圖解：讓數(shù)學(xué)解題思維可視

【摘 要】 ?對(duì)2022年新高考Ⅰ卷部分試題的解題思路進(jìn)行研究，借助圖示逐步呈現(xiàn)解題思路，讓思維可視．既使得教師的解題教學(xué)看得見(jiàn)、摸得著，又為學(xué)生后續(xù)解題提供良好的解題范式，促進(jìn)師生解題能力的共同提高．

【關(guān)鍵詞】 ?高考試題；圖解；思維可視

1 ??引言

在日常教學(xué)中，經(jīng)常聽(tīng)到老師們抱怨：“這樣的題型講過(guò)好幾遍了，學(xué)生遇到還是不會(huì)做，該怎樣講，他們才能掌握解題思路、找到最為合理的解題路徑呢？”其實(shí)，不僅僅老師抱怨，學(xué)生聽(tīng)完一節(jié)數(shù)學(xué)課后也在想：“老師今天講了幾個(gè)例題，聽(tīng)是聽(tīng)懂了，但下次遇到新的題目，我怎么做，才能像老師那樣找到解題思路呢？”究其原因，我們的高中教師經(jīng)過(guò)多年的解題磨煉，對(duì)絕大部分題目的解決思路了然于胸，在給學(xué)生講解時(shí)有些想當(dāng)然，未能有效地將審題、析題的路徑清晰地呈現(xiàn)給學(xué)生；而學(xué)生則是第一次遇到這樣的題型，或者說(shuō)也沒(méi)遇到幾次，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是全新的內(nèi)容，要想很快掌握，確實(shí)有些勉為其難．

美國(guó)數(shù)學(xué)家波利亞在其專(zhuān)著《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中強(qiáng)調(diào)：中學(xué)數(shù)學(xué)的主要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練［1］.但加強(qiáng)解題訓(xùn)練并不意味著搞題海戰(zhàn)術(shù)，對(duì)此，羅增儒教授提出：“分析典型例題的解題過(guò)程是學(xué)會(huì)解題的有效途徑．”［2］那么，分析典型例題的解題過(guò)程的有效途徑又是什么呢？筆者認(rèn)為可以用流程圖、樹(shù)形圖等可視化工具，將教師的思維路徑呈現(xiàn)給學(xué)生，使學(xué)生看得見(jiàn)、摸得著，潛移默化中成為學(xué)生分析問(wèn)題的方法．本文嘗試借助圖形對(duì)2022年新高考全國(guó)Ⅰ卷部分試題進(jìn)行剖析，以期拋磚引玉．

2 ??典例呈現(xiàn) 2.1 按圖索“跡”審核心

典例1 ?（2022年全國(guó)新高考Ⅰ卷第18題）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知 cosA 1+sinA = sin2B 1+cos2B ．

（1）若C= 2π 3 ，求B；

（2）求 a2+b2 c2 的最小值．

關(guān)鍵點(diǎn)擊 ?解決本題的關(guān)鍵：（1）明晰已知條件的化簡(jiǎn)方向，能熟練運(yùn)用倍角公式及兩角和差公式化簡(jiǎn)；（2）理解本題中角的關(guān)系是已知條件，能把第二小問(wèn)中關(guān)于邊的式子用正弦定理轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的式子，構(gòu)造關(guān)于角的正弦或余弦的目標(biāo)函數(shù)再研究最值．

圖示解讀 ?首先審明已知條件與目標(biāo)的差別，明晰條件與結(jié)論轉(zhuǎn)化的方向，以建立兩者之間的聯(lián)系．對(duì)于第（1）小問(wèn)，目標(biāo)是求單角B，故很明顯應(yīng)將倍角轉(zhuǎn)化為單角，再將代數(shù)式化為整式，觀察等式特征知可運(yùn)用兩角和差公式化得cos（A+B），由角C已知，進(jìn)而求得角B；對(duì)于第（2）小問(wèn)，從問(wèn)題出發(fā)，研究的是邊有關(guān)的最值，聯(lián)系已知條件，明晰應(yīng)將邊化為角，此時(shí)還含有三個(gè)角，故借助第（1）問(wèn)的化簡(jiǎn)結(jié)果探尋三個(gè)角之間的關(guān)系以達(dá)到消元的目地，最終轉(zhuǎn)化為僅含一個(gè)未知量的目標(biāo)函數(shù)最值問(wèn)題． ?感悟 ?三角函數(shù)解答題是歷年高考必考題型，一般位于解答題的前兩題位置，其難度適中，正常來(lái)說(shuō)是屬于大部分學(xué)生都能得高分的題型．但從學(xué)生答題情況統(tǒng)計(jì)結(jié)果來(lái)看，對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題作答情況很不理想，學(xué)生普遍反映解題時(shí)目標(biāo)不夠明確，未能有效轉(zhuǎn)化求解．?dāng)?shù)學(xué)解題時(shí)首先要培養(yǎng)學(xué)生的目標(biāo)意識(shí)，對(duì)此可借助流程圖來(lái)幫助學(xué)生聯(lián)系已知條件與所求目標(biāo)，根據(jù)流程圖逐步剖析題中信息，領(lǐng)會(huì)命題人的意圖，找到解題路徑，進(jìn)而不斷提升學(xué)生數(shù)學(xué)審題能力． ??典例2 ?（2022年全國(guó)新高考Ⅰ卷第22題）已知函數(shù)f（x）=ex－ax和g（x）=ax－lnx有相同的最小值.（1）求a；（2）證明：存在y=b直線，其與兩條曲線y=f（x）和y=g（x）共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．

關(guān)鍵點(diǎn)擊 ?解決本題第（2）問(wèn)的關(guān)鍵：（1）善于將研究目標(biāo)細(xì)化分解，逐個(gè)突破；（2）能熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究中常見(jiàn)的切線放縮、構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)等技巧．

圖示解讀 ?首先對(duì)要研究的目標(biāo)進(jìn)行分解，細(xì)分為3個(gè)小目標(biāo)，從而使得問(wèn)題的研究更具體，易操作；其次對(duì)3個(gè)小目標(biāo)的研究可通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究三個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題來(lái)實(shí)現(xiàn)，其中涉及分類(lèi)討論，進(jìn)而明確了確實(shí)存在b，有x2=x3；再次結(jié)合指對(duì)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)研究出單調(diào)性，明確x1與x2、x2與x4的關(guān)系；最后根據(jù)b建立x1，x2，x4的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的證明． 感悟 ?導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題一直以來(lái)作為高考的壓軸大題出現(xiàn)，是有效區(qū)分學(xué)生能力高低的關(guān)鍵題型．本題題干看似簡(jiǎn)潔明了，但很多考生讀題之后，感覺(jué)無(wú)從下手直接產(chǎn)生了放棄的想法，僅有少數(shù)優(yōu)秀的學(xué)生能繼續(xù)下去．其實(shí)，一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題往往是多個(gè)小問(wèn)題的綜合，我們可以采取如上樹(shù)形圖的方式引導(dǎo)學(xué)生將綜合問(wèn)題分解為若干個(gè)小問(wèn)題，逐個(gè)擊破．這樣的解題訓(xùn)練，有利于學(xué)生在考試中得到更多的分?jǐn)?shù)，有利于學(xué)生增強(qiáng)解題自信心；這樣的圖析方法，既為學(xué)生后續(xù)解題提供了借鑒的模板，又有助于學(xué)生分析、判斷問(wèn)題能力的提高．

2.2 借圖把脈明路徑 典例3 ?（2022年全國(guó)新高考Ⅰ卷第7題）設(shè)a=0.1e0.1，b= 1 9 ，c=－ln0.9，則（ ?）.

A．a(chǎn)

關(guān)鍵點(diǎn)擊 ?解決本題的關(guān)鍵：（1）構(gòu)建a，b，c之間的聯(lián)系；（2）熟悉導(dǎo)數(shù)問(wèn)題研究中常見(jiàn)的切線放縮、構(gòu)造函數(shù)等方法．

圖示解讀 ?先比較a，b，將a=0.1e0.1變形，小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，鑒于b= 1 9 ，故構(gòu)造出分?jǐn)?shù) 1 9 ，利用指對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)將a化為 1 9 e 1 10 +ln 9 10 ，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究 1 10 +ln 9 10 與0的大小，再將 1 10 +ln 9 10 化為1－ 9 10 +ln 9 10 ，則可構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性或借助熟悉的切線放縮不等式lnxx+1（x≠0），知a>0.11，再將c也用切線放縮，可判斷c<0.11．本題還可以用聯(lián)系的觀點(diǎn)來(lái)綜合考量，將三個(gè)數(shù)都化為與0.1有關(guān)的表達(dá)式，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)進(jìn)一步研究，再借助導(dǎo)數(shù)研究差函數(shù)的最值得出大小關(guān)系．

感悟 ?比較大小問(wèn)題是全國(guó)高考?？碱}型，難度有增大的趨勢(shì)，對(duì)考生的能力要求愈發(fā)提高．該題型雖短小精干，但內(nèi)涵豐富，需要考生深刻挖掘兩兩或三者之間的潛在關(guān)聯(lián)，既可以孤立的進(jìn)行大小的比較，又可聯(lián)系地深層分析繼而整體研究確定大小關(guān)系．在試題講解時(shí)，把兩種路徑清晰呈現(xiàn)，不僅能清晰地展示教師的思維歷程，更能促使學(xué)生學(xué)會(huì)選擇、推理、評(píng)價(jià)與監(jiān)控． 典例4 ??（2022年全國(guó)新高考Ⅰ卷第21題）已知點(diǎn)A（2，1）在雙曲線C： x2 a2 － y2 a2－1 =1（a>1）上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ的斜率之和為0．

（1）求l的斜率；

（2）若tan∠PAQ=2 2 ，求△PAQ的面積．

關(guān)鍵點(diǎn)擊 ?解決本題的關(guān)鍵：（1）借助直線AP，AQ的斜率之和為0合理構(gòu)建關(guān)聯(lián)知識(shí)；（2）借助圖形對(duì)tan∠PAQ=2 2 進(jìn)行直觀分析，實(shí)施轉(zhuǎn)化；（3）對(duì)運(yùn)算過(guò)程的整體把控．

圖示解讀 ?對(duì)于路徑①，首先對(duì)目標(biāo)分析知直線的斜率可用P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)表示，故設(shè)出直線AP斜率為k，寫(xiě)出其點(diǎn)斜式方程，與雙曲線方程聯(lián)立，解出點(diǎn)P坐標(biāo)．由直線AP，AQ的斜率之和為0，知僅需將P點(diǎn)坐標(biāo)中的k替換為-k即得Q點(diǎn)坐標(biāo)，據(jù)此實(shí)現(xiàn)直線l的斜率的求解．在此基礎(chǔ)上結(jié)合∠PAQ對(duì)圖形直觀分析，發(fā)現(xiàn)直線AP的傾斜角為 π 2 － ∠PAQ 2 ，更進(jìn)一步求出AP的斜率，代入第一問(wèn)P，Q坐標(biāo)中，從而求出AP，AQ長(zhǎng)及∠PAQ的正弦達(dá)成面積的求解．對(duì)于路徑②，由條件直線AP，AQ的斜率之和為0出發(fā)，用坐標(biāo)表示，顯露出兩根之和、積的特征，故設(shè)出直線l的斜截式方程，運(yùn)用設(shè)而不求、整體代入的思想構(gòu)造出關(guān)于k，m的表達(dá)式f（k，m）=0，確定k的值．第二問(wèn)的做法同路徑①．

感悟 ?本題在第一問(wèn)就涉及較為復(fù)雜的運(yùn)算，一改以往的風(fēng)格，雖是常規(guī)題型，卻使得考生極不適應(yīng)．考生在解題時(shí)又缺乏對(duì)運(yùn)算路徑的有效研判，導(dǎo)致運(yùn)算過(guò)程繁瑣，障礙重重，同時(shí)鑒于考試時(shí)間有限，只能被迫放棄．解析幾何問(wèn)題的求解實(shí)際上是一個(gè)不斷優(yōu)化運(yùn)算路徑的過(guò)程，在平時(shí)教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出思維導(dǎo)圖，深入分析運(yùn)算條件，厘清運(yùn)算路徑，明析運(yùn)算障礙，根據(jù)算理實(shí)施化簡(jiǎn)．學(xué)生明析每個(gè)路徑的運(yùn)算量、熟悉程度等，最終選擇自己認(rèn)為最有把握、最高效的路徑．不必?fù)?dān)心這樣的分析會(huì)影響解題時(shí)間、進(jìn)程，當(dāng)學(xué)生習(xí)慣了這種方式，其數(shù)學(xué)理解能力和思維能力會(huì)得到很大提升，正所謂“磨刀不誤砍柴功”；當(dāng)學(xué)生習(xí)慣了這種方式，必然會(huì)“內(nèi)化于心，外化于行”，從而形成屬于自己的一套科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}模式．

2.3 以圖升格拓思維一道數(shù)學(xué)試題的完整求解不能僅以思維的剖析、答題過(guò)程的呈現(xiàn)為最終目的，還應(yīng)通過(guò)該題的求解領(lǐng)悟其背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法、思維方式，從而做到舉一反三、觸類(lèi)旁通，以兌現(xiàn)典型例題的教學(xué)價(jià)值．因此，還可借“圖”對(duì)解題中所用的數(shù)學(xué)方法、思想進(jìn)行梳理、提煉．

譬如對(duì)于典例2的提煉，如下圖：

對(duì)于典例4的提煉如下圖：

感悟 ?艾賓浩斯遺忘曲線揭示，信息輸入大腦遺忘就隨之開(kāi)始，特別是在剛剛識(shí)記的短時(shí)間里遺忘最快．在此借助框圖來(lái)提煉，可充分發(fā)揮其獨(dú)特的“圖像記憶”功能，促成學(xué)生記住、記牢知識(shí)與方法，并逐步建立與完善知識(shí)體系，夯實(shí)對(duì)知識(shí)的理解，擢升對(duì)方法的運(yùn)用．

3 ??總結(jié)

解題就像開(kāi)車(chē)，去一個(gè)陌生的地方，從起點(diǎn)到終點(diǎn)，人們常常借助導(dǎo)航系統(tǒng)．導(dǎo)航系統(tǒng)往往會(huì)提供幾條路徑供選擇，有的路徑會(huì)顯示某段道路較堵，有的路徑會(huì)顯示紅綠燈較多，有的路徑會(huì)顯示路程較遠(yuǎn)等．當(dāng)選擇某條路徑行駛到中途，遇到前方擁堵或事故，導(dǎo)航會(huì)提示，并給出備選路徑供選擇．因此，解題時(shí)我們亦可借助思維導(dǎo)圖，對(duì)解題路徑“模擬導(dǎo)航”，將每條路徑中存在的困難及困難的處理方法清晰呈現(xiàn)．以其直觀性，使得學(xué)生對(duì)題的分析有直覺(jué)認(rèn)識(shí)；以其思維性，使得學(xué)生明晰解題的思維過(guò)程；以其可讀性，使得學(xué)生明確解題路徑方向；以其實(shí)用性，豐富解題教學(xué)功能；以其指導(dǎo)性，提升學(xué)生解題能力．

參考文獻(xiàn)

［1］ ?[美]G·波利亞.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)［M］.劉景麟，曹之江，鄒清蓮，譯. 北京：科學(xué)出版社.

［2］ ?羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論（第二版）［M］.陜西： 陜西師范大學(xué)出版社，2001：1.

作者簡(jiǎn)介 ?周炎（1980—），男，江蘇南通人，中學(xué)高級(jí)教師；江蘇省南通市高中數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，江蘇省南通市優(yōu)秀教育工作者，曾獲江蘇省高中數(shù)學(xué)優(yōu)秀課評(píng)比一等獎(jiǎng)；主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究；發(fā)表論文15篇.