分?jǐn)?shù)再相除，即。計(jì)數(shù)單位不同時(shí)，可以利用通分使被除數(shù)、除數(shù)的計(jì)數(shù)單位一致，這樣就可以直接使用計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相除，促進(jìn)學(xué)生深入理解算理，從而實(shí)現(xiàn)與分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算的統(tǒng)一。

隨著字母的出現(xiàn)，直觀表征難度增加，從而引出形式表征，通過演繹推理得出：分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，就是將除數(shù)的分子、分母顛倒后，再和被除數(shù)相乘，可以用表示。在此過程中，學(xué)生不僅能通過推理感受一個(gè)非零數(shù)除以一個(gè)分?jǐn)?shù)等于乘這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，體會(huì)任意分?jǐn)?shù)除法的算法均可轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法進(jìn)行計(jì)算，而分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算與整數(shù)、小數(shù)乘法運(yùn)算又保持了一致性，還能探究多角度解釋乘倒數(shù)的算法，在溝通通法與其他算法的關(guān)聯(lián)中歸納分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則。

要求：（1）這個(gè)算式表示什么意思？（2）請(qǐng)通過畫圖或文字表示你的計(jì)算過程和想法。

要求：（1）列出算式；（2）請(qǐng)?jiān)囍评沓鲇?jì)算的結(jié)果。

綜上所述，從新課標(biāo)對(duì)學(xué)科知識(shí)的本質(zhì)要求和學(xué)生的思維發(fā)展水平出發(fā)，深入了解課程知識(shí)結(jié)構(gòu)，站在整體、聯(lián)系、發(fā)展的視角研讀教材，打通知識(shí)關(guān)聯(lián)，著力讓零散的知識(shí)建立結(jié)構(gòu)化的聯(lián)系，從而架構(gòu)適切的教學(xué)路徑，將有助于學(xué)生構(gòu)建具有生長力的認(rèn)知體系，形成更好的知識(shí)結(jié)構(gòu)及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法論，從而促進(jìn)其核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展。