基于預(yù)期的報(bào)童問題研究

文 平，龐慶華

(1.常州工學(xué)院數(shù)理化工學(xué)院，江蘇 常州 213022； 2.河海大學(xué)企業(yè)管理學(xué)院，江蘇 常州 213022)

1 引言

一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的隨機(jī)存貨管理模型是單階段報(bào)童問題。自從Arrow等[1]開始關(guān)注該問題之時(shí)，報(bào)童問題得到了來自各領(lǐng)域?qū)W者的廣泛研究。與之同名的故事是這樣講的，早晨報(bào)童必須決定從報(bào)社訂多少報(bào)紙。他所遇到的難題是他并不知道有多少顧客要買他的報(bào)紙，假如他訂的報(bào)紙?zhí)啵麑⒂锌赡芤驗(yàn)閳?bào)紙賣不出去而遭受損失，假如他訂的太少，也有可能失去獲得額外利潤(rùn)的機(jī)會(huì)。這種經(jīng)典的單階段存貯問題被稱為報(bào)童問題。報(bào)童問題在企業(yè)管理中經(jīng)常會(huì)碰見，商業(yè)企業(yè)的訂貨量問題，生產(chǎn)企業(yè)的產(chǎn)出量問題都可歸結(jié)為與報(bào)童問題，因此對(duì)報(bào)童問題的研究非常重要[2-3]。

經(jīng)典的報(bào)童模型是建立在風(fēng)險(xiǎn)中性的假設(shè)基礎(chǔ)之上的，認(rèn)為報(bào)童會(huì)選擇一個(gè)使期望利潤(rùn)達(dá)到最大的訂貨量。然而，實(shí)證表明實(shí)際訂貨量往往偏離經(jīng)典報(bào)童模型的最優(yōu)訂貨量，而且，大部分實(shí)證結(jié)果還表明報(bào)童傾向于訂購(gòu)比經(jīng)典報(bào)童模型的最優(yōu)訂貨量少的貨物。為了解釋這種現(xiàn)象，學(xué)者們從不同角度對(duì)報(bào)童問題進(jìn)行了研究。Eeckhoudt和Gollier[4]在期望效用理論框架下討論了風(fēng)險(xiǎn)厭惡的報(bào)童的訂貨量，并對(duì)影響訂貨量的各個(gè)因素進(jìn)行了比較靜態(tài)分析，Arikan和Fichtinger[5]也做了類似研究工作。文平[6]則在Kahneman與Tversky[7-9]提出的預(yù)期理論(Prospect Theory)框架下對(duì)報(bào)童問題進(jìn)行了討論，他的研究表明訂貨量不僅與價(jià)格等因素有關(guān)還與報(bào)童的損失厭惡程度有關(guān)，并且損失厭惡使得訂貨量比經(jīng)典報(bào)童模型的訂貨量少。Gotoh和Takano[10]利用條件在值風(fēng)險(xiǎn)討論了報(bào)童問題。Wang等[11-12]同樣將損失厭惡運(yùn)用于報(bào)童問題模型中，他發(fā)現(xiàn)假如短缺成本不被忽略，損失厭惡的報(bào)童的訂貨量要比經(jīng)典的報(bào)童的訂貨量要多。類似的，曹兵兵等[13]針對(duì)溫度敏感型的產(chǎn)品研究發(fā)現(xiàn)，考慮損失厭惡的報(bào)童的訂貨量往往高于經(jīng)典報(bào)童中該產(chǎn)品的訂購(gòu)量。不過Wang和曹兵兵用的效用函數(shù)與文平所用的效用函數(shù)不同，自然所得研究結(jié)果也不相同。Fabian[14]假設(shè)報(bào)童是基于預(yù)期的損失厭惡的人，他認(rèn)為報(bào)童的參照點(diǎn)是以往的利潤(rùn)數(shù)據(jù)，在這些假設(shè)下，他推出報(bào)童的訂貨量要比經(jīng)典報(bào)童模型的訂貨量少。Xu Xinsheng等[15]研究發(fā)現(xiàn)在CVaR環(huán)境下，損失厭惡的報(bào)童的訂貨量可能高于也可能低于經(jīng)典報(bào)童的訂貨量。Vipin和Amit[16]研究發(fā)現(xiàn)損失厭惡可以顯著改善效用函數(shù)模型在預(yù)測(cè)合理行為方面的性能。此外，劉作義和查勇[17]，劉詠梅等[18]，張艷霞等[19]也在預(yù)期理論框架下對(duì)報(bào)童問題進(jìn)行了較深入的討論,周艷菊等[20]則用預(yù)期理論研究了兩產(chǎn)品報(bào)童問題。

2006年，Koszegi與Rabin[21-22]提出了參照依賴偏好理論，這是對(duì)決策理論的進(jìn)一步發(fā)展。從前的經(jīng)濟(jì)、管理模型絕大部分是在期望效用理論框架下構(gòu)建的。自預(yù)期理論建立以來，部分經(jīng)濟(jì)、管理問題則轉(zhuǎn)而用該理論進(jìn)行討論，報(bào)童問題也不例外。正如前文所述，報(bào)童問題的討論也經(jīng)過了上述過程。Koszegi與Rabin[21-22]的參照依賴偏好理論被提出后，已經(jīng)開始被用于一些經(jīng)濟(jì)、管理問題的研究中，并且得到了一些比較好的結(jié)果。本文就準(zhǔn)備改變了以往的研究模式轉(zhuǎn)而用Koszegi與Rabin[21-22]的參照依賴偏好理論對(duì)報(bào)童問題進(jìn)行研究。研究主要集中在下面幾個(gè)方面，一是求得報(bào)童問題的最優(yōu)訂貨量；二是討論報(bào)童問題解的性質(zhì)；三是對(duì)涉及報(bào)童訂貨量的諸要素的進(jìn)行必要的比較靜態(tài)分析。

2 參照依賴偏好理論

對(duì)于無風(fēng)險(xiǎn)收入x與參照點(diǎn)r，Koszegi與Rabin[21-22]給出的效用函數(shù)為：u(x)=m(x)+μ(m(x)-m(r))。他們稱m(x)為內(nèi)在的消費(fèi)效用函數(shù)，稱μ(m(x)-m(r))為參照依賴的獲得-損失效用。顯然，如果收入低于參照點(diǎn)，獲得-損失效用為負(fù)效用，收入高于參照點(diǎn)的獲得-損失效用才為正效用。Koszegi與Rabin[21-22]進(jìn)一步將參照依賴的效用擴(kuò)展至隨機(jī)情形。

設(shè)X表示隨機(jī)收益，其分布函數(shù)為F(x)，又設(shè)Y為隨機(jī)參照點(diǎn)，其分布函數(shù)為G(y)，Koszegi與Rabin[21-22]給出的參照依賴的效用定義如下。

U(X|Y)=?u(x|y)dG(y)dF(x)

(1)

這里，u(x|y)=m(x)+μ(m(x)-m(y))，其中，m(x)為連續(xù)可導(dǎo)且單調(diào)遞增的消費(fèi)效用函數(shù)，μ(x)為獲得-損失效用函數(shù)。μ(x)滿足下列特點(diǎn)。

A0.μ(x)為二階可導(dǎo)的連續(xù)函數(shù)且μ(0)=0;

A1.μ(x)為嚴(yán)格單調(diào)遞增的;

A2.若y>x>0，則μ(y)+μ(-y)<μ(x)+μ(-x);

A3.當(dāng)x>0時(shí)，μ″(x)≤0；當(dāng)x<0時(shí)，μ″(x)≥0;

根據(jù)Koszegi和Rabin[21-22]有關(guān)論述，為討論問題方便起見，可以做幾個(gè)假設(shè)。首先，m(x)可以被看作是線性的，即m(x)=x；第二，可以用一個(gè)分段線性函數(shù)來描述獲得-損失效用函數(shù)，即:

(2)

這里，λ與η為非負(fù)常數(shù)。參數(shù)λ表示損失厭惡程度，它控制著決策者關(guān)于損失和獲得的態(tài)度。如果λ等于1，決策者是損失中性的；如果λ大于1，決策者是損失厭惡的；如果λ小于1，決策者是損失偏好的。η表示獲得-損失效用在決策中的重要性，它越大獲得-損失效用在決策中起的作用越大，反之，消費(fèi)效用在決策中起的作用越大。

3 報(bào)童模型

3.1 經(jīng)典報(bào)童問題的最優(yōu)解

在報(bào)童問題中，報(bào)童必須在面對(duì)隨機(jī)需求的前提下選擇一個(gè)訂貨量q。設(shè)X為某一階段的隨機(jī)需求，其分布函數(shù)為F(x)，其概率密度函數(shù)為f(x)。隨機(jī)需求X為一非負(fù)的隨機(jī)變量，它定義在區(qū)間I=[a,b]上，這里0≤ac>s。如果用g表示利潤(rùn)，則:

g(q,X)=(p-s)min(q,X)-(c-s)q

(3)

分析該問題的傳統(tǒng)方法假設(shè)報(bào)童是風(fēng)險(xiǎn)中性以及損失中性的決策者，報(bào)童以最大化預(yù)期利潤(rùn)為目標(biāo)，報(bào)童的期望利潤(rùn)為:

(4)

預(yù)期利潤(rùn)對(duì)q求導(dǎo)并讓該導(dǎo)數(shù)等于零，從而有：

(p-s)F(q)=p-c

(5)

故最優(yōu)訂貨量q*為：

(6)

這就是經(jīng)典報(bào)童問題的最優(yōu)解。

3.2 基于預(yù)期的報(bào)童模型

根據(jù)Koszegi與Rabin[21-22]的參照依賴偏好理論，報(bào)童總的效用由兩部分組成：內(nèi)在的消費(fèi)效用和獲得-損失效用。內(nèi)在的消費(fèi)效用等于報(bào)童的期望利潤(rùn)，獲得-損失效用通過利潤(rùn)與參照點(diǎn)的比較得到。Koszegi與Rabin[21-22]認(rèn)為報(bào)童的參照點(diǎn)由報(bào)童關(guān)于利潤(rùn)的理性預(yù)期決定，也就是說可以選取報(bào)童的利潤(rùn)本身作為報(bào)童的參照點(diǎn)，Abeler[24]與Ericson和Fuster[25]支持了理性預(yù)期作為參照點(diǎn)的觀點(diǎn)。這時(shí)，報(bào)童的效用用Koszegi與Rabin[21-22]的表示方法可以表示為U(g|g)。為討論參照依賴的效用為U(g|g)的具體形式，先介紹一個(gè)定義和一個(gè)引理，該引理及其證明詳見Koszegi與Rabin[21]。

定義1 設(shè)X的分布函數(shù)為F(x)，X到自身的距離S(X)為：

S(X)=?|x-y|dF(x)dF(y)

引理1 假設(shè)消費(fèi)效用函數(shù)m(x)為線性函數(shù)，獲得-損失效用函數(shù)μ(x)為分段線性函數(shù)，其函數(shù)形式如(2)式所示。則對(duì)于任意收益X，它的參照依賴的效用為：

(7)

在消費(fèi)效用函數(shù)為線性函數(shù)以及獲得-損失效用函數(shù)為分段線性函數(shù)假設(shè)下，根據(jù)引理1，報(bào)童關(guān)于利潤(rùn)的參照依賴的效用為：

(8)

其中，利潤(rùn)g的形式如(3)式所示。這時(shí)，

為求得參照依賴的效用最大值，U(g|g)對(duì)q求一階導(dǎo)數(shù)得到：

U′(g|g)=(p-c)-(p-s)F(q)-η(λ-1)(p-s)F(q)(1-F(q))

(9)

令一階導(dǎo)數(shù)為零得到：

(p-c)-(p-s)F(q)-η(λ-1)(p-s)F(q)(1-F(q))=0

(10)

這就是基于預(yù)期的報(bào)童的訂貨量所滿足的條件，特別如果損失厭惡系數(shù)λ=1，報(bào)童的訂貨量q為：

(11)

此時(shí)，基于預(yù)期的報(bào)童的最優(yōu)訂貨量即為經(jīng)典報(bào)童問題的最優(yōu)訂貨量。下面討論基于預(yù)期的報(bào)童的訂貨量所具有的性質(zhì)。

證明：方程(10)可以視為關(guān)于F(q)的一元二次方程，該方程經(jīng)過整理變形得到：

(12)

其求根判別式為：

所以，方程(12)總存在實(shí)數(shù)解，即基于預(yù)期的報(bào)童的最優(yōu)訂貨量存在。

由性質(zhì)1可以看出，以預(yù)期利潤(rùn)為參照點(diǎn)的報(bào)童問題仍然存在唯一的最優(yōu)訂貨量。這就意味著以預(yù)期利潤(rùn)為參照點(diǎn)的報(bào)童問題不但符合決策者的實(shí)際決策情況，而且總能找到一個(gè)使報(bào)童總效用最大化的最有訂貨量。性質(zhì)1同時(shí)也表明在實(shí)際工作中，如果零售商(報(bào)童)具有損失厭惡，其訂購(gòu)決策是以預(yù)期利潤(rùn)為參照點(diǎn)，那么其最優(yōu)的訂貨量可以根據(jù)F(q)的表達(dá)式進(jìn)行確定。另外從性質(zhì)1的證明過程可以得到一個(gè)副產(chǎn)品，不妨用引理2加以表述。

引理2.無論正數(shù)λ,η取何值，基于預(yù)期的報(bào)童的最優(yōu)訂貨量滿足1+η(λ-1)-2η(λ-1)F(q)>0。

性質(zhì)2. 若λ>1，基于預(yù)期的報(bào)童訂貨量嚴(yán)格小于利潤(rùn)最大化的報(bào)童的訂貨量，即q

由引理2知道1+η(λ-1)-2η(λ-1)F(q)>0，故?q/?λ<0。

性質(zhì)2說明當(dāng)報(bào)童是損失厭惡的決策者時(shí)，基于預(yù)期的報(bào)童的訂貨量小于經(jīng)典報(bào)童問題的訂貨量，而且隨著損失厭惡系數(shù)λ的增加而減少。損失厭惡系數(shù)λ越大，報(bào)童的訂貨量就越??；損失厭惡系數(shù)λ越小，報(bào)童的訂貨量就越大。當(dāng)λ趨近于正無窮時(shí)，報(bào)童的訂貨量趨于貨物銷售量的下限a；當(dāng)λ趨近于1時(shí)，報(bào)童的訂貨量則趨近經(jīng)典報(bào)童問題的訂貨量q*。所以，當(dāng)損失厭惡系數(shù)λ在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)變化時(shí)，基于預(yù)期的報(bào)童的訂貨量則從經(jīng)典報(bào)童問題的訂貨量q*逐步減少到貨物銷售量的下限a。這意味隨著報(bào)童對(duì)損失厭惡程度的提升，如果以預(yù)期利潤(rùn)為其決策參照點(diǎn)，則損失對(duì)其帶來的負(fù)效用影響越來越大。在負(fù)效用影響下，零售商(報(bào)童)為了取得縮小實(shí)際利潤(rùn)與預(yù)期利潤(rùn)之間的差距，其將逐漸降低自己的訂貨量。

性質(zhì)3.若λ<1，基于預(yù)期的報(bào)童訂貨量嚴(yán)格大于利潤(rùn)最大化的報(bào)童的訂貨量，即q>q*。而且?q/?λ<0。

性質(zhì)3說明當(dāng)報(bào)童是損失偏好的決策者時(shí)，基于預(yù)期的報(bào)童的訂貨量大于經(jīng)典報(bào)童問題的訂貨量，而且基于預(yù)期的報(bào)童的訂貨量隨著損失厭惡系數(shù)λ的增加而減少。性質(zhì)3意味著當(dāng)報(bào)童具有損失偏好時(shí)，如果以預(yù)期利潤(rùn)為其決策參照點(diǎn)，此時(shí)報(bào)童的獲得-損失效用為正效用，其訂貨量越多，帶給自身的正效用越大。在此情形下，基于預(yù)期的報(bào)童訂貨量將會(huì)大于利潤(rùn)最大化的報(bào)童的訂貨量。從實(shí)際問題來看，這說明在零售商(報(bào)童)具有損失偏好時(shí)，相對(duì)于自己的所失，其往往更注重自己的所得，因此其往往會(huì)加大訂貨量，這與現(xiàn)實(shí)情形是一致的。

性質(zhì)4.基于預(yù)期的報(bào)童訂貨量具有下列特點(diǎn)。

(2)當(dāng)γ→+∞時(shí)，F(xiàn)(q)→0；

(3)當(dāng)γ→-∞時(shí)，F(xiàn)(q)→1。

可以利用性質(zhì)1直接得到性質(zhì)2的結(jié)論，這里免證。γ趨近于0，則λ趨近于1或者η趨近于0，說明如果報(bào)童是損失中性的或者報(bào)童只考慮消費(fèi)效用，報(bào)童的訂貨量趨近于經(jīng)典報(bào)童問題的訂貨量。該性質(zhì)的第二條說明極端的損失厭惡的報(bào)童或者只考慮獲得-損失效用的報(bào)童的訂貨量趨近于貨物銷售量的下限；與之相反，極端的損失喜好的報(bào)童的訂貨量趨近于貨物銷售量的上限。

性質(zhì)5. 若λ>1，基于預(yù)期的報(bào)童訂貨量嚴(yán)格小于利潤(rùn)最大化的報(bào)童的訂貨量，而且?q/?η<0；若λ<1，基于預(yù)期的報(bào)童訂貨量嚴(yán)格大于利潤(rùn)最大化的報(bào)童的訂貨量，而且?q/?η>0。

該性質(zhì)說明如果報(bào)童是損失厭惡的，隨著獲得-損失效用在決策中的作用的增加，報(bào)童的訂貨量將逐漸減少。反之，如果報(bào)童是損失喜好的，隨著獲得-損失效用在決策中的作用的增加，報(bào)童的訂貨量將逐漸增加。

性質(zhì)6.設(shè)q為基于預(yù)期的報(bào)童在面對(duì)隨機(jī)需求X的訂貨量，Y=cX+d，Q為基于預(yù)期的報(bào)童在面對(duì)隨機(jī)需求Y的訂貨量。在其他參數(shù)不變的條件下，Q=cq+d。

該性質(zhì)說明如果隨機(jī)需求呈線性變化時(shí)，基于預(yù)期的報(bào)童的訂貨量也呈現(xiàn)相應(yīng)的線性變化。

性質(zhì)7.基于預(yù)期的報(bào)童的訂貨量隨價(jià)格p的增加而增加，即?q/?p>0。

證明：(12)式兩邊同對(duì)p求偏導(dǎo)數(shù)得到：

解之得到：

由引理2知道1+η(λ-1)-2η(λ-1)F(q)>0，所以?q/?p>0。

性質(zhì)7說明貨物的銷售價(jià)格越高，報(bào)童的訂貨量越大。單位價(jià)格p越大，報(bào)童的訂貨量越接近于貨物銷售量上限b，這一點(diǎn)從(10)式也可以看出；反之，p越小，報(bào)童的訂貨量越??；特別取p=c，根據(jù)(10)式可知F(q)=0,報(bào)童的訂貨量等于貨物銷售量的下限a。從性質(zhì)7也可以看出，在報(bào)童以預(yù)期利潤(rùn)為其決策參照點(diǎn)時(shí)，隨著銷售價(jià)格的增高，訂貨量的增加將進(jìn)一步提高其獲得-損失的正效用，對(duì)于具有損失厭惡的報(bào)童來說擴(kuò)大訂貨量是其最優(yōu)選擇。因此在實(shí)際工作中，為了使得具有損失厭惡的報(bào)童能夠擴(kuò)大訂購(gòu)量，在市場(chǎng)銷售價(jià)格難以改變情況下，可以通過降低批發(fā)價(jià)格來提高報(bào)童的獲得-損失正效用，這也是企業(yè)在生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)中常常用到的策略。

性質(zhì)8.基于預(yù)期的報(bào)童的訂貨量隨s的增加而增加，即?q/?s>0。

證明：(12)式兩邊同對(duì)s求偏導(dǎo)數(shù)得到：

性質(zhì)8說明報(bào)童訂貨量隨s單調(diào)遞增。s越大報(bào)童因賣不出去遭受的損失越小，報(bào)童的訂貨量自然越大，特別當(dāng)s=c時(shí)，顯然方程(12)的解為F(q)=1，即q=b，也就是報(bào)童的訂貨量達(dá)到貨物銷售量的上限b。性質(zhì)8說明了從產(chǎn)品的殘值與報(bào)童訂貨量之間的關(guān)系，因此從另一方面來說，為了使得具有損失厭惡的報(bào)童能夠擴(kuò)大訂購(gòu)量，在市場(chǎng)銷售價(jià)格和批發(fā)價(jià)格難以改變情況下，可以通過對(duì)報(bào)童銷售期末的剩余產(chǎn)品給予一定的補(bǔ)貼，這意味提高了剩余產(chǎn)品的殘值，從而提高報(bào)童的獲得-損失正效用，這也是在現(xiàn)實(shí)生活中我們常常可以看到生產(chǎn)企業(yè)會(huì)對(duì)其銷售商給予相應(yīng)補(bǔ)貼，提高銷售商加大訂購(gòu)量的積極性。

性質(zhì)9.基于預(yù)期的損失厭惡的報(bào)童的訂貨量隨c的增加而減少，即?q/?c<0。

證明：(12)式兩邊同對(duì)c求偏導(dǎo)數(shù)得到：

這個(gè)結(jié)論是顯然的。成本c在s到p之間變化，前面討論過當(dāng)c=s時(shí)，報(bào)童的訂貨量為貨物的銷售上限b；當(dāng)c=p時(shí)，由(12)式可知：F(q)=0，即q=a。所以，當(dāng)成本c從s變到p時(shí)，報(bào)童訂貨量從b變到a。在報(bào)童具有損失厭惡時(shí)，成本的增加意味著在同等情形下其利潤(rùn)將變低，報(bào)童以期望利潤(rùn)為決策參照點(diǎn)時(shí)，其獲得-損失效用將變小，故其訂貨量將降低。性質(zhì)9說明，在企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)中，應(yīng)該整合有關(guān)業(yè)務(wù)流程，優(yōu)化資源配置，減少一切不必要的支持，有效降低成本，進(jìn)而能夠擴(kuò)大自身利潤(rùn)。

從上述得到的結(jié)論可以看出，在報(bào)童具有損失厭惡時(shí)，以其預(yù)期利潤(rùn)為決策參照點(diǎn)，能夠有效預(yù)測(cè)和解釋報(bào)童訂購(gòu)決策行為，從而為企業(yè)的運(yùn)營(yíng)管理提供決策支持和理論指導(dǎo)。與文平[6]不同的是，本文是在假定需求為連續(xù)隨機(jī)變量情況下進(jìn)行研究的；Wang等[11-12]和曹兵兵等[13]盡管考慮了報(bào)童的損失厭惡，但在設(shè)置報(bào)童決策參照點(diǎn)時(shí)大都選擇了一個(gè)固定數(shù)值，不像本文選擇報(bào)童預(yù)期利潤(rùn)這樣的一個(gè)隨機(jī)變量，因此這些文獻(xiàn)得到了與本文不同的研究結(jié)論，究其原因是由于效用函數(shù)的不同；在Xu Xinsheng等[15]中，由于對(duì)報(bào)童損失厭惡的定義不同，且是在CVaR下研究損失厭惡對(duì)報(bào)童訂貨量的影響，因而得到的結(jié)論與本文存在差異。因此，對(duì)照已有研究成果來看，本文的研究參照了依賴偏好理論，特別是選取了報(bào)童的預(yù)期利潤(rùn)作為其決策參照點(diǎn)，在此情形下研究了報(bào)童的損失厭惡對(duì)其訂貨量的影響，使得對(duì)報(bào)童問題的研究更加符合現(xiàn)實(shí)情況，得到的研究結(jié)論能夠解釋理論研究與現(xiàn)實(shí)情況之間出現(xiàn)的偏差，從而利用研究得到的結(jié)論更為有效地指導(dǎo)現(xiàn)實(shí)工作。

4 算例分析

假設(shè)產(chǎn)品的隨機(jī)需求服從均值為600標(biāo)準(zhǔn)差為200的正態(tài)分布，即X～N(600,2002)。假如貨物的單位購(gòu)入成本為3元，貨物的單位售價(jià)為8元，貨物的單位殘值為1元，即p=8,c=3,s=1。由性質(zhì)1可知，基于預(yù)期的報(bào)童的最優(yōu)訂貨量除了受單位購(gòu)入成本、貨物的單位售價(jià)、貨物的單位殘值等客觀因素決定外還受損失厭惡程度、獲得-損失效用在決策中的重要性等主觀因素的影響。下面分別討論損失厭惡程度、獲得-損失效用在決策中的重要性這兩個(gè)因素對(duì)報(bào)童的最優(yōu)訂貨量的影響。

為討論損失厭惡程度對(duì)報(bào)童的最優(yōu)訂貨量的影響，先固定獲得-損失效用在決策中的重要性。通常情況下，人們?cè)跊Q策時(shí)既要考慮消費(fèi)效用函數(shù)又要考慮獲得-損失效用，不妨設(shè)這兩者具有相同的重要性，即η=1，損失厭惡程度依次取1、2、3、5、10、20、50、500時(shí)基于預(yù)期的報(bào)童的最優(yōu)訂貨量如表1所示。

表1 不同損失厭惡程度下報(bào)童的訂貨量

由表1可以看到，隨著損失厭惡程度的提高報(bào)童的最優(yōu)訂貨量隨之下降，這與性質(zhì)2的結(jié)論是一致的。

當(dāng)討論獲得-損失效用在決策中的重要性對(duì)報(bào)童的最優(yōu)訂貨量的影響時(shí)，則與前者相反，需要固定損失厭惡程度。不妨假設(shè)損失厭惡程度為2，即λ=2，獲得-損失效用在決策中的重要性依次取0、1、2、3、5、10、20、300時(shí)基于預(yù)期的報(bào)童的最優(yōu)訂貨量如表2所示。由表2可以看到，隨著獲得-損失效用在決策中的重要性的提高，如果報(bào)童是損失厭惡的，報(bào)童的最優(yōu)訂貨量也會(huì)下降，這與性質(zhì)5的結(jié)論是一致的。但是如果報(bào)童是損失喜好的，隨著獲得-損失效用在決策中的重要性的提高，報(bào)童的最優(yōu)訂貨量反而會(huì)提高。

表2 不同決策權(quán)重下報(bào)童的訂貨量

5 結(jié)語

報(bào)童問題是現(xiàn)實(shí)生活中常見的決策問題，對(duì)它的研究討論有助于管理者做出科學(xué)的、有效的決策。本文利用Koszegi與Rabin的參照依賴偏好理論對(duì)報(bào)童問題進(jìn)行了研究，不僅求得基于預(yù)期的最優(yōu)訂貨量而且討論了最優(yōu)解的性質(zhì)。研究發(fā)現(xiàn)，基于預(yù)期的報(bào)童的最優(yōu)訂貨量不僅與貨物銷售的概率分布、價(jià)格等因素有關(guān)還與報(bào)童的損失厭惡程度有關(guān)。如果報(bào)童是損失厭惡的，報(bào)童的訂貨量要小于經(jīng)典報(bào)童問題的訂貨量，而且其訂貨量隨著損失厭惡系數(shù)λ的增加而減少。如果報(bào)童是損失偏好的，報(bào)童的訂貨量則大于經(jīng)典報(bào)童問題的訂貨量，而當(dāng)報(bào)童是損失中性時(shí)，報(bào)童的最優(yōu)訂貨量即為經(jīng)典報(bào)童問題的最優(yōu)訂貨量。這些與先前研究的大部分實(shí)證結(jié)果是一致的。需要說明的是，損失厭惡在以前也被用于報(bào)童問題的研究中，但報(bào)童利潤(rùn)參照點(diǎn)的選取大都為零利潤(rùn)或者某一個(gè)固定的數(shù)值。本文根據(jù)Koszegi與Rabin的思想，選取報(bào)童的預(yù)期作為報(bào)童利潤(rùn)的參照點(diǎn)，將報(bào)童利潤(rùn)的參照點(diǎn)從常數(shù)變?yōu)橐粋€(gè)隨機(jī)變量，這些都為報(bào)童問題的研究提供了新的視野。

對(duì)報(bào)童問題的研究還可以在以下幾個(gè)方面進(jìn)行一些有意義的探索。一是在報(bào)童參照點(diǎn)的選取上，本文是將報(bào)童的預(yù)期作為報(bào)童利潤(rùn)的參照點(diǎn)，能否選擇別的參照點(diǎn)以及如何在這些參照點(diǎn)下討論報(bào)童問題將是值得去做的工作。二是報(bào)童問題顯然與決策理論息息相關(guān)，近幾十年來，新的決策理論特別是新的風(fēng)險(xiǎn)決策理論不斷出現(xiàn)，在新的決策理論下討論報(bào)童問題也將是一個(gè)有意義的工作。

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