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    打破認(rèn)知,讓學(xué)生“下定義”
    ——特級教師吳正憲“因數(shù)與倍數(shù)”教學(xué)片段賞析

    2023-08-14 12:57:39浙江臺州市路橋區(qū)路北街道中心小學(xué)318050林鼎奇
    小學(xué)教學(xué)參考 2023年14期
    關(guān)鍵詞:整數(shù)倍數(shù)因數(shù)

    浙江臺州市路橋區(qū)路北街道中心小學(xué)(318050) 林鼎奇

    “因數(shù)”的定義是a×b=c,a和b稱為乘數(shù),乘數(shù)也稱為因數(shù)?!氨稊?shù)”的定義是已知兩個數(shù)a,b(a是整數(shù),b是正整數(shù)),要求兩個整數(shù)q,r,使q,r滿足以下條件:a=bq+r(0≤r<b),a稱為被除數(shù),b稱為除數(shù),q稱為不完全商(簡稱商),r稱為余數(shù);當(dāng)r=0時,稱a被b整除,此時b為a的因數(shù),a為b的倍數(shù)。

    《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗稿)》是由兩排飛機(jī)的數(shù)量引出乘法算式2×6=12,說明2和6 是12 的因數(shù),12 是2 的倍數(shù),也是6 的倍數(shù),再引出3×4=12,說明3 和4 也是12 的因數(shù),12 是3 和4的倍數(shù),同時還補(bǔ)充說明“在研究因數(shù)和倍數(shù)的時候,我們所說的數(shù)指的是整數(shù)(一般不包括0)”。

    《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》是通過讓學(xué)生觀察一組除法算式并分類,引導(dǎo)學(xué)生把除法算式根據(jù)商的結(jié)果分成整數(shù)和非整數(shù)這兩類,從而總結(jié)出“在整數(shù)除法中,如果商是整數(shù)且沒有余數(shù),就說被除數(shù)是除數(shù)和商的倍數(shù),除數(shù)和商是被除數(shù)的因數(shù)”,并以除法算式12÷2=6 為例,說明12 是2 和6 的倍數(shù),2和6是12的因數(shù)。

    因數(shù)和倍數(shù)的含義體現(xiàn)了兩者相互依存的關(guān)系。學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗認(rèn)為乘法算式中的乘數(shù)叫因數(shù),在除法算式中有誰是誰的幾倍,就認(rèn)為因數(shù)和倍數(shù)是單獨(dú)存在的。面對這種認(rèn)知沖突,教師在教學(xué)中如何幫助學(xué)生重新建立因數(shù)和倍數(shù)的概念?筆者在特級教師吳正憲的“因數(shù)與倍數(shù)”課堂中找到了答案。

    一、課堂實錄與賞析

    1.根據(jù)已有經(jīng)驗,初步感知此非彼

    師:同學(xué)們,這節(jié)課我們要學(xué)習(xí)“因數(shù)與倍數(shù)”。在過去的學(xué)習(xí)中,你們在哪里見過因數(shù)和倍數(shù)?能舉個例子嗎?

    生1:我們學(xué)乘法的時候,乘法算式里有因數(shù),比如6×2=12,6 和2 都是因數(shù)。在除法算式里有倍數(shù),比如12÷3=4,12是3的4倍。

    師:這是你心目中的因數(shù)和倍數(shù)。我也來舉個例子,比如一本書6元,2本書多少錢?如果一本書2.5 元,2 本書多少錢?在這兩個乘法算式中,因數(shù)又是哪個呢?

    生2:6×2=12,6 和12 是因數(shù),2.5×2=5,2.5 和2是因數(shù)。

    師:今天我們對因數(shù)和倍數(shù)又有什么新的規(guī)定呢?這里有12人,我們用12顆磁鐵表示,你能將它們分組嗎?分的過程,我們一起用算式記錄下來。

    生3:我把12 人平均分成了4 組,每組有3 人,算式是12÷4=3(人)。我把12 人平均分成了3 組,每組有4 人,算式是12÷3=4(人)。我把12 人平均分成了2 組,每組有6 人,算式是12÷2=6(人)。我把12人平均分成了6組,每組有2人,算式是12÷6=2(人)。我把12 人平均分成了12 組,每組有1 人,算式是12÷12=1(人)。我把12 人分成1 組,每組有12人,算式是12÷1=12(人)。

    師:很好,一口氣說出了那么多算式。如果有12 人,每組5 人,可以分成幾組?用你學(xué)過的知識表示。

    生4:12÷5=2……2,可以分成2組,還多2人。

    【賞析】著名教育家蘇霍姆林斯基說過:“每一個學(xué)生是一個完全脫俗的、獨(dú)一無二的世界?!睂W(xué)生進(jìn)入數(shù)學(xué)課堂時不是一張白紙,而是帶著對數(shù)學(xué)知識獨(dú)特的感知。因此,教師不能把學(xué)生當(dāng)作知識的容器,往學(xué)生頭腦中灌輸各種知識。吳老師尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,她沒有回避學(xué)生對因數(shù)和倍數(shù)的已有認(rèn)識,而是與學(xué)生聊天,充分了解學(xué)生的理解水平,一方面是為了幫助學(xué)生初步感知今天這節(jié)課學(xué)習(xí)的因數(shù)和倍數(shù)與以前學(xué)過的知識不一樣,另一方面是讓學(xué)生寫出更多除法算式,為建立因數(shù)和倍數(shù)的含義做好準(zhǔn)備。

    2.打破已有認(rèn)知,在總結(jié)中下定義

    師:比如12÷4=3,我們可以說12 是4 的倍數(shù),4是12 的因數(shù),也可以說12 是3 的倍數(shù),3 是12 的因數(shù)。比如2×6=12,我們可以說2 是12 的因數(shù),12 是2 的倍數(shù),也可以說6 是12 的因數(shù),12 是6 的倍數(shù)。接下來有幾個問題,什么是倍數(shù),什么是因數(shù)?因數(shù)和倍數(shù)之間有怎樣的關(guān)系?每個同學(xué)先獨(dú)立思考,想的時候可以借助算式,然后說一說你的想法。

    沖突1:辨析乘除法中都有因數(shù)和倍數(shù)。

    生1:我們小組認(rèn)為只有在除法中才有因數(shù)和倍數(shù),比如25÷5=5,25是5的倍數(shù),5是25的因數(shù)。

    生2:我不同意,我認(rèn)為在乘法中也有因數(shù)和倍數(shù)。比如5×7=35,7 是35 的因數(shù),35 是7 的倍數(shù),5 是35 的因數(shù),35是5的倍數(shù),它們也有因數(shù)與倍數(shù)。

    生3:我覺得這樣是不對的,因為5是因數(shù),7也是因數(shù),它們乘起來就是積。

    生4:剛才吳老師舉的例子,比如2×6=12,可以說2 是12 的因數(shù),12 是2 的倍數(shù),也可以說6 是12的因數(shù),12 是6 的倍數(shù)。這個算式不就是乘法嗎?為什么你認(rèn)為要在除法里才有因數(shù)和倍數(shù)?

    師:在過去的經(jīng)驗中,你認(rèn)為乘法里有因數(shù),除法里有倍數(shù)。今天我們給倍數(shù)和因數(shù)新的規(guī)定,在乘法和除法里都有因數(shù)和倍數(shù)。

    【賞析】吳老師通過呈現(xiàn)哪些算式里有因數(shù)和倍數(shù)關(guān)系,以及怎樣描述因數(shù)和倍數(shù)等,引導(dǎo)學(xué)生在比較中認(rèn)識因數(shù)和倍數(shù)的含義。當(dāng)學(xué)生面對因數(shù)和倍數(shù)的新定義時,他們產(chǎn)生了認(rèn)知沖突,有的學(xué)生還是認(rèn)為乘法中有因數(shù),除法中有倍數(shù)。為了讓學(xué)生體會到乘除法中都有因數(shù)和倍數(shù),吳老師組織學(xué)生進(jìn)行說理辯論,讓他們在有理有據(jù)地爭論中打破舊認(rèn)知,重建新認(rèn)識。

    沖突2:辨析因數(shù)和倍數(shù)必須是整數(shù)。

    生5:我們小組認(rèn)為,如果除法算式里有余數(shù)和小數(shù),就沒有因數(shù)和倍數(shù),商必須是整數(shù)且沒有余數(shù)的才有因數(shù)和倍數(shù)。

    生6:我有不同意見。如果是小數(shù)除以一個整數(shù),比如10.5÷5=2.1,我想說明有小數(shù)的除法也可以算出倍數(shù)。

    生7:剛才吳老師說像2.5×2=5 中是沒有因數(shù)和倍數(shù)的,你的算式里有小數(shù),怎么說它有因數(shù)和倍數(shù)呢?

    師:因數(shù)和倍數(shù)必須是什么樣的數(shù)?

    生8:整數(shù)。

    【賞析】吳老師在舉例時明確告知學(xué)生2.5×2=5這樣的算式是沒有因數(shù)和倍數(shù)的。不過有學(xué)生沒有建立因數(shù)和倍數(shù)的新認(rèn)知,認(rèn)為小數(shù)除法中是有因數(shù)和倍數(shù)的。吳老師組織學(xué)生展開辯論,最終讓學(xué)生深刻體會到因數(shù)和倍數(shù)必須是整數(shù)。

    沖突3:辨析因數(shù)和倍數(shù)結(jié)果是整數(shù)倍。

    生9:我來舉個例子,5÷2=2.5,5 和2 雖然都是整數(shù),但是它們沒有倍數(shù)關(guān)系。

    師:為什么?

    生9:比如2×6=12,12 是2 的6 倍。5÷2=2.5,雖然5 和2 是整數(shù),但是2.5 是小數(shù),所以它們沒有倍數(shù)關(guān)系。

    師:不管乘法還是除法里,一個數(shù)都要是另一個數(shù)的……

    生10:整數(shù)倍。

    師:誰能再來舉幾個例子?

    生11:比如2×8=16,8 和16 都是整數(shù),16 是8的2倍,可以說16是8的倍數(shù),8是16的因數(shù)。

    師:老師也來舉個例子,因為1.2÷0.6=2,所以1.2是0.6的2倍,對嗎?

    生12:不對,1.2和0.6不是整數(shù)。

    【賞析】學(xué)生的思考是逐步深入的,他們在不斷打破原有認(rèn)知,重建因數(shù)和倍數(shù)的新定義。此時,學(xué)生已經(jīng)從上一環(huán)節(jié)關(guān)注兩個數(shù)必須是整數(shù),轉(zhuǎn)移到關(guān)注兩個數(shù)的運(yùn)算結(jié)果。一開始,學(xué)生認(rèn)為除法算式的結(jié)果不能有余數(shù),隨著吳老師的追問,他們想出了整數(shù)倍,即乘法和除法的結(jié)果必須是整數(shù),不能是小數(shù)。

    沖突4:辨析因數(shù)和倍數(shù)是相互依存的。

    師:12是倍數(shù),這樣的說法對嗎?

    生13:不對,要說12 是誰的倍數(shù),比如12 是6的倍數(shù),12是4的倍數(shù)……

    師:因數(shù)和倍數(shù)是成對出現(xiàn)的。

    【賞析】數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)不僅要通過正向的舉例,讓學(xué)生看到成立的因數(shù)和倍數(shù)的關(guān)系,還要通過反向的舉例,讓學(xué)生看到不成立的因數(shù)和倍數(shù)的關(guān)系。在這個教學(xué)環(huán)節(jié)中,吳老師巧妙地通過判斷“12 是不是倍數(shù)”,讓學(xué)生感受到因數(shù)和倍數(shù)是成對出現(xiàn)的,它們相互依存,不能單獨(dú)存在。

    3.借助豎線模型,有序找出因數(shù)

    師:同學(xué)們,請找一找36的因數(shù)。

    (有的學(xué)生找了4個,即12、4、3、9;有的學(xué)生找了7個,即3、36、1、9、6、4、12;有的學(xué)生找到了6、9、12、3、2、18、36、1、4)

    師:同學(xué)們寫得有點亂。這樣,我借助一條豎線,豎線左邊寫1,右邊36,接下來該怎么寫?

    生14:2和18,3和12,4和9,6和6。

    師:我們一起找36的倍數(shù),36的1 倍是36,2倍是72……它的倍數(shù)越來越大,它的倍數(shù)找不全,但是因數(shù)的個數(shù)能找全。這個例子告訴我們什么?

    生15:一個數(shù)的因數(shù)個數(shù)是有限的,它的倍數(shù)個數(shù)卻是無限的。一個數(shù)最小的因數(shù)是1,最大的因數(shù)是它本身。

    師:我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要學(xué)會有序思考。

    【賞析】在這個教學(xué)環(huán)節(jié)中,學(xué)生嘗試找一個數(shù)的因數(shù),剛開始他們都在無序地找,出現(xiàn)了找不全的局面。這時,吳老師借助豎線,不僅帶領(lǐng)學(xué)生體會了有序思考的魅力,還讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)了因數(shù)和倍數(shù)的奧秘。

    二、對數(shù)學(xué)概念教學(xué)的啟示

    皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論中的觀點是,個體的認(rèn)知發(fā)展是在認(rèn)知不平衡時通過同化或順應(yīng)來達(dá)到認(rèn)知平衡,認(rèn)知不平衡有助于學(xué)生構(gòu)建自己的知識體系。吳老師在教學(xué)“因數(shù)與倍數(shù)”一課中利用當(dāng)前知識與學(xué)生已有認(rèn)知之間的矛盾,讓學(xué)生經(jīng)歷了“認(rèn)知沖突—打破已有認(rèn)知—建立新的認(rèn)知”的過程,建立了因數(shù)和倍數(shù)的含義,并運(yùn)用概念探究找一個數(shù)的因數(shù)和找一個數(shù)的倍數(shù)的方法。

    其實,許多數(shù)學(xué)概念的教學(xué)都可以像吳老師那樣充分利用課堂中學(xué)生的認(rèn)知沖突。比如,學(xué)生在學(xué)習(xí)“萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”一課時,他們發(fā)現(xiàn)數(shù)到9999 就不能再數(shù)了,這時教師要在認(rèn)知沖突中引導(dǎo)學(xué)生利用十進(jìn)制創(chuàng)造新的計數(shù)單位。又如,在學(xué)習(xí)“軸對稱圖形”一課時,有的學(xué)生在“平行四邊形是否是軸對稱圖形”這一問題上產(chǎn)生了分歧,此時教師要把全班學(xué)生分成“贊同派”和“反對派”,讓學(xué)生在舉例說理中深刻理解軸對稱圖形的本質(zhì),并判斷一個平面圖形是否是軸對稱圖形。又如,在學(xué)習(xí)“加法交換律”后,有的學(xué)生猜想在減法、乘法和除法中是否有交換律,也有的學(xué)生聯(lián)想到三個加數(shù)、四個加數(shù),甚至更多個加數(shù)相加是否都能用加法交換律計算,此時,教師就要讓學(xué)生在認(rèn)知沖突中展開驗證活動。

    總之,教師在開展教學(xué)活動時充分利用教育學(xué)和心理學(xué)中的原理,結(jié)合數(shù)學(xué)教材和學(xué)生學(xué)情,才能讓學(xué)生在思考和理解中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念,讓學(xué)生把數(shù)學(xué)想明白、做出來,從而掌握數(shù)學(xué)思維方法。

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