報(bào)童問題訂購(gòu)費(fèi)對(duì)最優(yōu)訂貨量的影響

□ 毛克寧

(廣東理工學(xué)院 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,廣東 肇慶 526070)

1 引言

報(bào)童問題既有尋求期望“總損失”或期望經(jīng)濟(jì)成本最小化的提法，又有尋求期望“盈利”或期望利潤(rùn)最大化的提法，這皆為經(jīng)濟(jì)管理中經(jīng)常要面對(duì)的問題,如在零售商的訂貨量決策、生產(chǎn)單位的產(chǎn)出量決策[1]中都會(huì)遇到。因此，報(bào)童問題對(duì)于經(jīng)濟(jì)管理的理論與實(shí)踐都有重要意義，學(xué)者們對(duì)此從不同視角展開了廣泛而深入的研究。不少關(guān)于報(bào)童問題的闡述或研究不涉及訂購(gòu)費(fèi)[2-4]，而客觀上，報(bào)童問題訂購(gòu)費(fèi)是有可能對(duì)訂貨量決策產(chǎn)生影響的，這正是本文所要闡述的主題內(nèi)容，并將經(jīng)過創(chuàng)新性地嚴(yán)謹(jǐn)分析論證給出明確的結(jié)果。在存儲(chǔ)理論中，訂購(gòu)費(fèi)的多少與訂貨的批量無關(guān)，而與訂購(gòu)的次數(shù)有關(guān)；訂購(gòu)費(fèi)不同于進(jìn)貨費(fèi)，后者不僅包含前者還包含所購(gòu)訂貨物本身的價(jià)值等[2]。有的文獻(xiàn)所述的訂購(gòu)成本或訂購(gòu)費(fèi)用實(shí)際上相當(dāng)于企業(yè)購(gòu)進(jìn)貨物的費(fèi)用而不同于存儲(chǔ)理論中所定義的訂購(gòu)費(fèi)[5-6]；有的文獻(xiàn)明確給出了一次性訂購(gòu)費(fèi)為恒定常數(shù)的報(bào)童模型，得出的模型最優(yōu)解與訂購(gòu)費(fèi)無關(guān)，即訂購(gòu)費(fèi)金額對(duì)最優(yōu)訂貨量無影響[7]。為使報(bào)童問題更具一般性，可以加入固定成本(如設(shè)備折舊、租金、利息等)[8-9]，若將單周期的訂貨費(fèi)作為一筆與訂貨量無關(guān)的固定費(fèi)用，則可將訂購(gòu)費(fèi)納入到固定成本中，或?qū)烧吆喜⑵饋硇纬蓡沃芷谛碌墓潭ǔ杀?。?bào)童問題的研究可能涉及更為復(fù)雜的情形，如商品零售價(jià)格為隨機(jī)變量的模型等[10]。本文所涉及的報(bào)童模型的零售價(jià)格既定，這與傳統(tǒng)的存儲(chǔ)模型相同，并且本文的訂購(gòu)費(fèi)金額也是既定的?；跁?huì)計(jì)利潤(rùn)與經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)的不同含義和經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)在經(jīng)濟(jì)管理中的重要性，本文分別建立涉及訂購(gòu)費(fèi)的期望會(huì)計(jì)利潤(rùn)模型和期望經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)模型，分不同情形就報(bào)童問題的訂購(gòu)費(fèi)對(duì)最優(yōu)訂貨量的影響進(jìn)行分析，得出明確的決策方法和量化結(jié)論。

2 問題描述與假設(shè)

需說明的是，有的文獻(xiàn)[8]給出的報(bào)童問題的離散型隨機(jī)需求量r可能取值的個(gè)數(shù)為n≥3，根據(jù)其推導(dǎo)過程可知，最優(yōu)訂貨量關(guān)系式對(duì)于n=2依然成立，故本文將r可能取值的個(gè)數(shù)設(shè)為n≥2。

3 訂購(gòu)費(fèi)恒定的期望利潤(rùn)

這里的E(r)為隨機(jī)需求量r的期望(下同)。

(1)

(2)

式(1)的證明與參考文獻(xiàn)[8]中式“(2)”的推導(dǎo)同理并相似。

4 若不訂貨則不產(chǎn)生訂購(gòu)費(fèi)用的期望利潤(rùn)

若商業(yè)企業(yè)在周期T不訂購(gòu)貨品，則不發(fā)生訂購(gòu)費(fèi)用(如企業(yè)在先決定了不訂貨的情況下有可能不發(fā)生訂貨費(fèi)用)；但若商業(yè)企業(yè)訂購(gòu)貨品，則無論貨品數(shù)量為多少都發(fā)生金額為K0的訂購(gòu)費(fèi)用。將該情形下訂貨量為Q的期望會(huì)計(jì)利潤(rùn)和期望經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)分別記為ω(Q)和ωE(Q)，則

現(xiàn)在分析推導(dǎo)訂購(gòu)費(fèi)金額K0(>0)對(duì)ω(Q)和ωE(Q)最大化訂貨量的影響：

對(duì)于r1=0，由“3”中式(1)求出期望會(huì)計(jì)利潤(rùn)ω0(Q)最大化訂貨量rAm(0=r1≤rAm≤rn)，于是ω0(rAm)≥ω0(rj)(j=1,2,…,n)。若rAm>0(=r1)，由于當(dāng)Q>0時(shí)ω(Q)=ω0(Q)，則ω(rAm)=ω0(rAm)≥ω0(rj)=ω(rj)(j=2,…,n)，即ω(rAm)≥ω(rj)(j=2,…,n)，進(jìn)而ω(0)與ω(rAm)中較大者對(duì)應(yīng)的Q值(0或rAm)就是期望會(huì)計(jì)利潤(rùn)ω(Q)(Q∈{rj|1≤j≤n,r1=0})最大化的訂貨量；若ω(0)=ω(rAm)，則Q=0與Q=rAm都是ω(Q)最大化的訂貨量。

在rAm>0(=r1)的情況下，令ω1(Q)=ω0(Q)+Cf+K0，可知ω1(Q)不含Cf與K0兩項(xiàng)。因?yàn)棣?rAm)=ω0(rAm)=ω1(rAm)-Cf-K0，并且ω(0)=-Cf，所以ω(rAm)≥ω(0)的充分必要條件為ω1(rAm)≥K0；ω(rAm)<ω(0)的充分必要條件為ω1(rAm)0且ω1(rAm)>0時(shí)，訂購(gòu)費(fèi)金額K0對(duì)最優(yōu)訂貨量(0或rAm)有影響：若ω1(rAm)>K0則最優(yōu)訂貨量為Q=rAm，若ω1(rAm)=K0則最優(yōu)訂貨量為Q=rAm或Q=0，若0<ω1(rAm)0且ω1(rAm)≤0時(shí)，訂購(gòu)費(fèi)金額K0對(duì)最優(yōu)訂貨量Q=0無影響，因?yàn)榇藭r(shí)必有ω1(rAm)

若rAm=0(=r1)，則ω(0)=-Cf>Cf-K0=ω0(0)≥ω0(rj)=ω(rj)(j=2,…,n)對(duì)于正數(shù)K0取任何值都成立。故訂購(gòu)費(fèi)金額K0對(duì)最優(yōu)訂貨量Q=0無影響。

5 結(jié)語

本文以商業(yè)企業(yè)在單周期“無論是否購(gòu)訂都發(fā)生訂購(gòu)費(fèi)用”這一情形下期望會(huì)計(jì)利潤(rùn)最大化的訂貨量關(guān)系式和期望經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)最大化的訂貨量關(guān)系式為基礎(chǔ)，著重給出了商業(yè)企業(yè)在單周期“若不購(gòu)訂則不發(fā)生訂購(gòu)費(fèi)用，但若商業(yè)企業(yè)購(gòu)訂貨品則無論訂購(gòu)量為多少都發(fā)生固定訂購(gòu)費(fèi)用”這一情形下的最優(yōu)訂貨量決策方法和量化結(jié)果，明確了在各種情況下訂購(gòu)費(fèi)金額對(duì)于兩類期望利潤(rùn)最大化訂貨量的影響。此外，隨機(jī)需求量各可能取值的相應(yīng)概率可能隨商品銷售價(jià)格的變動(dòng)發(fā)生變動(dòng)，這對(duì)于決策者是重要的，在進(jìn)行訂貨量決策時(shí)要特別注意。本文的研究結(jié)果對(duì)豐富存儲(chǔ)理論或?qū)Υ鎯?chǔ)理論的進(jìn)一步完善有正向作用。