一道中考二次函數(shù)綜合題的解法探究*

合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院(230601) 程麗雲(yún) 張新全

1 真題呈現(xiàn)

(2022 年福建省中考數(shù)學(xué)第25 題) 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線y=ax2+bx經(jīng)過A(4,0),B(1,4)兩點.P是拋物線上一點,且在直線AB的上方.

(1)求拋物線的解析式;

(2)若ΔOAB面積是ΔPAB面積的2 倍,求點P的坐標(biāo);

(3) 如圖1,OP交AB于點C,PD//BO交AB于點D.記ΔCDP, ΔCPB, ΔCBO的面積分別為S1,S2,S3. 判斷是否存在最大值. 若存在,求出最大值;若不存在,請說明理由.

圖1

圖2

圖3

圖4

2 試題解讀

本題是2022 年福建中考數(shù)學(xué)壓軸題,以二次函數(shù)與平面幾何知識為背景,重點考查了與二次函數(shù)有關(guān)的面積問題.該題涉及的數(shù)學(xué)核心概念主要有: 一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角形的面積、銳角三角函數(shù)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等;本題蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法主要有: 數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)學(xué)建模思想、轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想等;本題考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要有: 運算能力、推理能力、空間觀念、幾何觀念和創(chuàng)新意識等.

三個小題由淺入深,層層推進(jìn). 第(1)小題涉及求二次函數(shù)解析式,主要考查待定系數(shù)法、方程思想等;第(2)小題中ΔOAB與ΔPAB具有公共邊,ΔOAB的面積是ΔPAB面積的2 倍, 則以AB為底的兩三角形的高也具有倍半關(guān)系.本題可以考慮的思路較多,最直接的方法是利用公式法分別將兩個三角形的面積用坐標(biāo)表示出來,分別將兩個三角形的面積用坐標(biāo)表示出來,建立等量關(guān)系即可求解出點P的坐標(biāo),也可以根據(jù)面積比轉(zhuǎn)化為高的比,進(jìn)而可以轉(zhuǎn)化為線段PC與OC的長度之比,再轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之比,進(jìn)而求出點P的坐標(biāo);第(3)小題在第(2)小題的基礎(chǔ)上求面積比和的最大值,繼續(xù)深入研究三角形面積問題.這是近兩年以來考查比較多的問題,通?？疾閮蓚€共邊三角形面積之比的最值,利用A 字型或者X 字型的相似轉(zhuǎn)化為求線段的最值.而解決這一問的關(guān)鍵是充分利用平行得到相似三角形,最終通過將三角形的面積比轉(zhuǎn)化為線段比,從而直達(dá)本真,化繁難為簡捷,求解出比值的最值. 而學(xué)生需要實破的第一點是利用有公共邊的三角形同底不同高或同高不同底的性質(zhì),將面積比轉(zhuǎn)化為線段比或者相似比,第二點是斜線段的比值轉(zhuǎn)化成豎直或者水平線段之比,充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想,轉(zhuǎn)化過程需要學(xué)生巧妙添加輔助線,靈活運用數(shù)學(xué)知識,這對學(xué)生的思維水平有較高要求,同時學(xué)生需要進(jìn)行細(xì)致的觀察、合理的聯(lián)想、縝密的推理,具有較大的難度和挑戰(zhàn)性.

3 解法探究

3.1 第(1)小題解法

3.2 第(2)小題解法

3.3 第(3)小題解法

思路一: 構(gòu)造“A 型”相似求解

解法1 因為PD//BO, 所以∠DPC= ∠BOC,

解法2如圖5, 過點D向y軸作垂線DS, 分別過點B、點C向x軸作垂線BS和CT. 因為直線OB的解析式為:y= 4x,則可設(shè)直線PD的解析式為y= 4x+b,設(shè)點

圖5

解法3如圖6, 過點P作AB的平行線l. 設(shè)點P的

圖6

因為拋物線與平行線l只有一個交點, 所以Δ = 0,

點評通過作平行線段構(gòu)造“A 型”相似,證明三角形相似,由相似三角形的性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為平行線分線段成比例是解決此類問題的通性通法.思路二: 構(gòu)造“X 型”相似求解

解法4如圖7,過點C作CM⊥y軸,垂足為M,延長CM到點N,過點P作PN⊥CM于N. 因為PN//OM,所

圖7

解法5 如圖8,過點P作PR⊥x軸,交AB于點R,延長

圖8

所以當(dāng)m=

解法6 如圖9, 過點P和O分別作AB的垂線,垂足分別為M和N. 因為PM//ON, 所以∠PMC=∠ODC, ∠MPC= ∠NOC, 則ΔPMC∽ΔONC, 所以因為PM和ON是ΔABP和ΔABO的

圖9

點評通過作垂線構(gòu)造“X 型”相似,利用相似三角形的性質(zhì)將問題就轉(zhuǎn)化為求線段比值之和最大值,然后設(shè)未知量列方程,是求解此類問題的常見求解策略.

思路三: 利用位似比求坐標(biāo)比

點評位似法是解決與線段有關(guān)的幾何問題的常用方法.利用三角形位似比設(shè)出點C的坐標(biāo)比,將點C代入直線AB中,可直接將直線AB的解析式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的形式,最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值.

思路四: 利用三角函數(shù)求解

解法8如圖10, 過點P向x軸作垂線PT,過點D向PT作垂線DT,二者交于T.軸, 所以∠TDA= ∠DAO,且∠PDB是定值. 所以∠PDT是定值, 在RtΔPRD中, sin ∠PDT也 是 定 值,

圖10

解法9同解法8, 在RtΔPRD中, cos ∠PDT是定

點評在RtΔPRD中借助“三角函數(shù)”由∠PDT的正余弦值推理得到線段PT或DT與線段PD間的長度關(guān)系,最后利用點坐標(biāo)表示出線段的二次函數(shù)方程,求出的最大值.

4 解后反思

通過多視角的解題分析可以發(fā)現(xiàn),2022 年福建中考數(shù)學(xué)對二次函數(shù)綜合題的考查立意新穎,靈活多樣,不僅考查了學(xué)生對函數(shù)基本知識的掌握情況,還考查了他們的數(shù)學(xué)思維能力與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 中考二次函數(shù)綜合題具有極高的靈活性和多樣性,沒有一種固定的解決方法[2]. 因此,在日常教學(xué)中,教師可以依托解題活動訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維,注重多視角分析綜合題,對綜合題進(jìn)行一題多解的思考與探究,幫助學(xué)生形成運用數(shù)學(xué)思維方法尋找解題思路的習(xí)慣,培養(yǎng)從多個角度分析和解決問題的能力.