初中學(xué)生“函數(shù)幾何直觀能力培養(yǎng)”的教學(xué)案例分析

胡燕 汪宏玲

【摘要】幾何直觀內(nèi)容貫穿整個(gè)初中階段，對學(xué)生數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)起著重要的作用.一方面，幾何直觀能將抽象的數(shù)學(xué)知識直觀化，讓內(nèi)隱的思維可視化；另一方面，幾何直觀可幫助學(xué)生對事物有所感知，能通過表象抽象出其本質(zhì)特征，且在頭腦中建立事物間的聯(lián)系，從而分析和理解問題.教師要在平時(shí)的教學(xué)中注重幾何直觀能力的培養(yǎng)，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】函數(shù)；幾何直觀；課堂教學(xué)

1 研究背景

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年）》中指出：初中階段，核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為抽象能力、運(yùn)算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識.核心素養(yǎng)的培養(yǎng)有助于學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.而幾何直觀作為核心素養(yǎng)中非常重要的一部分，貫穿了整個(gè)初中階段，在數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率的教學(xué)中均有涉及.下面主要研究在函數(shù)教學(xué)中幾何直觀能力的培養(yǎng)，以本人開設(shè)的區(qū)級公開課“探究函數(shù)y＝x＋1x的圖象和性質(zhì)”為例.

2 教學(xué)設(shè)計(jì)過程

2.1 回顧舊知

我們前面學(xué)過一次函數(shù)和反比例函數(shù)，如圖1所示，你是如何研究的？請談?wù)勀愕南敕?

師生活動(dòng) 引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷列表、描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)圖象，同時(shí)根據(jù)圖象得到函數(shù)的性質(zhì).讓學(xué)生知道反比例函數(shù)圖象被分為兩部分是由函數(shù)表達(dá)式?jīng)Q定的，最后引導(dǎo)學(xué)習(xí)函數(shù)的主要目的是應(yīng)用.

函數(shù)y1＝x

函數(shù)y2＝1x

設(shè)計(jì)意圖 表達(dá)式是數(shù)、圖象是形，我們研究函數(shù)時(shí)要數(shù)形結(jié)合.從而讓學(xué)生總結(jié)研究函數(shù)的一般方法.

2.2 探究活動(dòng)

活動(dòng)一：請畫出函數(shù)y＝x＋1x的圖象.（由表達(dá)式和圖象疊加來分析函數(shù)的圖象）

問題1：你打算如何研究呢？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，師生一起總結(jié).

設(shè)計(jì)意圖：從“表達(dá)式、圖象、性質(zhì)、應(yīng)用”方面來得到研究函數(shù)的一般方法.

問題2：觀察表達(dá)式你得到什么結(jié)論？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，教師板書學(xué)生的猜想.猜想1：x≠0，y≠0；猜想2：函數(shù)圖象在第一、三象限；猜想3：當(dāng)x＜0時(shí)，x＞y；猜想4：當(dāng)x＝－1時(shí)，y ＝－2；猜想5：在同一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生猜想出函數(shù)的一些基本性質(zhì).

問題3：通過對表達(dá)式的初步研究，我們得到了函數(shù)的大致分布和一些性質(zhì)，到底是否正確，請大家現(xiàn)在拿出學(xué)習(xí)單畫出函數(shù)的圖象，畫圖象的一般步驟是什么？

師生活動(dòng)：學(xué)生畫圖，教師巡視，并批改.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過列表、描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)的大致圖象.

追問1：對于這位同學(xué)的表格，你有什么樣的想法？

師生活動(dòng)：學(xué)生通過討論得出列表不全面.應(yīng)該有負(fù)數(shù)，還有分?jǐn)?shù).

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生明白列表取值的重要性.

追問2：你們覺得為什么要取負(fù)數(shù)？為什么要取12？你認(rèn)為取12必要嗎？你是如何想的？

師生活動(dòng)：學(xué)生先思考，再對自己的取值、描點(diǎn)進(jìn)行集體討論，得出x取值的重要性.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過實(shí)踐操作、討論，明白列表中x取值的重要性.

追問3：第一象限，左邊應(yīng)該是如何走向的呢？

師生活動(dòng)：先讓學(xué)生想象，然后再取值畫圖嘗試總結(jié).

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生明白第一象限函數(shù)圖象左邊的走向.

追問4：為什么畫到5不畫了？圖象后面是什么樣子的呢？你是如何判斷的？

師生活動(dòng)：先讓學(xué)生想象，然后再取值畫圖嘗試總結(jié).

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生明白函數(shù)的圖象右邊是無限延伸的.

問題4：列表時(shí)，還要注意什么？描點(diǎn)時(shí)，要注意什么？連線時(shí)，這位同學(xué)用折線連接，你認(rèn)為呢？

師生活動(dòng)：教師提問，學(xué)生回答.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生總結(jié)畫函數(shù)圖象的注意事項(xiàng).

問題5：展示好的學(xué)生作品，這些同學(xué)的圖象畫得都很準(zhǔn)確，如果我們要得到更精確的圖，應(yīng)該如何做呢？

師生活動(dòng)：教師通過幾何畫板演示讓學(xué)生更加直觀明了.

設(shè)計(jì)意圖：通過加密點(diǎn)來獲得精確的圖象.

活動(dòng)二：請寫出函數(shù)y＝x＋1x的性質(zhì).

問題1：你能根據(jù)圖象說出函數(shù)的性質(zhì)嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考回答，教師總結(jié).

設(shè)計(jì)意圖：通過圖象來驗(yàn)證剛剛學(xué)生猜想的函數(shù)性質(zhì)是否正確.

問題2：剛剛前面這些同學(xué)所說的這些結(jié)論正確嗎？我們先看“當(dāng)x＜0時(shí)，x＞y”的想法是否正確？

師生活動(dòng)：學(xué)生判斷前面的猜想是否正確，思考回答，教師引導(dǎo)從式結(jié)構(gòu)驗(yàn)證.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生課堂的生成通過圖象和式結(jié)構(gòu)來驗(yàn)證.

問題3：剛剛前面這位同學(xué)提出“在同一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大”的結(jié)論正確嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生討論，師生得出結(jié)果.

設(shè)計(jì)意圖：強(qiáng)化自變量的取值范圍，同時(shí)讓學(xué)生明白該函數(shù)圖象是兩支.

2.3 課堂小結(jié)

問題：回顧整個(gè)過程，你的收獲是什么？

師生活動(dòng)：學(xué)生總結(jié)，教師適當(dāng)點(diǎn)評補(bǔ)充.

設(shè)計(jì)意圖：研究函數(shù)，我們先分析函數(shù)的表達(dá)式，然后得到函數(shù)的一些圖象特征及性質(zhì)，然后應(yīng)用列表、描點(diǎn)、連線得到函數(shù)的圖象.列表時(shí)應(yīng)注意關(guān)鍵點(diǎn)，描點(diǎn)時(shí)要注意函數(shù)的走向，連線時(shí)要注意用光滑連續(xù)的線從左到右依次連接.而且在研究函數(shù)的過程中，我們應(yīng)用了類比的思想方法以及數(shù)形結(jié)合思想.

2.4 布置作業(yè)

函數(shù)y1＝x與y2＝1x的圖象如圖2所示，下列關(guān)于函數(shù)y＝y(tǒng)1＋y2的結(jié)論：①函數(shù)的圖象關(guān)

于原點(diǎn)中心對稱；②當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x的增大而減??；③當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)圖象最低點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，4）．其中所有正確結(jié)論的序號是_____________．

設(shè)計(jì)意圖：以2017年南京中考題作為作業(yè)，考查學(xué)生對新函數(shù)性質(zhì)的掌握.

2.5 目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)

請你研究函數(shù)y＝1x2.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生明白研究新函數(shù)的一般方法.

課堂上雖然意外很多，但是收獲也很多.回顧整個(gè)課堂，讓我對“函數(shù)幾何直觀的教學(xué)”有以下認(rèn)識：

第一，“函數(shù)幾何直觀的教學(xué)”要求課堂以訓(xùn)練學(xué)生的思維為載體，層層遞進(jìn).課堂教學(xué)的落腳點(diǎn)要定位到人的發(fā)展上，這樣的理念與當(dāng)前提倡的核心素養(yǎng)是不謀而合的.如何讓學(xué)生的思維落地生根，一句話，就是讓學(xué)生的思維活躍起來.

例如 對本節(jié)課的難點(diǎn)，我采用了如下提問方式：

師：對于這位同學(xué)的表格，你有什么樣的想法？

生：列表不全面.應(yīng)該有負(fù)數(shù)，還有分?jǐn)?shù).

師：你們同意嗎？為什么要取負(fù)數(shù)？

生：因?yàn)閤的取值范圍是x≠0.

師：為什么要取12？

生：…….

師：請大家嘗試畫一下看看.

師：你認(rèn)為取12必要嗎？

此時(shí)有取12的同學(xué)舉手.

師：你是如何想的？

生：如果不取12，我們就不知道此時(shí)圖象的走勢.

本節(jié)課通過對學(xué)生思路一層層地抽絲剝繭，最終達(dá)到了很好的效果.

第二，“函數(shù)幾何直觀的教學(xué)”要求教師課堂教學(xué)以生為本，給予學(xué)生自我展示的空間.義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出：數(shù)學(xué)課程應(yīng)致力于實(shí)現(xiàn)義務(wù)教育階段的培養(yǎng)目標(biāo)，要面向全體學(xué)生，適應(yīng)學(xué)生個(gè)性發(fā)展的需要，使得人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.這樣就要求教師要重視學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的主體地位.

例如 課堂上，我讓學(xué)生回答你能得到什么猜想時(shí)，學(xué)生說x＜y，當(dāng)時(shí)我就懵了，因?yàn)閺膩頉]有過預(yù)設(shè)，也沒想到學(xué)生會(huì)如此猜想，然而我故作鎮(zhèn)靜，請這位同學(xué)坐下，通過畫圖的時(shí)間，讓學(xué)生考慮，最終從式結(jié)構(gòu)提問讓學(xué)生獲得了突破，此時(shí)，班級給予了這位同學(xué)雷鳴般的掌聲，這也成為本節(jié)課的亮點(diǎn).

第三，“函數(shù)幾何直觀的教學(xué)”要求教師注重思想方法的歸納，形成思維的邏輯體系.對于數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟可以使學(xué)生從整體和內(nèi)部規(guī)律上掌握系統(tǒng)化的知識，有助于學(xué)生主動(dòng)的建構(gòu)，提高學(xué)生洞察事物、尋求聯(lián)系、解決問題的思維品質(zhì)和各項(xiàng)能力.而本節(jié)課，通過教師對對勾函數(shù)大致→精致→一致的探索過程，充分體會(huì)到了函數(shù)探究的一般本質(zhì)與思想方法，從而為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

6 結(jié)語

路漫漫其修遠(yuǎn)兮，吾將上下而求索，在“函數(shù)幾何直觀的教學(xué)”過程中，我們還需繼續(xù)努力，落實(shí)黨的教育方針和教育思想，為培養(yǎng)現(xiàn)代化的創(chuàng)新型人才而不懈努力.

【課題項(xiàng)目：江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃專項(xiàng)課題.名稱：農(nóng)村初中學(xué)生幾何直觀能力培養(yǎng)的策略研究.編號：XC-c/2021/23】

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部制定.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2022年版［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022（01）：7.

［2］楊俊榮，潘小柳.定理教學(xué)中運(yùn)用分類討論思想方法的案例分析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考.2019（17）：65-68.