指向數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)教材例習(xí)題研究

王思凱 徐斌艷

【摘 要】 ?例習(xí)題應(yīng)為學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的發(fā)展提供支持.依據(jù)普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)建數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)分析框架，并選取人教A版和滬教版必修第一冊(cè)的例習(xí)題進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)兩版教材的例習(xí)題均重視數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的落實(shí)，在素養(yǎng)各維度及其水平、具體指標(biāo)上呈現(xiàn)出若干鮮明特征，由此得到如何有效落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)培養(yǎng)的教學(xué)啟示.

【關(guān)鍵詞】 ?數(shù)學(xué)運(yùn)算；高中數(shù)學(xué)教材；例習(xí)題

1 ??研究緣起

數(shù)學(xué)教材作為數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的具體化，編寫以培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)為特色的教材，是高中數(shù)學(xué)課程改革的主要亮點(diǎn)[1].《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱新課標(biāo)）也強(qiáng)調(diào)教材編寫應(yīng)凸顯內(nèi)容和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的相互融合[2].當(dāng)前，依據(jù)新課標(biāo)編寫的多版新編高中數(shù)學(xué)教材已投入使用，在強(qiáng)調(diào)以核心素養(yǎng)為抓手落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的時(shí)代背景下，教材作為發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的重要教學(xué)資源，一個(gè)值得研究的問題是：高中數(shù)學(xué)教材是如何體現(xiàn)并落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的.運(yùn)算是數(shù)學(xué)的“童子功”，通過數(shù)學(xué)運(yùn)算對(duì)學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)的思維訓(xùn)練是數(shù)學(xué)育人的基本途徑之一[3，4].新課標(biāo)明確提出數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，并列為六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，強(qiáng)調(diào)其在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性.例習(xí)題作為教材的重要組成部分，是對(duì)課堂教學(xué)內(nèi)容的應(yīng)用、鞏固和深化，對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不可或缺，應(yīng)當(dāng)為學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)提供平臺(tái)和支撐.因此對(duì)高中數(shù)學(xué)教材中的例習(xí)題的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)表現(xiàn)情況進(jìn)行研究，以期為教師深入理解并使用新教材開展教學(xué)以落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)提供建議. 2 ??研究設(shè)計(jì) 2.1 研究對(duì)象選取

選擇由人民教育出版社出版的普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)（A版）[5]（以下簡稱人教A版）和上海教育出版社出版的普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)[6]（以下簡稱滬教版），運(yùn)用文本分析法和統(tǒng)計(jì)分析法，探討兩版教材例習(xí)題的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)表現(xiàn)情況.其中，人教A版的習(xí)題包括練習(xí)、習(xí)題和復(fù)習(xí)參考題；滬教版的習(xí)題包括練習(xí)、習(xí)題和復(fù)習(xí)題；兩版教材的例題均以“例”或“例X（X表示1，2，3，…）”呈現(xiàn).另外，選取的教材內(nèi)容聚焦必修課程的“主題一 預(yù)備知識(shí)”和“主題二 函數(shù)（不含三角函數(shù)）”.具體而言，人教A版包括“集合與常用邏輯用語”“一元二次函數(shù)、方程和不等式”“函數(shù)的概念和性質(zhì)”“指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)”四章；滬教版包括“集合與邏輯”“等式與不等式”“冪、指數(shù)與對(duì)數(shù)”“冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)”“函數(shù)的概念、性質(zhì)及應(yīng)用”五章.2.2 數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)分析框架構(gòu)建 首先，參照新課標(biāo)關(guān)于數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的內(nèi)涵描述及水平劃分，從情境與問題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、交流與反思四個(gè)維度初步確立數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)分析的具體指標(biāo)，同時(shí)將每個(gè)維度劃分為三個(gè)水平；接著依據(jù)指標(biāo)內(nèi)容對(duì)隨機(jī)抽取15%左右的例習(xí)題進(jìn)行預(yù)編碼，根據(jù)編碼結(jié)果與課題組成員商討，對(duì)指標(biāo)進(jìn)行調(diào)整說明，最終構(gòu)建數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的分析框架.

為了便于后續(xù)數(shù)據(jù)編碼收集，分別用Aij，Bij，Cij，Dij（i=1，2，3;j=1，2）表示數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)各維度下各個(gè)水平的具體表現(xiàn)，例如B12表示數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)在知識(shí)與技能維度下水平一的第一種表現(xiàn)，具體如表1所示.

2.3 編碼及數(shù)據(jù)收集

第一步，根據(jù)表1對(duì)兩版教材的例習(xí)題進(jìn)行編碼.若題目包含多道小題，則以小題為單位進(jìn)行編碼；若符合數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)某一維度的某一水平下的某一種表現(xiàn)，則計(jì)數(shù)為1，且只對(duì)最高水平層次下的表現(xiàn)計(jì)數(shù).

第二步，利用EXCEL等軟件統(tǒng)計(jì)編碼數(shù)據(jù)，主要包括各版教材考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的例習(xí)題數(shù)量、素養(yǎng)各維度各水平下的具體表現(xiàn)的出現(xiàn)次數(shù)等.

下面分別以人教A版和滬教版的一道題目為例，闡述如何對(duì)題目進(jìn)行編碼.

（人教A版）8（3）：討論函數(shù)y=x+ k x （k>0）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性.

分析 ?此題是在含參數(shù)的函數(shù)背景下考查學(xué)生對(duì)判斷函數(shù)單調(diào)性方法“取值、作差、定號(hào)、下結(jié)論”的掌握，將函數(shù)單調(diào)性的證明轉(zhuǎn)化為計(jì)算并判斷f（x2）－f（x1）正負(fù)性的運(yùn)算問題.由于運(yùn)算過程涉及x1x2－k的符號(hào)判斷，需將區(qū)間劃分為（0， k ）和［ k ，+∞），再對(duì)每一個(gè)區(qū)間任取x1、x2（x1

（滬教版）例6：已知方程x2+x－3=0的兩個(gè)根為x1、x2，求下列各式的值：

（1）x21x2+x22x1；（2） x1－x2 .

分析 ?例6包含兩小題，需對(duì)每一小題進(jìn)行編碼.以第（1）小題為例，是在一元二次方程背景下考查學(xué)生對(duì)韋達(dá)定理的掌握和應(yīng)用，已明確給出數(shù)學(xué)運(yùn)算問題：求代數(shù)式的值.求解需要先對(duì)代數(shù)式變形得到x1x2（x1+x2），再應(yīng)用韋達(dá)定理得到x1+x2=－1和x1x2=－3，最后代入求值.因此，例6第（1）問在情境與問題維度是水平一的“創(chuàng)設(shè)熟悉的數(shù)學(xué)情境，讓學(xué)生了解運(yùn)算對(duì)象”，知識(shí)與技能維度是水平一的“根據(jù)問題的特征形成合適的運(yùn)算思路，解決問題”，思維與表達(dá)維度是水平一的“在運(yùn)算過程中體會(huì)運(yùn)算法則的意義和作用”，沒有體現(xiàn)交流與反思維度.

為保證編碼信度，挑選兩位參與分析框架研討的數(shù)學(xué)教育方向的研究生，對(duì)兩版教材中的例習(xí)題進(jìn)行背靠背式的獨(dú)立編碼.兩位編碼者在正式編碼前均接受過根據(jù)表1分析例習(xí)題的培訓(xùn)，對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的指標(biāo)內(nèi)容有深入的認(rèn)識(shí)和把握.全部編碼完成后，采用歸類一致性指數(shù)和編碼信度系數(shù)考查編碼的信度.其中，歸類一致性指數(shù)指編碼歸類相同數(shù)占?xì)w類總數(shù)的百分比，即CA=2×S/（T1＋T2），S表示兩位編碼者歸類一致數(shù)，T1、T2表示每人的編碼總數(shù).編碼信度系數(shù)公式為R=2CA/（1＋CA）[7-8].由此計(jì)算得到：CA=0.911，R=0.953，這表明編碼具有較好的信度.對(duì)于編碼不一致的例習(xí)題，兩位編碼者通過協(xié)商討論或征詢第三方的意見得到一致同意的編碼結(jié)果.

3 ??數(shù)據(jù)結(jié)果 3.1 考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)例習(xí)題數(shù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

如表2所示，滬教版考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的例習(xí)題的比例高于人教A版.其中，人教A版在例題、練習(xí)、習(xí)題上考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的比例較均衡，復(fù)習(xí)題考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的比例最多；滬教版在習(xí)題、復(fù)習(xí)題上考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的比例明顯高于其他兩類，練習(xí)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的比例最少.

繪制兩版教材中考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的總題數(shù)在不同類型題目上的分布圖，得到圖1.整體而言，兩版教材考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的題數(shù)在各類型題目上分布不均，按照習(xí)題、練習(xí)、例題、復(fù)習(xí)題的順序遞減.

3.2 例習(xí)題在素養(yǎng)各維度水平上的分布情況

計(jì)算兩版教材中考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的例習(xí)題在各維度水平上的題數(shù)百分比，得到表3和表4.整體來看，兩版教材中考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的例習(xí)題均涉及情境與問題、知識(shí)與技能兩個(gè)維度，交流與反思維度最少，且各維度以水平一為主，水平三幾乎沒有.此外，人教A版在素養(yǎng)各維度水平一上的比例低于滬教版，但在水平二上的比例高于滬教版，尤其是情境與問題維度.

統(tǒng)計(jì)兩版教材分別考查情境與問題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、交流與反思四個(gè)維度的例習(xí)題數(shù)，并計(jì)算相應(yīng)百分比，得到圖2.總體而言，兩版教材例習(xí)題涉及情境與問題、知識(shí)與技能兩個(gè)維度的比例最高且兩者同時(shí)出現(xiàn)，交流與反思維度很少.而且，滬教版在各維度上的例習(xí)題百分比均高于人教A版.

3.3 例習(xí)題在素養(yǎng)指標(biāo)上的分布情況

如圖3所示，兩版教材中考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的例習(xí)題在素養(yǎng)各指標(biāo)上的分布主要集中在A11、B11、B12，其次是A12、A21、B21，其他指標(biāo)較少或幾乎沒有.滬教版考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的例習(xí)題在A11、B12、D11指標(biāo)上的題數(shù)百分比高于人教A版，但在A12、A21、A22、B11、B21指標(biāo)上低于人教A版；其他指標(biāo)上兩版教材沒有明顯差異.

4 ??研究結(jié)論 4.1 兩版教材注重?cái)?shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的落實(shí)，關(guān)注學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)基礎(chǔ)性的發(fā)展教材的例題和課后習(xí)題設(shè)計(jì)部分是數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)實(shí)現(xiàn)的主要依托[9].兩版教材設(shè)置大量考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的例習(xí)題，以等式與不等式內(nèi)容為例，借助等式或不等式的性質(zhì)求解方程（組）和不等式（組），為學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的發(fā)展提供充足的機(jī)會(huì)，一方面重視數(shù)學(xué)或?qū)嶋H情境的創(chuàng)設(shè)要求學(xué)生理解運(yùn)算對(duì)象和問題，另一方面強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)運(yùn)算法則的掌握應(yīng)用、運(yùn)算思路的形成和運(yùn)算方法的選擇.另外，水平一和水平二分別是高中畢業(yè)和高考的要求，水平三是作為大學(xué)自主招生的參考[2].根據(jù)新課標(biāo)關(guān)于課程內(nèi)容的設(shè)置，高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)的知識(shí)以預(yù)備知識(shí)和函數(shù)主題為主，是整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).兩版教材的例習(xí)題對(duì)素養(yǎng)各維度的考查水平的分布符合新課標(biāo)對(duì)高中畢業(yè)生的素養(yǎng)發(fā)展要求在水平一、二上的建議，大多以水平一為主，重在為學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的發(fā)展打基礎(chǔ).4.2 兩版教材重視學(xué)生對(duì)運(yùn)算對(duì)象的識(shí)別把握，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算問題的轉(zhuǎn)化能力

數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)包含兩方面含義，一是用“數(shù)”或“量”表示研究對(duì)象的狀態(tài)、水平、指標(biāo)等；二是通過數(shù)學(xué)運(yùn)算具體地解決問題[10].前者是對(duì)運(yùn)算對(duì)象的理解認(rèn)識(shí)，后者的關(guān)鍵在于能將所要解決的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)運(yùn)算問題.高中階段的運(yùn)算對(duì)象由以往的數(shù)、式拓展到集合、函數(shù)等，兩版教材要求學(xué)生從具體情境中識(shí)別運(yùn)算對(duì)象的題數(shù)比均在70%以上，以此幫助學(xué)生充分體驗(yàn)并認(rèn)識(shí)運(yùn)算對(duì)象的含義.例如對(duì)于集合的運(yùn)算，兩版教材賦予集合中的元素以表示直線上的點(diǎn)、三角形或幸福農(nóng)場(chǎng)的汽車等數(shù)學(xué)或現(xiàn)實(shí)意義，學(xué)生須在把握集合所表示的具體含義的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算.數(shù)學(xué)運(yùn)算問題指向運(yùn)算目標(biāo)，對(duì)運(yùn)算思路的形成、運(yùn)算方法的選擇等起引領(lǐng)作用.兩版教材均安排一定數(shù)量的例習(xí)題（人教A版26.16%；滬教版15.83%），提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算問題的轉(zhuǎn)化能力和意識(shí)，例如將數(shù)式的大小比較轉(zhuǎn)化為作差問題，將函數(shù)奇偶性判斷轉(zhuǎn)化為f（x）和f（-x）的計(jì)算和比較，以此幫助學(xué)生積累從具體情境中將一般問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)運(yùn)算問題的經(jīng)驗(yàn).

4.3 兩版教材強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)運(yùn)算法則的理解應(yīng)用，而且融數(shù)學(xué)思想于運(yùn)算素養(yǎng)之中

運(yùn)算通常被定義為運(yùn)用相應(yīng)的法則和公式對(duì)具體運(yùn)算對(duì)象進(jìn)行變形的演繹過程[11]，這不僅凸顯運(yùn)算法則在運(yùn)算中的地位，而且強(qiáng)調(diào)化歸、推理等數(shù)學(xué)思想在運(yùn)算中的應(yīng)用.兩版教材關(guān)于應(yīng)用運(yùn)算法則正確計(jì)算、體會(huì)法則意義和作用的例習(xí)題比例將近三分之一，對(duì)于n次方根、指數(shù)冪等運(yùn)算法則，先以例題呈現(xiàn)法則的應(yīng)用過程，讓學(xué)生體會(huì)其意義和作用，再借助習(xí)題、練習(xí)等鞏固學(xué)生對(duì)運(yùn)算法則的理解和應(yīng)用.數(shù)學(xué)運(yùn)算是特殊的邏輯推理，兩版教材約有12%的例習(xí)題要求學(xué)生借助運(yùn)算驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論或證明命題真?zhèn)?，在運(yùn)算過程中滲透演繹推理的思想.而且從B12和B21指標(biāo)來看，兩版教材重視學(xué)生根據(jù)問題的特征探究解決問題的運(yùn)算步驟，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想對(duì)運(yùn)算思路設(shè)計(jì)和運(yùn)算方法選取的指導(dǎo)作用.例如，滬教版“習(xí)題2.1”B組第3題可將a-b+c視作整體，再對(duì)x賦值為0直接求解代數(shù)式的值，較之根據(jù)等式恒成立的條件先求解a，b，c的值更簡便，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)整體思想對(duì)運(yùn)算過程的優(yōu)化.4.4 兩版教材注重運(yùn)算過程的程序化，關(guān)注信息技術(shù)在運(yùn)算中的運(yùn)用

運(yùn)算程序是運(yùn)算方法的具體化，是解決一類問題可操作的步驟，也是借助計(jì)算機(jī)和外界力量解決問題的路線圖[12].從B

21和C31指標(biāo)來看，兩版教材均設(shè)置一定數(shù)量的例習(xí)題，要求學(xué)生應(yīng)用或化用已有的解決一類問題的運(yùn)算步驟解決問題，在問題解決過程中感悟程序思想的意義和作用（C22指標(biāo)），例如用函數(shù)方法，借助一元二次函數(shù)圖象的直觀，求解一元二次不等式.而且滬教版會(huì)在題干表述上直接點(diǎn)明用函數(shù)的觀點(diǎn)解不等式，明確突出程序思想方法在運(yùn)算過程中的應(yīng)用.另外，信息時(shí)代的到來為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的變革提供了可能，新課標(biāo)也強(qiáng)調(diào)信息技術(shù)與課程內(nèi)容的深度融合.兩版教材在程序化的運(yùn)算過程中關(guān)注計(jì)算機(jī)等技術(shù)工具對(duì)運(yùn)算的輔助作用，學(xué)生可以借助信息技術(shù)完成具體的運(yùn)算過程，重在掌握算法思想在數(shù)學(xué)運(yùn)算中的運(yùn)用.以二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值為例，關(guān)鍵在于運(yùn)用二分法的思想設(shè)計(jì)如何求函數(shù)零點(diǎn)的一系列步驟，對(duì)于具體自變量的函數(shù)值可利用計(jì)算工具求解. 5 ??教學(xué)啟示

5.1 加強(qiáng)運(yùn)算法則由來及其應(yīng)用的過程性教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)對(duì)算理的精準(zhǔn)理解

運(yùn)算法則是實(shí)施運(yùn)算的基礎(chǔ)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)公式、定理、性質(zhì)等運(yùn)算法則的理解直接制約著其數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的發(fā)展.有調(diào)查表明，超過一半的學(xué)生能記憶運(yùn)算法則但不能在新情境中識(shí)別應(yīng)用[13]，很大程度上就在于學(xué)生沒有獲得對(duì)運(yùn)算法則的本質(zhì)理解，即法則背后蘊(yùn)含的算理.運(yùn)算法則是關(guān)乎算什么以及怎么算的回答，而算理是關(guān)于為什么要這樣算以及怎樣算得好的回答[14].兩者分別是對(duì)運(yùn)算“知其然”和“知其所以然”層面的揭示，運(yùn)算法則的掌握是理解算理的前提.學(xué)生對(duì)算理的認(rèn)識(shí)必須回到對(duì)運(yùn)算法則在“知何由以知其所以然”層面的解釋，即對(duì)運(yùn)算法則由來的推導(dǎo)梳理.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)運(yùn)算的前提和基礎(chǔ)，運(yùn)算法則建立在相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念之上[15].學(xué)生只有完整經(jīng)歷概念的建構(gòu)過程才能獲得對(duì)運(yùn)算法則的精準(zhǔn)理解.以指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)為例，保持運(yùn)算性質(zhì)不變是指數(shù)冪拓展的合理性的關(guān)鍵，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從整數(shù)指數(shù)冪到有理數(shù)指數(shù)冪，再到實(shí)數(shù)指數(shù)冪的拓展過程，建立實(shí)數(shù)指數(shù)冪的概念，從而類比得出指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).另外，法則應(yīng)用的教學(xué)應(yīng)置于具體教學(xué)場(chǎng)景之中，教師通過創(chuàng)設(shè)情境，以問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考什么情況下需要運(yùn)用哪些法則，運(yùn)用法則能對(duì)運(yùn)算起到怎樣的效果，如此學(xué)生才能將法則遷移到新的情境中探索運(yùn)算思路，切忌以解題訓(xùn)練代替算理分析講解[16].

5.2 重視數(shù)學(xué)思想對(duì)運(yùn)算的指導(dǎo)作用，在感悟通性通法中培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算思維

數(shù)學(xué)思想是運(yùn)算之魂，是解決運(yùn)算合理性的基本策略的源泉，是優(yōu)化運(yùn)算過程和選擇運(yùn)算方法的指導(dǎo)原則[17].教師應(yīng)超越運(yùn)算在“術(shù)”層面的操作學(xué)習(xí)，即運(yùn)算技能的訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)運(yùn)算在“道”層面的深度思考，即運(yùn)算過程所反映的數(shù)學(xué)思想，促使運(yùn)算教學(xué)由技能傳授走向素養(yǎng)習(xí)得，真正實(shí)現(xiàn)“道”與“術(shù)”的有機(jī)統(tǒng)一.運(yùn)算思路的探究分析是數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)的核心環(huán)節(jié)，教師帶領(lǐng)學(xué)生在明確運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷執(zhí)果索因、由因?qū)Чp向循環(huán)的探究過程，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想對(duì)運(yùn)算的指導(dǎo)作用.具體而言，教師可以設(shè)計(jì)問題（串）驅(qū)動(dòng)學(xué)生的思考過程，諸如：已知條件有哪些？得到結(jié)論需要什么條件？與已知條件是什么關(guān)系？條件和結(jié)論如何轉(zhuǎn)化？解決主要途徑有哪些？等等[18]，在探尋運(yùn)算方向的過程中體會(huì)轉(zhuǎn)化與化歸思想的導(dǎo)向功能，在選擇運(yùn)算方法并形成運(yùn)算思路的過程中感悟數(shù)形結(jié)合、分類討論、整體化歸等思想方法的指引作用.此外，信息時(shí)代的到來為我們利用計(jì)算機(jī)輔助問題的解決提供了可能，程序化思想（或算法）是實(shí)現(xiàn)這一目的很好的抓手[19]，主要表現(xiàn)為運(yùn)算中的通性通法.通過及時(shí)總結(jié)借助運(yùn)算處理解決一類問題的步驟，如從函數(shù)角度解一元二次不等式的一系列步驟，并以程序框圖的形式呈現(xiàn)，不僅能幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移應(yīng)用，達(dá)到“做一題會(huì)一類通一片”的目的，而且對(duì)通性通法的追求可以激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，在嘗試有序思考問題的過程中培養(yǎng)計(jì)算思維，形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì).

5.3 強(qiáng)化運(yùn)算過程監(jiān)控與運(yùn)算結(jié)果反思環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生更好積累運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的習(xí)得不以片面追求運(yùn)算速度為目的，而應(yīng)在“算得對(duì)”的基礎(chǔ)上從“算得快”走向“算得好”，關(guān)注運(yùn)算過程中思維的訓(xùn)練與經(jīng)驗(yàn)的生成.事實(shí)上，學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的發(fā)展是四個(gè)維度共同作用的結(jié)果，其中“思維與表達(dá)”反映的是數(shù)學(xué)的認(rèn)知活動(dòng)，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考；“交流與反思”涉及數(shù)學(xué)素養(yǎng)的元認(rèn)知和情感層面，要求學(xué)生主動(dòng)監(jiān)控、檢驗(yàn)、調(diào)整和評(píng)估自己的思維過程[11].然而兩版教材中例習(xí)題的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)在上述兩個(gè)維度體現(xiàn)不夠，相關(guān)研究也表明學(xué)生在測(cè)試中表現(xiàn)出較弱的思維與表達(dá)[20].這就要求教師在運(yùn)算教學(xué)中時(shí)刻強(qiáng)化學(xué)生對(duì)運(yùn)算過程的監(jiān)控，以問題導(dǎo)向幫助學(xué)生及時(shí)調(diào)整運(yùn)算策略，尋求過程最優(yōu)化的運(yùn)算方法.運(yùn)算問題的解決并不意味著運(yùn)算思維活動(dòng)的結(jié)束[17]，對(duì)運(yùn)算結(jié)果的檢驗(yàn)是數(shù)學(xué)運(yùn)算必不可少的環(huán)節(jié).雖然教材中例習(xí)題涉及的交流與反思很少，但教師可以設(shè)計(jì)學(xué)生展示、同伴交流等課堂活動(dòng)，在借助運(yùn)算及其結(jié)果闡釋問題的過程中促使學(xué)生深入思考運(yùn)算過程及結(jié)果的合理性和嚴(yán)謹(jǐn)性.經(jīng)驗(yàn)的積累是學(xué)習(xí)體驗(yàn)獲得結(jié)構(gòu)化改造的過程，學(xué)生只有親身經(jīng)歷完整的運(yùn)算活動(dòng)，及時(shí)監(jiān)控與反思運(yùn)算過程及結(jié)果，才能逐漸積累運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)并不斷修正再生，內(nèi)化為數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

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作者簡介 ?王思凱（1995—），男，浙江仙居人，博士研究生；主要研究數(shù)學(xué)教材.

徐斌艷（1964—），女，上海人，教授，博士生導(dǎo)師;主要研究數(shù)學(xué)課程與教學(xué).