核心素養(yǎng)之數(shù)學建模能力的培養(yǎng)

摘 要：本文分析了高中生數(shù)學建模能力現(xiàn)狀：整體能力比較薄弱，具體體現(xiàn)在實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力不足；利用已學知識構(gòu)建數(shù)學模型的能力薄弱；數(shù)據(jù)整理與加工的能力欠缺；數(shù)學運算能力有待提高這幾個方面。本文以線性回歸模型為例，從建模全周期的視角和知識與概念教學兩方面論述培養(yǎng)學生數(shù)學建模能力的策略。建模全周期包含實際問題抽象成數(shù)學問題、數(shù)據(jù)探索、模型變換與確定、數(shù)據(jù)異常值處理、模型擬合效果評價幾個方面的微能力。概念與知識的教學層面又可以細分為打通概率知識與統(tǒng)計知識的聯(lián)系橋梁、線性回歸方程知識系統(tǒng)化教學、數(shù)值計算合理化訓練三個方面。

關鍵詞：高中數(shù)學；數(shù)學建模；線性回歸

中圖分類號：G6３? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? 文章編號：1673-9132（2023）25-00４５-03

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2023.25.0１５

高中數(shù)學核心素養(yǎng)數(shù)學建模能力的要求：能用數(shù)學語言表達實際問題，從實際角度選擇或者構(gòu)建合適的數(shù)學模型，通過數(shù)學運算解出結(jié)論，驗證其結(jié)果的可靠性，改進模型再驗證最后可以利用模型解決實際問題。數(shù)學建模中存在大量的模型，而高中階段線性回歸模型是學生學習比較深入的模型?；诂F(xiàn)實考慮，結(jié)合線性回歸教學實際，我們要深度培養(yǎng)學生的建模能力。

一、高中生數(shù)學建模能力現(xiàn)狀

數(shù)學建模是兼具實踐技能與理論基礎的一種數(shù)學活動。數(shù)學建模能力最直接的體現(xiàn)就是在解應用題上。高中部分有勻速圓周運動模型、指數(shù)對數(shù)函數(shù)模型、線性回歸模型等。從教學實踐中發(fā)現(xiàn)，學生在解數(shù)學模型類題型時往往十分吃力。這和模型類題型具有的特點有很大的關系。模型類題型的主要特點：（1）題目文字信息量巨大，閱讀起來十分吃力；（2）無法從題目給出的信息轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)學問題；（3）題目中含有大量數(shù)據(jù)，但是不知道如何整理這些數(shù)據(jù)；（4）在煩瑣的題目上摸索很長時間最后發(fā)現(xiàn)公式記不清了。特別是遇到線性回歸模型問題時，這些問題可以得到集中體現(xiàn)。其具有的特點：一道題型所占篇幅往往是一整頁試卷，十分考驗學生的數(shù)學抽象能力；很多數(shù)據(jù)十分考驗學生數(shù)據(jù)敏感性；公式冗長、計算繁雜，十分考驗學生的數(shù)據(jù)運算能力。

二、從建模全周期的視角培養(yǎng)數(shù)學建模能力

（一）實際問題抽象成數(shù)學問題的能力

從實際情境中快速提取對問題緊密相關的數(shù)據(jù)信息。教學中，教師要引導學生主動忽略背景知識中無關緊要的信息，緊緊圍繞和數(shù)值有關的諸如長度、距離、金額等數(shù)據(jù)，讓學生思考這些數(shù)據(jù)信息，有沒有哪些變量可以構(gòu)建類似的函數(shù)關系，找到隱含的自變量x，因變量y。確定了自變量與因變量之后，教師就可以引導學生利用符號化語言來表達這個數(shù)學問題，完成實際問題到數(shù)學問題的抽象過程。

（二）數(shù)據(jù)探索能力

在構(gòu)建數(shù)學模型的過程中，對數(shù)據(jù)的整體把握是最重要的環(huán)節(jié)。以高中階段統(tǒng)計知識為例，我們可以通過一些特征數(shù)（平均值、中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標準差），了解數(shù)據(jù)的特征。我們還可以利用圖表的方式了解數(shù)據(jù)的整體分布情況，如頻率分布直方圖、條形圖、莖葉圖等。做完這些數(shù)據(jù)探索之后，判斷是否可以使用線性回歸模型的重要依據(jù)就是兩個變量的相關性的強弱。相關系數(shù)r≥0.6是通常判斷是否可行的一個指標。相關系數(shù)公式rxy= 。恰當選擇公式可以優(yōu)化計算過程。當然除了相關系數(shù)外，另一個比較直觀的工具是散點圖。散點圖可以快速知曉數(shù)據(jù)的變化趨勢，判斷兩個變量之間是否具有線性關系。教學過程中，教師要強調(diào)相關系數(shù)和散點圖的含義，讓學生掌握通過相關系數(shù)或者散點圖解讀兩個變量的相關關系。學生經(jīng)常會向教師提出這樣的問題：相關系數(shù)正負值與散點圖數(shù)據(jù)的趨勢中的斜率是什么關系？教學中與一次函數(shù)單調(diào)性相結(jié)合，函數(shù)圖像的上升趨勢與下降趨勢與散點圖非常相似，用知識遷移的方式講解散點圖趨勢、相關系數(shù)正負值與一次函數(shù)x的系數(shù)正負值的關系。

例1：某垃圾處理站2017年至2021年生活垃圾無害化處理量（單位：萬噸）。

由散點圖可看出，年份x與y符合線性回歸模型。請從相關系數(shù)層面進行說明為什么符合線性回歸模型。

0.99相關系數(shù)0.99，相關性非常高，符合線性回歸模型。

（三）模型轉(zhuǎn)換與確定模型的能力

該散點圖上的點更多在這個模型函數(shù)圖像周圍。

（四）數(shù)學建模之異常數(shù)據(jù)處理的能力

數(shù)據(jù)中常常遇到異常值，異常值的產(chǎn)生可能是系統(tǒng)誤差也可能是偶然誤差。有異常值的出現(xiàn)會對整個模型產(chǎn)生重大影響，影響結(jié)果的準確性。利用錯誤的數(shù)據(jù)將得到錯誤的模型，而錯誤模型對預測結(jié)果與實際結(jié)果將是天差地別。異常值最簡單的處理方法就是剔除異常值。當剔除個別數(shù)據(jù)不影響數(shù)據(jù)的整體性時，優(yōu)先剔除異常值。判斷異常值最直觀的方法就是散點圖。教學中，我們可以適當結(jié)合例題說明異常值對整個模型的影響，并思考如何去除異常值。

解：通過分析圖2可知出現(xiàn)一個異常點（2.2，5.15）。

（五）數(shù)學建模之評價模型的能力

模型建立好之后，如何判斷模型的優(yōu)劣？線性回歸模型擬合效果的主要兩個途徑：一個是利用線性回歸直線與散點圖位置關系，散點是否聚集在直線周圍。另一個是利用殘差分析知識，擬合優(yōu)度值R2越接近1越好。高中線性回歸模型學習，重點部分在線性回歸模型公式的運用，但在線性模型的選擇和擬合效果的殘差分析上，大部分教師會因為課時和考試評價原因忽略這一部分知識點的教學。所以除了學習線性回歸模型公式外，教師還需要對擬合效果進行特別教學，促使學生快速掌握模型評價能力。

三、從概念與知識的教學考慮回歸模型的能力培養(yǎng)

（一）打通概率知識與統(tǒng)計知識的聯(lián)系橋梁

任何數(shù)學建模都是建立在一定的數(shù)學概念與知識的基礎上的，所以高中階段對概念與知識的學習絕對是重點。只有透徹學習概念與知識之后，我們應用起來才得心應手。線性回歸部分設計概率與統(tǒng)計的概念與知識。統(tǒng)計方面涵蓋知識：抽樣方法、樣本數(shù)據(jù)的四大特征（眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差與標準差）、頻率分布直方圖、回歸分析與獨立性檢驗。概率方面涵蓋知識：古典概率、條件概率、兩點分布、二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布、離散型隨機變量分布列、連續(xù)型或離散型隨機變量均值與方差。概率統(tǒng)計的學習具有很強的應用性。概率的隨機變量與統(tǒng)計的分布是相輔相成的關系。隨機變量與函數(shù)自變量相比，函數(shù)的自變量是確定的，而隨機變量是不確定的。與大多數(shù)數(shù)學問題是確定性問題不同，“概率統(tǒng)計”中的變量具有不確定性。這個不確定特指隨機變量所取的值具有概率性，這是統(tǒng)計的核心。統(tǒng)計調(diào)查的每個部分都與隨機變量有關，把統(tǒng)計的概念同變量的理解聯(lián)系起來，有助于強化學生對統(tǒng)計的理解。在學習線性回歸模型模塊時，我們可以按照建模的步驟進行學習，分別是問題分析、數(shù)據(jù)提取、數(shù)據(jù)整理、數(shù)據(jù)分析，這樣學生可以完整地把握線性回歸過程。另一個核心是利用大數(shù)定理來介紹概率與頻率的關系、頻率分布直方圖與連續(xù)型隨機變量概率密度函數(shù)的關系。

（二）線性回歸方程知識系統(tǒng)化教學

四、結(jié)語

數(shù)學建模是一個系統(tǒng)工程，只有從建立線性回歸模型全周期角度培養(yǎng)學生的抽象能力、數(shù)據(jù)探索能力、模型變換能力、異常值處理能力、模型評價能力，才能將線性回歸建模完全掌握。教學實踐中，特別需要注意線性回歸模型背后蘊含的概率統(tǒng)計的概念與知識是其最重要的理論支撐。推廣到一般模型，建立模型的全周期和支撐其模型背后的是扎實的數(shù)學概念與數(shù)學知識。教師不必束縛于題海當中，而應當跳出題型框架來進行教學，使學生的數(shù)學建模素養(yǎng)得到切實提升。

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［責任編輯 杜建立］