階梯需求下具有Weibull分布的易變質(zhì)品庫存決策模型

王文洲，伊俊敏

（廈門理工學(xué)院經(jīng)濟與管理學(xué)院，福建 廈門 361024）

隨著生活水平的提高，人們對肉蛋果蔬等易變質(zhì)品的日常消費不斷增加并提出健康、新鮮的“生鮮”要求。易變質(zhì)生鮮品的庫存管理是零售商面臨的一大挑戰(zhàn)。一方面，易變質(zhì)品在庫存、運輸?shù)拳h(huán)節(jié)常因產(chǎn)品特性發(fā)生質(zhì)量和數(shù)量上的損耗；另一方面，其在實際市場需求中受到諸多不確定性因素的影響。這就要求零售商有效地對產(chǎn)品貨損變質(zhì)進行管控，科學(xué)合理地控制庫存，優(yōu)化庫存策略。

近年來，越來越多的學(xué)者開始關(guān)注易變質(zhì)品的庫存管理。易變質(zhì)品的庫存模型研究最早是由Ghare［1］開展的，他建立了庫存與變質(zhì)率、需求之間的基礎(chǔ)模型。之后的學(xué)者圍繞變質(zhì)率和需求不斷創(chuàng)新，并將其融入基礎(chǔ)模型進行深入的研究。在需求方面，Pallavi等［2］針對允許短缺和部分積壓的易變質(zhì)品的庫存系統(tǒng)，構(gòu)建了需求為常數(shù)的清晰模糊庫存模型。余云龍等［3］在常數(shù)需求率的基礎(chǔ)上進行了創(chuàng)新，在需求呈線性變化的前提下提出不同冷鏈服務(wù)模式下的供應(yīng)鏈庫存決策。隨著市場和環(huán)境的不斷變化，需求的不確定性增大，眾多學(xué)者對易變質(zhì)品的庫存模型研究也從確定性需求轉(zhuǎn)到不確定性需求領(lǐng)域中。王賽等［4］在產(chǎn)品需求呈雙峰型變動和庫存費呈非線性變化兩種情況下分別建立庫存模型，通過求解分析得出最優(yōu)訂貨量；Preety等［5］分析允許短缺條件下具有價格敏感和庫存依賴需求函數(shù)的變質(zhì)物品模糊EOQ（economic order quantity）模型。Hatibaruah等［6］考慮需求依賴于價格、時間和廣告頻率的變質(zhì)產(chǎn)品的生產(chǎn)庫存系統(tǒng)，在系統(tǒng)總成本最小的情況下，求得最優(yōu)的銷售價格、周期以及庫存水平。劉賢亮［7］在需求依賴于產(chǎn)品價格和新鮮度的前提下，建立庫存系統(tǒng)模型，通過數(shù)值算例驗證模型有效性；隨著當(dāng)前外部環(huán)境不確定性增大，需求突變的情況也時有發(fā)生，蘇珂等［8］在最初的模型基礎(chǔ)上提出一種假定需求為波動需求的庫存定價模型，但并沒有對突變需求進行定量研究。

生鮮產(chǎn)品的特點是易腐，而變質(zhì)率是衡量易腐的關(guān)鍵指標，在構(gòu)建易變質(zhì)品的庫存模型時就必須考慮變質(zhì)率這一因素，以便提出更符合實際的庫存策略。Soni等［9］的EOQ 模型中，在變質(zhì)率為常數(shù)的前提下結(jié)合模糊需求來研究模糊學(xué)習(xí)的效果，利用微積分法推導(dǎo)出模糊目標函數(shù)的最優(yōu)補充次數(shù)和訂貨數(shù)量。Sindhuja 等［10］提出考慮線性需求及成本短缺的經(jīng)濟訂貨批量模型，其中變質(zhì)率假設(shè)為線性需求的帕累托分布。之后，研究者將工程產(chǎn)品壽命的概念引入到食品領(lǐng)域中，用Weibull 分布來描述食品的變質(zhì)特性。Ajoy 等［11］以變質(zhì)率服從Weibull 分布構(gòu)建庫存模型，以總成本最小為目標，得到最優(yōu)的銷售價格、周期以及最大正庫存水平。徐賢浩等［12］在同時考慮延遲支付和易逝品的變質(zhì)均與產(chǎn)品定價相關(guān)聯(lián)的情況下，通過構(gòu)建庫存模型對易逝品的最優(yōu)訂貨決策進行了研究。從最初的常數(shù)變質(zhì)率到二參數(shù)Weibull分布的變質(zhì)率，再到變質(zhì)率為時間的復(fù)雜函數(shù)［13］，對于變質(zhì)率的研究已經(jīng)開始考慮多方面的影響因素。隨著冷鏈保鮮技術(shù)的不斷發(fā)展，變質(zhì)率的可控性得到人們的關(guān)注，但當(dāng)前很少把保鮮技術(shù)引入到庫存模型中。

綜上所述，對易變質(zhì)品的庫存模型的研究從確定性需求到服從一定分布函數(shù)的隨機需求，逐漸向?qū)嶋H需求特征靠近。我國城市實際生活中，需求量在一個星期內(nèi)會出現(xiàn)階梯式突增的現(xiàn)象，這種階梯需求具有量大而集中、幅度不確定和動態(tài)變化等特征?，F(xiàn)有研究中雖然考慮到戰(zhàn)略客戶需求暴增的相關(guān)問題［14］，但尚未考慮在階梯需求下易變質(zhì)品的庫存模型，也沒有合適的需求模型進行定量研究。此外，冷鏈技術(shù)的使用為易變質(zhì)品提供了新的研究方向，在實際生活中企業(yè)采用冷鏈等技術(shù)控制易變質(zhì)品的變質(zhì)率。綜上，本研究引進保鮮技術(shù)來控制變質(zhì)率，在階梯需求下，提出變質(zhì)率服從二參數(shù)Weibull 分布的易變質(zhì)品的庫存模型，通過對模型的求解和分析，得到最優(yōu)訂貨量及最優(yōu)保鮮投資水平，以期更好地為零售商提出庫存管理策略，從而提高零售經(jīng)營利潤。

一、具有階梯需求及變質(zhì)率分布特征的庫存問題描述

通過對相關(guān)生鮮企業(yè)的實地調(diào)研中了解到，不少消費者會選擇在產(chǎn)品降價處理的時機購買；也有不少消費者集中在周末或者節(jié)假期進行集中采購。這兩種情況都可能導(dǎo)致消費者的需求在某一段時間內(nèi)突然大增，維持一段時間后就會急劇下降，這就是階梯式需求，需要零售商提前準備庫存和及時調(diào)整訂購數(shù)量。階梯需求的變化曲線如圖1所示。

圖1 階梯需求曲線Fig.1 Ladder demand curve

階梯需求函數(shù)為

式（1）中：a 表示階梯波動前的需求；b 表示階梯波動時的需求，a，b都為整數(shù)。

在實際情況中，生鮮產(chǎn)品只要暴露在環(huán)境中就會發(fā)生變質(zhì)，因此本文選擇二參數(shù)Weibull分布［15］引入到變質(zhì)率的描述中，構(gòu)建更貼合實際的庫存模型。其中，二參數(shù)Weibull分布對時間的概率密度函數(shù)為

累積分布函數(shù)表達為

因此，二參數(shù)Weibull分布表示為

式（2）、（3）、（4）中：θ（t）為產(chǎn)品隨時間變化的變質(zhì)趨勢，即瞬時變質(zhì)率；α、β分別為Weibull分布中的流動環(huán)境因子和存儲環(huán)境因子。θ（t）在不同β因子下的變化趨勢［16］如圖2所示。

圖2 不同β因子下的θ(t)變化趨勢Fig.2 Change trend of θ(t) under different β factors

通過對θ（t）的函數(shù)表達式分析可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)α=0時，θ（t）=0，產(chǎn)品不會發(fā)生變質(zhì)；當(dāng)α＞0 時，產(chǎn)品會發(fā)生變質(zhì)。相對于存儲環(huán)境因子β 來說，不同取值使θ（t）呈現(xiàn)不同的趨勢，當(dāng)β=1 時，產(chǎn)品的變質(zhì)率為常數(shù)。Weibull 分布的2 個參數(shù)在不同取值范圍內(nèi)，變質(zhì)率會呈現(xiàn)出不同的變化曲線。

由于Weibull 分布相較于常數(shù)或線性變質(zhì)率能更好地表達產(chǎn)品的變質(zhì)情況，此外還考慮到生鮮產(chǎn)品在實際生活中隨著時間延長產(chǎn)品變質(zhì)速率加快的情況，所以本文假設(shè)Weibull 分布的參數(shù)取值范圍為0＜α＜0.1，β＞2。

隨著冷鏈技術(shù)的快速發(fā)展，零售商可以通過冷鏈技術(shù)來影響產(chǎn)品變質(zhì)率的大小。假設(shè)生鮮產(chǎn)品在常溫下的變質(zhì)率為θ（t），隨著時間越長產(chǎn)品的變質(zhì)率也會越強，在考慮接受冷鏈服務(wù)時，生鮮產(chǎn)品的變質(zhì)率將變?yōu)椋?-m）θ（t），m 為保鮮投資水平，m∈（0，1）。當(dāng)引入冷鏈后，冷鏈服務(wù)成本為λm2/2，λ 為冷鏈服務(wù)成本因子，且為正整數(shù)。保鮮技術(shù)一方面可以降低生鮮產(chǎn)品的變質(zhì)率，但另一方面也會因投資保鮮技術(shù)而增加總成本的支出，這就需要零售商綜合保鮮技術(shù)對總成本的影響。

二、庫存決策模型的構(gòu)建

現(xiàn)實生活中，新鮮肉蛋、果蔬等食品從生產(chǎn)到銷售這一整段時間內(nèi)，其新鮮度會隨著時間的變化而降低，直至腐爛變質(zhì)。在通過實地調(diào)研，了解到當(dāng)前零售商極少存在缺貨情況，因此構(gòu)建庫存模型時，假設(shè)模型不允許缺貨且不考慮補貨提前期。選擇一種類型的易變質(zhì)產(chǎn)品作為代表，結(jié)合問題描述中階梯需求和二參數(shù)的Weibull分布變質(zhì)率來構(gòu)建模型。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)文獻［7］的內(nèi)容，假設(shè)模型不考慮易變質(zhì)品的處理成本。原因是易變質(zhì)生鮮品發(fā)生變質(zhì)不能銷售后通常當(dāng)垃圾處理，相對于其他成本來說處理成本較小，可忽略不計。在以上的前提條件下開始構(gòu)建庫存模型。參數(shù)符號及定義如表1所示。

表1 參數(shù)符號及定義Table 1 Parameter symbols and definitions

期初，零售商采用及時補貨策略使得庫存達到最高水平，此時的庫存水平為Q。在不考慮安全庫存的訂貨周期內(nèi)，由于市場的需求以及在冷鏈技術(shù)投入下產(chǎn)品的變質(zhì)導(dǎo)致庫存水平連續(xù)下降，特別地，在t1時間后庫存下降更快，最終在t2時庫存水平下降為0。產(chǎn)品庫存水平的變化如圖3所示。

圖3 庫存水平變化Fig.3 Inventory level changes

在（0，t1）時期內(nèi)，庫存水平在需求a 以及保鮮技術(shù)投資下的變質(zhì)率的共同影響下連續(xù)下降，此階段的庫存水平記為I1（t）。同理，在（t1， t2）時期內(nèi)，需求為b，此階段的庫存水平記為I2（t）。根據(jù)文獻［1］建立庫存與變質(zhì)率、需求之間的基礎(chǔ)模型，即dI（t）/dt+θ（t）I（t）=-D（t）。庫存水平I（t）的變化可以用下面的微分方程來表示：

因為在t2時刻庫存降為0，邊界條件滿足I（0）=Q，I（t2）=0，在求解過程中，涉及到指數(shù)項以及冪指數(shù)項時，本文采用二級泰勒級數(shù)展開進行近似處理。求解上述微分方程可得：

因為邊界條件I（t2）=0，所以可以求得I2（t）的表達式為

當(dāng)t1≤t≤t2時，庫存水平滿足I1（t1）= I2（t1），求解得：

由邊界條件I（0）=Q，可得一個補貨周期內(nèi)系統(tǒng)的總的訂貨量為

一個周期內(nèi)總成本的各個要素分別可以表示為

1）訂購成本：Cs=S。

2）保鮮成本：Cm=λm2/2。

3）庫存持有成本Ch：

4）變質(zhì)成本Cr：

所以，一個周期內(nèi)的總成本可表示為

三、庫存最優(yōu)解分析

（一）最優(yōu)解存在性及唯一性證明

結(jié)合0＜m＜1以及其他參數(shù)的取值，可得：

命題1 如果

證明：將C(m)對m進行求導(dǎo)?？傻茫?/p>

（二）數(shù)值計算及靈敏度分析

通過Matlab及具體數(shù)值來求解庫存系統(tǒng)的最優(yōu)策略，并對模型中的主要參數(shù)進行靈敏度分析。考慮一個庫存系統(tǒng)，系統(tǒng)中的各個參數(shù)的取值通過調(diào)研并結(jié)合文獻［3］、文獻［17］分別設(shè)置如下：a=400，b=600，α=0.01，β=3，t1=5/7，t2=1，h=8，r=1，S=150，λ=15。經(jīng)驗證，參數(shù)的取值滿足上述模型成立的充分條件，即通過求解可以得到：保鮮投資水平m*=0.540 6，最優(yōu)訂貨量為Q*=457.772，一個周期內(nèi)最低成本C*=2 147.8。

零售商的最優(yōu)補貨策略是由模型中的參數(shù)決定的，在實際生活中，部分參數(shù)會隨著外部情況的變化而變化，也會使得訂貨策略隨之發(fā)生改變。本文在上述計算分析的基礎(chǔ)上，通過改變相關(guān)參數(shù)的值來進行靈敏度分析，可以更直觀地看出參數(shù)的變化對訂貨策略的影響，進而更好地為企業(yè)節(jié)約成本。表2為變質(zhì)率參數(shù)變化對最優(yōu)訂貨策略的影響。其中Δm*、ΔQ*、ΔC*分別表示各相關(guān)參數(shù)變化引起對應(yīng)參數(shù)的最優(yōu)解變化百分比。

表2 變質(zhì)率參數(shù)變化對最優(yōu)訂貨策略的影響Table 2 Influence of deterioration rate change on optimal ordering strategy

由表2 可知，當(dāng)流動環(huán)境因子α 和存儲環(huán)境因子β 增加時，最優(yōu)訂貨策略波動較大，最優(yōu)解對流動環(huán)境因子的敏感性要大于存儲環(huán)境因子。當(dāng)α 增加時，保鮮投資水平上升，總成本上升；當(dāng)β增加時，保鮮投資水平下降，總成本降低。易變質(zhì)品在銷售時流動環(huán)節(jié)越少、越快，造成的損壞就會越輕，變質(zhì)率也越低，從而可以減少保鮮投資水平，進而降低成本。存儲環(huán)境因子的變化是通過對倉儲的溫度、濕度等作用來降低變質(zhì)率。因此，適當(dāng)調(diào)節(jié)倉儲的溫度、濕度等因素，降低存儲因子，變質(zhì)率也會隨之變小。當(dāng)變質(zhì)率降低時，保鮮投資水平就會下降，庫存系統(tǒng)的成本也隨之降低。

表3 為單位持有成本變化對最優(yōu)訂貨策略的影響。由表3 可知，單位持有成本h 增加，最優(yōu)訂貨量減少，最優(yōu)保鮮投資水平和總成本增加。當(dāng)庫存成本持續(xù)增加時，零售商通過減少最優(yōu)訂貨量來減少庫存持有成本；此外，通過提高保鮮投資水平，可以更好地保證在固定周期內(nèi)產(chǎn)品的新鮮度，同時可以減少訂貨量，減少持有成本增加帶來的損失。

表3 單位持有成本變化對最優(yōu)訂貨策略的影響Table 3 Influence of change of holding cost per unit on optimal ordering strategy

單位變質(zhì)成本變化對最優(yōu)訂貨策略的影響如表4 所示。由表4 可知，單位變質(zhì)成本r 增加，最優(yōu)訂貨量減少，最優(yōu)保鮮投資水平和總成本增加。變質(zhì)成本增加，零售商就會增大保鮮投資水平來減少變質(zhì)，此外還會通過減少訂貨量來減少變質(zhì)損失。

表4 單位變質(zhì)成本變化對最優(yōu)訂貨策略的影響Table 4 Influence of change of deterioration cost per unit on optimal ordering strategy

保鮮投資成本因子變化對最優(yōu)訂貨策略的影響如表5 所示。由表5 可知，保鮮投資成本因子λ 增加時，保鮮成本增加，最優(yōu)保鮮投資水平下降，最優(yōu)訂貨量和總成本增加。

表5 保鮮投資成本因子變化對最優(yōu)訂貨策略的影響Table 5 Influence of fresh-keeping cost change on the optimal ordering strategy

總之，當(dāng)需求量發(fā)生階梯式變化時，有兩種變化情況。表6為市場需求變化對最優(yōu)訂貨策略的影響。由表6 可知，當(dāng)階梯變化在a 值以上時，隨著b 值的不斷增大，最優(yōu)保鮮投資水平、最優(yōu)訂貨量和總成本都在增大，即當(dāng)市場需求量突增時（例如周末、節(jié)假日城市生活區(qū)的生鮮店水果店），零售商為滿足消費者需求以及提高利潤會增加訂貨量，相應(yīng)的最優(yōu)保鮮投資水平也會增加，在兩者的共同作用下總成本也會增大。當(dāng)階梯變化在a 值以下時，隨著b 值不斷降低，最優(yōu)保鮮投資水平、最優(yōu)訂貨量和總成本都在減少，即當(dāng)市場需求突減時（例如周末、節(jié)假日寫字樓區(qū)域的水果店），為了減少運營成本，零售商會減少訂貨量和保鮮投資水平，在滿足市場需求的前提下，減少不必要的成本。當(dāng)b值出現(xiàn)階梯變化時，階梯高度差越大，最優(yōu)保鮮投資水平以及總成本越敏感，所以零售商應(yīng)較精確的把控市場需求，避免造成成本過大，降低利潤。

四、結(jié)語

本文構(gòu)建一個易變質(zhì)品的庫存訂貨與保鮮投資水平的聯(lián)合決策模型。其中，需求滿足階梯變化分布，變質(zhì)率服從二參數(shù)Weibull 分布，庫存系統(tǒng)不允許缺貨。同時，考慮產(chǎn)品的變質(zhì)成本、保鮮投資成本，以總成本最小化為目標，構(gòu)建相應(yīng)的庫存模型。通過對所建模型的分析和數(shù)值求解，得到了庫存系統(tǒng)的最優(yōu)庫存策略。通過計算以及對相關(guān)的參數(shù)進行靈敏度分析，可以得到以下結(jié)論：受Weibull 分布影響的變質(zhì)率對最優(yōu)訂貨策略波動較大，最優(yōu)解對流動環(huán)境因子的敏感性要大于存儲環(huán)境因子。在流動環(huán)境因子增加時，保鮮投資水平及總成本同步上升；在存儲環(huán)境因子增加時，保鮮投資水平和總成本都降低。相較于其他成本，總成本和最優(yōu)解的變化對單位持有成本更敏感；當(dāng)需求發(fā)生階梯突變時，階梯變化幅度對最優(yōu)庫存策略越敏感。

結(jié)合實際情況展開上述結(jié)論，可以為零售商提出以下庫存管理啟示：第一，庫存持有成本增大時，零售商要減少訂貨量，同時降低保鮮投資水平。盡可能地采取倉儲技術(shù)手段來減少庫存持有成本，如在存貨較多時盡快通過價格折扣、打包銷售等促銷措施來減少庫存。此外，引入RFID 技術(shù)，隨時對庫存量進行監(jiān)控，并及時反饋庫存溫度，降低保鮮投資成本。第二，零售商在面對需求突變時要有預(yù)案，并及時采取應(yīng)對措施，如及時進行庫存的收儲和清理：需求正突變時，零售商可以提前進行備貨，增加存儲面積和前置銷售面積，并可以采取聯(lián)合庫存管理策略，及時租用或與第三方進行協(xié)調(diào)，對貨物進行收儲以便需要時能迅速滿足消費者的需求；需求負突變時，零售商可以采取“少訂多次”的方式減少庫存，以及提前通過促銷活動降低庫存滯貨。第三，減少冷鏈易變質(zhì)品在銷售期間的人為損壞程度和不必要的移貨，必要時設(shè)置一定的導(dǎo)購人員進行產(chǎn)品講解和監(jiān)管。此外，零售商可以采用先進的儲存及包裝設(shè)備并加強監(jiān)管，如冷鏈、一次性保鮮膜、一貫制包裝等，既可以增加保質(zhì)期，也可以更好防止在消費過程的人為損害。

本文構(gòu)建的模型以及對企業(yè)庫存管理的建議適用于具有一定生命周期的生鮮產(chǎn)品，這些產(chǎn)品的銷售會受到需求和變質(zhì)率的雙重影響。此外，本研究也可以從其他角度再進行拓展，如考慮訂貨提前期、允許缺貨、產(chǎn)品非立即變質(zhì)或者需求會受到定價或庫存水平影響等情況。