“猜想—驗證”的價值意蘊及其教學(xué)策略

江蘇宿遷市實驗小學(xué)（223800） 胡新猛

美國數(shù)學(xué)家波利亞認為，數(shù)學(xué)既要教證明，又要教猜想?！安孪搿炞C”是當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中常見的探究方式，其本質(zhì)內(nèi)涵是學(xué)生通過“提出猜想，然后進行求證，最后得出結(jié)論”這一途徑進行學(xué)習(xí)。不同于傳統(tǒng)的教學(xué)模式，“猜想—驗證”的探究方式旨在幫助學(xué)生在解答數(shù)學(xué)問題時，經(jīng)過猜想、探索、思考和驗證的過程，找到問題的本質(zhì)，進而更好地理解數(shù)學(xué)知識點。在當(dāng)前的小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，猜想是重要的學(xué)習(xí)方式，教師要引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想、積極求證。

一、“猜想—驗證”的本質(zhì)內(nèi)涵及價值意蘊

1.猜想的內(nèi)涵釋義

所謂猜想，就是從未知事物出發(fā)做出某種推測或判斷。人們通常認為數(shù)學(xué)猜想是對未知問題做出的一種假想假設(shè)，一般是一個命題或者是對某個概念進行演繹推理。

數(shù)學(xué)猜想其實是人們在探究數(shù)學(xué)規(guī)律時產(chǎn)生的一種發(fā)散思維，它是一種數(shù)學(xué)想象，是數(shù)學(xué)發(fā)展的動力。學(xué)生在解題過程中，通常會根據(jù)解題需要提出某種猜想。據(jù)此，已有的知識經(jīng)驗和新問題在猜想過程中碰撞出火花，對數(shù)感的提高、推理能力的發(fā)展、數(shù)學(xué)思維的鍛煉等方面都有一定的積極作用。

2.驗證的內(nèi)涵釋義

驗證是在學(xué)習(xí)新知識時，學(xué)生借助相關(guān)材料和知識經(jīng)驗形成有一定根據(jù)的猜測后，通過有效的活動完善自己的猜測，發(fā)現(xiàn)并掌握新知識的過程。

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，驗證主要有兩個方面的含義。一方面，是指對事物進行證實的過程，它與證明類似。數(shù)學(xué)上“證”是指找出矛盾，或者找出某種關(guān)系然后確定它正確與否，“證”也包括對理論、法則、規(guī)律、原理等的檢驗過程。另一方面，驗證是證明的一個組成部分。

在數(shù)學(xué)證明中，首先要找到一個合理的根據(jù)來證明命題正確與否，然后再得出結(jié)論，驗證就是驗證有無矛盾。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要重視猜想，還應(yīng)該重視驗證，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中充分經(jīng)歷探究、推理的過程，從而發(fā)展數(shù)學(xué)思維，形成數(shù)學(xué)思想。

3.“猜想—驗證”的價值意蘊

數(shù)學(xué)猜想蘊含著對未知事物做出可能為真或可能為假的判斷，是一種以實踐中的已有經(jīng)驗為基礎(chǔ)形成的、與實際問題密切聯(lián)系的想象思維過程。通過開展“猜想—驗證”活動，能夠有效地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)他們的自主學(xué)習(xí)技巧，促進他們的知識建構(gòu)和思維能力的發(fā)展。

（1）激發(fā)學(xué)生好奇心，讓學(xué)生勇于質(zhì)疑問難

“猜想—驗證”活動可以幫助學(xué)生從日常生活中發(fā)掘難題，喚起他們的好奇心，讓他們在提出猜想的過程中，體驗探究的快樂，增強自主學(xué)習(xí)的積極性和自信。通過這種方式，學(xué)生可以更好地理解和解決問題。通過“猜想—驗證”活動，學(xué)生可以更加積極地探索、發(fā)現(xiàn)、思考和探究，從而培養(yǎng)出強烈的探索欲、求知欲，讓他們在數(shù)學(xué)中得到更多的快樂。

（2）提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力，讓學(xué)生掌握學(xué)習(xí)策略

“猜想—驗證”是一種極具價值的學(xué)習(xí)方式，它能夠為學(xué)生提供一種有效的學(xué)習(xí)策略，從而讓他們更好地理解和掌握知識，并且能夠有效地提高他們的學(xué)習(xí)能力。

（3）構(gòu)建學(xué)生認知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生完善知識體系

學(xué)習(xí)者可以利用已有的認知經(jīng)驗，深入探索知識點之間的聯(lián)系，并將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識運用到實際中，從而發(fā)現(xiàn)并解決問題，有效地提升學(xué)習(xí)者對知識點的理解，有助于建立和完善自身的知識體系。

（4）促進學(xué)生思維發(fā)展，讓學(xué)生拓寬思維空間

“猜想—驗證”是一種有效的思維方式，它有助于學(xué)生從日常生活中發(fā)現(xiàn)問題，并進行想象、創(chuàng)造和思維的再加工，進行合理推測再驗證，從而提高學(xué)生的思維。因此，“猜想—驗證”可以被視為一種想象與創(chuàng)造的過程。驗證是一個嚴密的思考過程，它有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，從而讓學(xué)生更好地理解和應(yīng)用知識。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生經(jīng)歷豐富、有效的猜想、驗證等探究活動，能夠發(fā)展思維能力，進而不斷地拓展思維空間。

二、數(shù)學(xué)“猜想—驗證”的理論基礎(chǔ)

1.波利亞解題理論

波利亞認為學(xué)生學(xué)習(xí)思考的方法才是更重要的。他強調(diào)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)和主動學(xué)習(xí)，同時強調(diào)要大膽猜想，激發(fā)學(xué)習(xí)動機，要經(jīng)歷啟發(fā)、探究、證明、定義的闡明以及消化吸收知識的過程。波利亞解題理論提供了教學(xué)設(shè)計的基本環(huán)節(jié)和重要方式。首先，透過創(chuàng)造好玩的場景來引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；其次，提出有意思的問題，引導(dǎo)學(xué)生思考；最后，鼓勵學(xué)生積極探究、仔細推敲，最終得出有價值的結(jié)論。

2.弗萊登塔爾“再創(chuàng)造”理論

弗萊登塔爾的“再創(chuàng)造”理論強調(diào)在數(shù)學(xué)活動中學(xué)生的主體性以及激發(fā)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的重要性，還有“再創(chuàng)造”意義的重要性?！霸賱?chuàng)造”的核心是“數(shù)學(xué)過程再現(xiàn)”，教師不應(yīng)將新的知識灌輸給學(xué)生，而應(yīng)讓學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中，自己通過觀察思考對知識有一個創(chuàng)造過程。相比傳統(tǒng)教學(xué)形式，學(xué)生在自己的主動發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造中所收獲的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)能力更豐富，更有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的可持續(xù)發(fā)展。

3.建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論

建構(gòu)主義教學(xué)理念強調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力、主動性和獨立思考能力。它重視學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗，并將其作為教學(xué)過程中不可或缺的一部分。在課堂教學(xué)中要強調(diào)學(xué)生的主體地位，教師是引導(dǎo)者，學(xué)生是學(xué)習(xí)者，教師引導(dǎo)學(xué)生運用已有的知識和經(jīng)驗，通過創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫澈陀袃r值的問題來建構(gòu)新知識，在這個過程中增強學(xué)生的推理能力，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)思維。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)猜想教學(xué)現(xiàn)狀分析

1.猜想缺乏關(guān)聯(lián)性材料

數(shù)學(xué)猜想的形成需要一定的基礎(chǔ)，比如已有的事實材料和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識。然而，教師往往不會提供這些材料來幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)猜想，因此學(xué)生很難自己去推斷。當(dāng)前課堂上的教學(xué)素材大多與學(xué)生的生活經(jīng)驗缺乏聯(lián)系。因此，學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想缺乏依據(jù)。沒有可靠證據(jù)支撐的猜想只會是毫無根據(jù)的空洞想法，毫無意義。

2.猜想缺乏驅(qū)動的核心問題

數(shù)學(xué)課堂要想引起學(xué)生認知沖突，數(shù)學(xué)教材應(yīng)該設(shè)置各種有挑戰(zhàn)性的活動。在當(dāng)前的數(shù)學(xué)課堂中，教師應(yīng)當(dāng)以培養(yǎng)學(xué)生的認知基礎(chǔ)為根本，引導(dǎo)學(xué)生探索知識，激起他們探索的興趣。然而，由于當(dāng)前教材編排的情境內(nèi)容不夠豐富，學(xué)生的思維受到了限制，因此教師在引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生思考時，往往只能停留在對教材的基本要求上。這樣，自然就限制了學(xué)生猜測和驗證的思維空間，不利于數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

3.猜想不能抓住問題本質(zhì)

皮亞杰認知發(fā)展階段論指出，小學(xué)階段的兒童尚未能夠完全理解事物之間的相互聯(lián)系，他們的思維受到自身已有經(jīng)驗的限制，仍然以直觀形象為主，而且這些形象事物是他們思考的基礎(chǔ)。例如，在學(xué)習(xí)抽象的規(guī)律探索類知識時，教學(xué)模式大多以教師直接講授為主，教師在課堂上干預(yù)得多，探索過程相對瑣碎。大多數(shù)學(xué)生學(xué)完這類知識后不久就忘記了，努力回憶卻不能準確再現(xiàn)。究其原因，學(xué)生是被動地、機械地學(xué)習(xí)，并不理解規(guī)律背后的道理。因此，學(xué)生不能抓住問題的本質(zhì)進行猜想。

4.猜想淡化規(guī)律的探究過程

在當(dāng)前的小學(xué)數(shù)學(xué)猜想課堂中，教師往往會過于注重對基礎(chǔ)知識的講授，忽視學(xué)生對結(jié)論和規(guī)律的理解。這樣的課堂變成了授受式的，學(xué)生只是被動地接受知識，這種情況導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中缺乏探究精神，無法充分利用時間和空間進行觀察、試驗、猜想和證明等數(shù)學(xué)活動。因此，教師應(yīng)該更加重視學(xué)生的探究能力，并給予他們足夠的時間和空間來完成這些數(shù)學(xué)活動。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅僅是記住一些規(guī)律和結(jié)論，更重要的是要深入理解數(shù)學(xué)思想方法，積累豐富的實踐經(jīng)驗，以便更好地掌握數(shù)學(xué)知識。因此，課堂教學(xué)不能忽略探究規(guī)律的過程，更應(yīng)該科學(xué)地凸顯數(shù)學(xué)內(nèi)在邏輯。

猜想是學(xué)習(xí)中最具創(chuàng)造力的一環(huán)，它可以啟發(fā)學(xué)生的智慧，讓他們在解題過程中勇于探索、大膽猜想，并且積極求證，從而使思維朝著更深層次的方向發(fā)展。因此，教師應(yīng)該采取有效措施，改進教學(xué)方式，讓學(xué)生在解題過程中更加自信、勇敢地探索，從而提高學(xué)習(xí)效果。

四、“猜想—驗證”的教學(xué)策略

1.優(yōu)選研究素材，開啟發(fā)現(xiàn)之窗

在實際教學(xué)中，一些教師只是通過舉例來驗證結(jié)論，這使得學(xué)生無法有效地思考并有根據(jù)地解釋這些結(jié)論，從而導(dǎo)致他們的思維沒有得到鍛煉。那么，什么樣的素材能更好地激發(fā)學(xué)生進一步探索特征背后的規(guī)律？什么樣的研究素材更能引導(dǎo)學(xué)生通過猜想、驗證、質(zhì)疑等思維方式開展研究？

比如教學(xué)“3 的倍數(shù)的特征”時，筆者在否定了“判斷一個數(shù)是不是3 的倍數(shù)，只看個位上的數(shù)”的猜想之后，組織學(xué)生研究第二種猜想“是不是要看各個數(shù)位上的數(shù)字之和”。同時根據(jù)學(xué)生“多找一些3 的倍數(shù)來研究”的意見，筆者對教材上的百數(shù)表（如圖1）進行改編，推出如圖2所示的百數(shù)表。

圖1 教材上的百數(shù)表

圖2 改編后的百數(shù)表

筆者引導(dǎo)學(xué)生從改編的百數(shù)表中找出3 的倍數(shù)，觀察表中3 的倍數(shù)的排列情況并說出自己的發(fā)現(xiàn)。學(xué)生發(fā)現(xiàn)3 的倍數(shù)都排成了斜線；每條斜線上相鄰的兩個數(shù)都相差9；從上往下看，每條斜線上的數(shù)，個位上的數(shù)依次減1，十位上的數(shù)依次加1；每條斜線上的數(shù)，個位上的數(shù)與十位上的數(shù)相加的和都是3 的倍數(shù)。學(xué)生由此提出猜想：“一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和是3 的倍數(shù)，這個數(shù)就是3 的倍數(shù)?！苯又P者組織學(xué)生在更大范圍內(nèi)驗證猜想。

教材在編排“3 的倍數(shù)的特征”這一內(nèi)容時，設(shè)計了百數(shù)表作為研究素材，組織學(xué)生在百數(shù)表中圈3的倍數(shù)，再通過觀察、比較、交流等活動，找出3的倍數(shù)的特征。筆者在教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)，雖然3 的倍數(shù)在教材的百數(shù)表上也排成了斜線，但由于整十?dāng)?shù)都在最右邊一列，導(dǎo)致有的斜線上各位上的數(shù)相加之和不全相等。為了便于學(xué)生歸納3 的倍數(shù)的特征，筆者讓整十?dāng)?shù)在表格最左側(cè)，這樣規(guī)律更明顯，學(xué)生更容易從某一類現(xiàn)象中找出一些相同的特征，從而得出與特征相適應(yīng)的結(jié)論。因此，選擇適合的研究素材是必不可少的，而對學(xué)生來說，優(yōu)秀的研究素材更能幫助他們打開發(fā)現(xiàn)之窗。

2.問題驅(qū)動，起疑思理

優(yōu)秀研究素材的呈現(xiàn)更容易凸顯數(shù)學(xué)知識背后的規(guī)律，打開學(xué)生的探究之窗。探究之窗打開后，還需好問題驅(qū)動，好問題更能引發(fā)學(xué)生猜想，讓學(xué)生思考結(jié)論背后的道理。問題能夠激發(fā)學(xué)生的思考和深度學(xué)習(xí)。比如教學(xué)“積的變化規(guī)律”時，筆者首先出示20×3，接下來出示表1，固定第一個乘數(shù)20 不變，改變另外一個乘數(shù)，讓學(xué)生觀察思考積的變化情況。

表1 第一個乘數(shù)不變，改變第二個乘數(shù)時積的變化規(guī)律

學(xué)生通過觀察、比較提出猜想：“一個乘數(shù)不變，另一個乘數(shù)乘幾，所得的積等于原來的積乘幾?！?/p>

筆者再出示表2，轉(zhuǎn)換視角：“如果第二個乘數(shù)不變，改變第一個乘數(shù)，猜想是否還成立？”

表2 改變第一個乘數(shù)，第二個乘數(shù)不變時積的變化規(guī)律

學(xué)生獨立完成，討論交流后提出猜想：“一個乘數(shù)不變，另一個乘數(shù)乘幾，所得的積就等于原來的積乘幾?！痹诖嘶A(chǔ)上，筆者出示表3，用驅(qū)動性問題組織學(xué)生自主探究進行驗證：“我們從20×3 這個算式的變與不變中發(fā)現(xiàn)了積的變化規(guī)律。在其他乘法算式中是不是也存在著同樣的規(guī)律？這個規(guī)律是否具有普遍性？請用表3探究?！?/p>

表3 其他乘法算式中積的變化規(guī)律

最終學(xué)生得出結(jié)論：“一個乘數(shù)不變，另一個乘數(shù)乘幾，所得的積等于原來的積乘幾?！?/p>

學(xué)生從上課開始到這個環(huán)節(jié)結(jié)束，說過三次“一個乘數(shù)不變，另一個乘數(shù)乘幾，所得的積等于原來的積乘幾”這樣的結(jié)論，但每次認識的程度都不一樣。初說結(jié)論，僅僅是初悟規(guī)律；第二次說出結(jié)論則是在完整感知的基礎(chǔ)上提出猜想；第三次是通過探究得出的結(jié)論。但僅憑一個例子所得的結(jié)論是不可靠的，因此筆者在前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生進行思考，筆者用“是不是在其他的乘法算式中也存在著同樣的規(guī)律？這個規(guī)律有沒有普遍性呢？”這組問題帶動學(xué)生大膽猜想并主動進行舉例驗證。雖然學(xué)生的推理論證并不嚴密，但舉例有利于增強規(guī)律的可信度，有利于培養(yǎng)學(xué)生理性的精神。

優(yōu)秀的問題是深入探究的基礎(chǔ)，沒有這些問題就無法進行更深入的數(shù)學(xué)研究。學(xué)生可以通過學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)知識來探索新的問題，這樣就會激發(fā)他們的探究欲望，并且促使他們以積極的態(tài)度參與到規(guī)律探究的活動中來。

3.追本溯源，直面本質(zhì)內(nèi)涵

有效的問題能切入學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，激活已知、溝通聯(lián)系、聚焦困惑，引導(dǎo)學(xué)生自主探究知識的本質(zhì)，闡明其背后的道理。真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，是學(xué)生能知道知識的來龍去脈，知其然并知其所以然，在學(xué)習(xí)的過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

比如教學(xué)“和的奇偶性”時，在自主探索中內(nèi)化規(guī)律這一環(huán)節(jié)，筆者首先請學(xué)生分別觀察黑板上的兩組算式：奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)。學(xué)生提出疑問：“為什么‘奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)’？為什么和是奇數(shù)的情況只有一種，而和是偶數(shù)的情況卻有兩種？”筆者舉例進行啟發(fā)：“人數(shù)為偶數(shù)的班級中，學(xué)生兩個兩個地坐在一起是什么情況？人數(shù)為奇數(shù)的班級中，學(xué)生兩個兩個地坐在一起又是什么情況？”學(xué)生說出對結(jié)論的理解：“因為一個數(shù)除以2，余數(shù)一定比除數(shù)2小，所以沒有余數(shù)或余數(shù)是1，沒有余數(shù)就代表正好除完沒有剩余?！苯又P者出示6 個活動小組人數(shù)的模型圖（如圖3），讓學(xué)生判斷每個小組的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)。

圖3 活動小組人數(shù)的模型圖

在此基礎(chǔ)上筆者追問：“如果把①組和④組兩個小組的學(xué)生合起來，還要求大家兩個兩個地坐在一起，會是什么樣子？”然后引導(dǎo)學(xué)生用“加余數(shù)”的方法判斷，通過這樣的直觀展示，學(xué)生很容易明白和的奇偶性中蘊含的數(shù)學(xué)道理。

教學(xué)過程中教師引導(dǎo)學(xué)生將已有的生活經(jīng)驗和數(shù)學(xué)知識進行結(jié)合分析，在活動中層層突破難點，幫助學(xué)生慢慢發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，通過富有層次性的活動，引導(dǎo)學(xué)生一步一步走向深度探究，實現(xiàn)思維進階、深度建構(gòu)。

數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是思維過程。猜想與驗證有助于思維的提升，而有效的教學(xué)則是提升學(xué)生思維品質(zhì)的途徑。