觀圖形之美，得思維之源

姜會(huì)珍

【摘要】學(xué)生在掌握判定三角形全等的基礎(chǔ)上，通過觀察讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)如何從“旋轉(zhuǎn)模型”轉(zhuǎn)化成“手拉手模型”，結(jié)合動(dòng)手操作實(shí)驗(yàn)更深入地了解“拉手”，進(jìn)一步總結(jié)出“手拉手模型”的一般特征，讓學(xué)生能夠在復(fù)雜圖形中找到“手拉手模型”，再通過從變化中尋找不變的學(xué)習(xí)思路，經(jīng)歷猜想、證明的過程得出一般性結(jié)論，從而更好地幫助學(xué)生解答復(fù)雜圖形中包含“手拉手模型”的題目.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；三角形全等；手拉手模型

1 基本情況分析

在本節(jié)內(nèi)容之前，學(xué)生經(jīng)歷了全等圖形、全等三角形以及判定三角形全等等學(xué)習(xí)過程，掌握了三角形全等的性質(zhì)定理及判定定理，熟悉通過提出猜想、證明猜想的探究過程，這為他們總結(jié)出手拉手模型的一般性結(jié)論提供了思路.初中生正處在具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的時(shí)期，Geogebra動(dòng)態(tài)展示正好可以作為本節(jié)課這兩種思維過渡的“中介”.在動(dòng)態(tài)圖形的觀察過程中提升學(xué)生的實(shí)踐能力和思維創(chuàng)造力.

2 教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn) 通過觀察、動(dòng)手操作發(fā)現(xiàn)“手拉手模型”的特征.

難點(diǎn) 證明“手拉手模型”的一般性結(jié)論.

3 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

課前準(zhǔn)備 希沃白板，刻度尺，Geogebra軟件.

3.1 展示動(dòng)態(tài)圖形，歸納模型特征

操作1 展示共頂點(diǎn)以及相同頂角的兩個(gè)等腰三角形的動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)過程，你有什么發(fā)現(xiàn)？（先展示兩個(gè)全等的等腰三角形，再展示兩個(gè)相似等腰三角形，如圖1－圖6）

設(shè)計(jì)說明 兩個(gè)全等的等腰三角形繞著頂點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過程中出現(xiàn)的三種特殊情況，如圖1-圖3，在旋轉(zhuǎn)角為0°時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)B與點(diǎn)D重合此時(shí)兩個(gè)三角形完全重疊在一起；當(dāng)旋轉(zhuǎn)角小于頂角時(shí)，此時(shí)兩個(gè)等腰三角形部分重疊，頂角有一部分屬于公共部分，∠COA +∠COB=∠BOD +∠COB，底邊AB和CD有交點(diǎn)；當(dāng)旋轉(zhuǎn)角大于頂角時(shí)，兩個(gè)等腰三角形沒有重疊部分.這三幅圖是旋轉(zhuǎn)過程中出現(xiàn)的特殊情況.通過兩個(gè)全等三角形的旋轉(zhuǎn)將學(xué)生引入本節(jié)課的主核—旋轉(zhuǎn)定模.本著由易到難的原則，接下來將全等三角形改為兩個(gè)相似三角形的旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)中出現(xiàn)的特殊情況與全等三角形出現(xiàn)的特殊情況相同，如圖4-圖6.

操作2 兩個(gè)等腰三角形的底邊的左邊端點(diǎn)與左邊端點(diǎn)相連，右邊端點(diǎn)與右邊端點(diǎn)相連，然后旋轉(zhuǎn)，你有什么發(fā)現(xiàn)？（這里僅考慮相似等腰三角形的情況）

設(shè)計(jì)說明 以兩個(gè)共頂點(diǎn)的相似三角形為例，讓學(xué)生自己完成“拉手”的過程，拉手遵循左拉左，右拉右的原則.更深入地感受手拉手模型的特征.拉手以后就完成了手拉手模型的構(gòu)建.通過模型的構(gòu)建過程可以總結(jié)出“手拉手模型”的特點(diǎn)：（1）兩個(gè)等腰三角形共頂點(diǎn)；（2）頂角相同；（3）左手拉左手，右手拉右手.

將其中一個(gè)等腰三角形旋轉(zhuǎn)可以出現(xiàn)以下特殊情況，如圖7，圖8，也是本節(jié)課要重點(diǎn)研究的圖形.

3.2 融合模型特征，探索一般結(jié)論

問題1 我們已經(jīng)知道了“手拉手模型”的特征，觀察模型你有什么發(fā)現(xiàn)？如圖7部分重疊手拉手，填寫已知與求，并寫出證明過程.

設(shè)計(jì)說明 通過提問給學(xué)生指出思考方向，讓學(xué)生觀察模型，提出猜想，因?yàn)槭窃趯W(xué)完三角形全等的判定以后展開的本節(jié)課，所以學(xué)生思路會(huì)往三角形全等上面走，在學(xué)生思考的過程中給予適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，以部分重疊手拉手為例，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)兩個(gè)“左手”與拉手的那條線段與兩個(gè)“右手”與拉手的那條線段組成的兩個(gè)三角形全等，即△AOC≌△BOD，接著可以提問學(xué)生：要想證明這兩個(gè)三角形全等，我們已經(jīng)有什么條件，哪些是直接條件，哪些是間接條件，如何把間接條件轉(zhuǎn)化成證明中的直接條件？學(xué)生通過觀察Geogebra動(dòng)態(tài)圖形將這個(gè)問題用數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化成以下題目：如圖7，已知OA=OB，OC=OD，∠AOB =∠COD，

求證：△AOC ≌ △BOD.

目前給的條件符合SAS證明三角形全等，但是其中有一個(gè)條件不是直接條件，需要轉(zhuǎn)化成直接條件，在學(xué)生證明過程中稍加提醒，學(xué)生就可以獨(dú)立完成證明.

證明 因?yàn)椤螦OB =∠COD，

所以∠AOB -∠COB =∠COD -∠COB，

即∠AOC =∠BOD.

在△AOC和△BOD中，

OA=OB，

∠AOC =∠BOD，

OC=OD，

所以△AOC ≌ △BOD（SAS）.

在這里要跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)在證明過程中的角相等是間接條件，兩個(gè)大角相等∠AOB =∠COD，減去公共角∠COB，有∠AOB-∠COB =∠COD -∠COB得出的兩個(gè)角依然是相等的，即∠AOC =∠BOD，在這里用到了等式的性質(zhì)1，等式兩邊減去同一個(gè)數(shù)等式依然成立，所以兩個(gè)角減去同一個(gè)角所得的兩個(gè)角依然相等.證明這兩個(gè)三角形全等的方法是SAS.

對(duì)于圖8，兩個(gè)等腰三角形沒有重疊的部分，此時(shí)上述證明需要將減去公共角∠COB，改為加上公共角∠COB.證明如下：

證明 因?yàn)椤螦OB =∠COD，

所以∠AOB +∠COB=∠COD +∠COB，

即∠AOC =∠BOD，

在△AOC和△BOD中，

OA=OB，

∠AOC =∠BOD，

OC=OD，

所以△AOC ≌ △BOD（SAS）.

在驗(yàn)證三角形全等的證明過程中既鞏固了三角形全等的知識(shí)，又培養(yǎng)了學(xué)生的探索能力，對(duì)于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力有很大的幫助.

問題2 得到兩個(gè)三角形全等以后，觀察模型，你還發(fā)現(xiàn)了哪些相等的角、相等的邊？

設(shè)計(jì)說明 在三角形全等的基礎(chǔ)上繼續(xù)探索相等的角及相等的邊，學(xué)生會(huì)很快地根據(jù)三角形全等的性質(zhì)：全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.得到相等的邊為：AC=BD；相等的角為：∠ACO =∠BDO，∠OCA =∠ODB.這些結(jié)論是三角形全等的引申結(jié)論，這個(gè)問題是為下一個(gè)問題做鋪墊.

問題3 繼續(xù)觀察模型，找一找還有沒有和等腰三角形頂角相等的角？

設(shè)計(jì)說明 問題3是問題2的延伸，排除掉問題2中的角，在剩下的角中尋找會(huì)降低難度，學(xué)生通過觀察比對(duì)發(fā)現(xiàn)還有兩個(gè)角∠AEB，∠DEC與等腰三角形的頂角相等（如圖9全等手拉手），學(xué)生可以得出猜想∠AOB=∠AEB，得出猜想以后需要加以證明，在證明的過程中需要用到上學(xué)期學(xué)過的“八字模型”，證明過程如下：

證明 因?yàn)椤鰽OC ≌ △BOD，

所以∠OAC =∠OBD.

在△AOF中，

∠OAC +∠AOB +∠OFA=180°，

在△BEF中，

∠OBD +∠AEB +∠BFE=180°，

又因?yàn)椤螼FA =∠BFE，

所以∠AOB =∠AEB.

同理可證∠COD =∠CED.

這個(gè)問題對(duì)于學(xué)生的整體素質(zhì)要求很高，在實(shí)際上課的過程中僅有數(shù)位同學(xué)觀察得到，其他同學(xué)需要教師提醒，得出猜想以后對(duì)于“八字模型”的證明也有些障礙，要發(fā)現(xiàn)其中有一組對(duì)頂角相等，還有通過問題2得出的三角形對(duì)應(yīng)角相等.縱觀問題2和問題3，都是在問題1的基礎(chǔ)上進(jìn)行引申得來，所以“手拉手模型”得出△AOC ≌ △BOD是后續(xù)一系列問題探索的根源.

基于問題2和問題3，我們這個(gè)題目可以補(bǔ)充為下題：

如圖9，已知OA=OB，

OC=OD，∠AOB =∠COD.

求證：①=1＼*GB3＼*MERGEFORMAT△AOC ≌ △BOD；

②=2＼*GB3＼*MERGEFORMATAC=BD，∠ACO =∠BDO，

∠AOB =∠ODB;

③=3＼*GB3＼*MERGEFORMAT∠AOB =∠AEB.

至此學(xué)生目前掌握的知識(shí)能夠發(fā)現(xiàn)的結(jié)論已經(jīng)全部得出.

4 結(jié)語

進(jìn)入初中以后，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容抽象程度越來越高，筆者此次的設(shè)計(jì)由易到難，盡管學(xué)生的能力有差異，但是學(xué)生都可以嘗試.例如：基礎(chǔ)薄弱的同學(xué)觀察模型的運(yùn)動(dòng)可以觀察到兩個(gè)全等的三角形，基礎(chǔ)較好的學(xué)生可以觀察整個(gè)圖形的變化，從三角形全等，到相等的邊、相等的角.數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.本節(jié)課是先在旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中找不變，歸納出特征，從而得出一般性結(jié)論.數(shù)學(xué)模型有利于培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的意識(shí)，換個(gè)角度來說，這節(jié)課的設(shè)計(jì)也是一個(gè)轉(zhuǎn)化過程：將動(dòng)態(tài)圖形轉(zhuǎn)化為固定的圖形.模型結(jié)論證明是利用了三角形全等的判定以及全等三角形的性質(zhì)、三角形的性質(zhì)等.這個(gè)過程奇妙而又自然，在今后的教學(xué)中，筆者會(huì)努力與學(xué)生一起嘗試更多的模型類型.

參考文獻(xiàn)：

［1］任志燕.圖形變換思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透研究［D］.上海：上海師范大學(xué)，2012.

［2］黃燕玲，喻平.對(duì)數(shù)學(xué)理解的再認(rèn)識(shí)［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002，11（3）：40-43.