數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)
——以“二次函數(shù)”單元設(shè)計(jì)為例

華南師范大學(xué)附屬中學(xué)(510620) 許 健

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2022 版)明確指出“為實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo),不僅要整體把握教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián),還要把握教學(xué)內(nèi)容主線與相應(yīng)核心素養(yǎng)發(fā)展之間的關(guān)聯(lián).”核心素養(yǎng)是指學(xué)生應(yīng)具備的能夠適應(yīng)終生發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力,是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn). 數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)主要抓好四個方面:“情境與問題”、“知識與技能”、“思維與表達(dá)”、“交流與反思”,所以對應(yīng)的教學(xué)任務(wù)設(shè)計(jì)應(yīng)該要設(shè)計(jì)合適的教學(xué)情境、把握好數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)、啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考、積累數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn). 為了達(dá)成以上的教學(xué)目標(biāo)與課堂要求,在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2022 版)中的“教學(xué)建議”部分提出了要“注重教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化、注重教學(xué)內(nèi)容與核心素養(yǎng)的關(guān)聯(lián)以及重視單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)[1].”

章建躍博士提出單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)可以充分“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統(tǒng)性, 切實(shí)防止碎片化教學(xué), 通過有效的“四基”“四能”教學(xué),使數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)真正落實(shí)于課堂[2].”可見單元整體化教學(xué)的核心是追求教學(xué)系統(tǒng)化,但系統(tǒng)化有時需打破教材已有的章節(jié)框架,正如新課程標(biāo)準(zhǔn)里指出“要改變以課時為單位的教學(xué)設(shè)計(jì),應(yīng)整體分析教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,合理安排整合教學(xué)內(nèi)容,整體設(shè)計(jì),分步實(shí)施,促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的整體理解和把握.”

整體分析教學(xué)內(nèi)容是單元教學(xué)設(shè)計(jì)的起點(diǎn),全方位了解知識的結(jié)構(gòu),教師整體把握教學(xué)的知識、內(nèi)容與思想,需要落實(shí)的核心素養(yǎng);符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律是落腳點(diǎn),偏離學(xué)生認(rèn)知的總是難以達(dá)成理想的效果,所以了解學(xué)生的已有認(rèn)知及思維特征和能力是教學(xué)設(shè)計(jì)的重要環(huán)節(jié);落實(shí)教學(xué)的內(nèi)容、知識和思想是教學(xué)設(shè)計(jì)的突破點(diǎn), 結(jié)合知識和思想的分析,教師針對性的對單元教學(xué)進(jìn)行設(shè)計(jì),設(shè)計(jì)出既能貼近學(xué)生認(rèn)知,又能落實(shí)知識、思想、重點(diǎn)核心素養(yǎng)的教學(xué)方案.

1 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)導(dǎo)向下單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)的準(zhǔn)備

單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)由宏觀到微觀共分四個層次: 數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容之間及其與相鄰學(xué)科的聯(lián)系、高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系、數(shù)學(xué)單元之間的聯(lián)系、單元內(nèi)部各個課時之間的聯(lián)系.[3]通過對整體的深入研究,形成核心素養(yǎng)落點(diǎn)的重要載體、模塊知識學(xué)習(xí)的基本思路、辨析定義、定理、結(jié)論的思想方法、探究、解決問題的策略體系的架構(gòu).

1.1 分析單元的地位——以大單元為舵,指導(dǎo)教學(xué)要求

通過了解上位知識從宏觀層面了解“研究內(nèi)容的本質(zhì)是什么”、“為什么要研究”,由下位知識從微觀角度分析“用什么研究方法”“研究哪些內(nèi)容”“如何應(yīng)用這些知識”等. 二次函數(shù)的上位知識是函數(shù). 下位知識是二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)及其應(yīng)用等.

函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最基本的概念,是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語言,是解決客觀、實(shí)際問題非常重要的工具. 它貫穿了整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯(如圖1).

圖1

史寧中教授將數(shù)學(xué)的基本思想歸結(jié)為三個核心要素: 抽象、推理、模型[4]. 函數(shù)的知識是實(shí)現(xiàn)三大基本思想的優(yōu)良載體,函數(shù)是從現(xiàn)實(shí)中的變量關(guān)系抽象而來,再在形式抽象的基礎(chǔ)上進(jìn)行二次抽象,實(shí)現(xiàn)符號化、形式化和公理化的表達(dá).運(yùn)用形象思維、邏輯思維和辯證思維進(jìn)行推理,實(shí)現(xiàn)函數(shù)體系的完善和研究手段的豐富,最終運(yùn)用函數(shù)思想與模型思想解決現(xiàn)實(shí)問題. 整理函數(shù)知識的整體框架,從現(xiàn)實(shí)中的一些變量關(guān)系引出函數(shù)的概念. 由離散的視角初步認(rèn)識和學(xué)習(xí)函數(shù),進(jìn)而用連續(xù)的視角分析性質(zhì);以一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)作為基礎(chǔ)示例幫助學(xué)生建立認(rèn)知,并借助這些基本初等函數(shù)的研究,了解函數(shù)的一般研究方法,特別需要注意的是,函數(shù)這套研究方法是一以貫之的,因此讓學(xué)生熟練掌握函數(shù)研究方法是一項(xiàng)重要的教學(xué)目標(biāo).

1.2 分析課程要求——以小單元為軸,確定單元目標(biāo)

何小亞教授提出“先從整體知識的研究對象、研究方法和用途等方面給學(xué)生一個全面的概述,使學(xué)生對知識單元有一個整體的認(rèn)識,然后逐個學(xué)習(xí)[5]”的教學(xué)策略. 明確培養(yǎng)的一般方法,關(guān)鍵能力,基本思想方法和核心素養(yǎng)的情況下,教師思考如何把這些內(nèi)容合理且有效地嵌入課堂. 現(xiàn)以“二次函數(shù)”為例探究單元整體教學(xué)設(shè)計(jì),結(jié)合整體要求,制定本單元學(xué)習(xí)目標(biāo).

第一、理解變量的二次關(guān)系,學(xué)會運(yùn)用不同的方法刻畫變量的二次關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.

第二、會靈活運(yùn)用二次函數(shù)的不同表達(dá)形式. 函數(shù)表示的三種基本形式: 列表法、圖象法、解析法. 圖象的探究不能只停留于描點(diǎn)法,還應(yīng)掌握運(yùn)用圖象變換探究函數(shù)圖象的方法;對于解析法應(yīng)要求學(xué)生能夠根據(jù)不同的條件選用不同的解析式表達(dá),并理解交點(diǎn)式的豐富內(nèi)涵.

第三、掌握二次函數(shù)的性質(zhì)并熟練運(yùn)用. 函數(shù)的性質(zhì)是函數(shù)學(xué)習(xí)重要的外顯、輸出部分,掌握二次函數(shù)的最值、增減性和對稱性,會運(yùn)用這些性質(zhì)解決相關(guān)問題.

第四、掌握函數(shù)的研究方法. 不難發(fā)現(xiàn),函數(shù)的主干內(nèi)容和學(xué)習(xí)路徑類似(如圖2 所示). 研究時特別關(guān)注以下幾個方面: 1、代數(shù)的運(yùn)算與圖象的表達(dá)并形成數(shù)形結(jié)合思想;2、探究函數(shù)與方程、不等式三者的密切聯(lián)系,形成轉(zhuǎn)化與化歸思想;3、通過二次函數(shù)的分類討論,提升學(xué)生的邏輯意識,培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)推理的思維.

圖2

第五、主要數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展. 經(jīng)過二次函數(shù)的學(xué)習(xí)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng),特別是數(shù)學(xué)建模能力.

總而言之,二次函數(shù)的單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)采用“總—分-—總”的方式,在上位知識——函數(shù)的一般性概念和常用研究過程與手段的指導(dǎo)下,進(jìn)行下位知識的單元主題教學(xué),教會學(xué)生函數(shù)的研究角度和方法,結(jié)合不同課時內(nèi)容,合理地培養(yǎng)知識能力、落實(shí)數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng),建構(gòu)學(xué)生的抽象、推理、模型的數(shù)學(xué)思想,發(fā)展學(xué)生的相關(guān)核心素養(yǎng).

2 核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的學(xué)情、教法學(xué)法分析

根據(jù)核心素養(yǎng)的要求,教學(xué)要關(guān)注學(xué)生的“四基”“四能”的發(fā)展. 所以進(jìn)行學(xué)情分析時則應(yīng)關(guān)注已有的“四基”“四能”的水平,明確通過單元學(xué)習(xí)后需要達(dá)到的水平,而兩者的“中間區(qū)域”則是學(xué)生需發(fā)展與提升的. 因此學(xué)情分析應(yīng)了解學(xué)生現(xiàn)有水平,結(jié)合“中間區(qū)域”尋找有效的教法,學(xué)法指導(dǎo)則是保證學(xué)生在清晰的邏輯下自主的發(fā)展與提升,形成繼續(xù)學(xué)習(xí)的能力.

2.1 學(xué)情分析——以學(xué)情為槳,幫助知識吸收

知識與技能方面: 學(xué)生已經(jīng)學(xué)過了函數(shù)的概念及其性質(zhì),一次函數(shù)的概念、圖象及其性質(zhì)、一次函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系;了解函數(shù)的結(jié)合圖象的定性研究方法,具有運(yùn)用數(shù)形結(jié)合處理數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗(yàn),但靈活運(yùn)用不足;

經(jīng)驗(yàn)與活動方面: 學(xué)生處于抽象思維初建階段,從客觀事物抽象出數(shù)學(xué)知識以及對抽象對象的二次抽象能力欠缺;嚴(yán)晴,喻平在《初中生邏輯推理能力的現(xiàn)狀調(diào)查》得出了“初中生掌握了基本的邏輯推理能力,對邏輯形式的認(rèn)識不足難以保證推理的順利進(jìn)行”[7]的結(jié)論.

發(fā)現(xiàn)與提出問題方面: 這個階段的孩子大多以被動學(xué)習(xí)為主,主動發(fā)現(xiàn)問題的意識不夠強(qiáng),但是在認(rèn)識問題后提出問題的能力尚可.

分析與解決問題方面: 學(xué)生具備一定分析問題的能力,但是由于邏輯推理的能力所限,有時會提出一些想法,但推導(dǎo)過程的嚴(yán)謹(jǐn)性不足;解決問題能力主要依靠模仿,自主解決問題的意識不足.

2.2 教法及學(xué)法的指導(dǎo)——以學(xué)生為能,驅(qū)動自主學(xué)習(xí)

知識與技能方面: 借助同化的形式幫助學(xué)生學(xué)習(xí)二次函數(shù)的概念、探討二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),運(yùn)用圖式的形式學(xué)習(xí)二次函數(shù)的圖象變換,培養(yǎng)學(xué)生作圖意識,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)與方程、不等式在圖象上的表達(dá),培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力. 以問題導(dǎo)向型課堂為主, 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、提出問題,強(qiáng)調(diào)學(xué)生利用已有知識和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行知識自主建構(gòu)和自發(fā)研究.

經(jīng)驗(yàn)與活動方面: 采用順應(yīng)的方式研究二次函數(shù)的最值,二次函數(shù)、方程及不等式關(guān)系,函數(shù)的應(yīng)用則可以鼓勵學(xué)生留意生活中與二次函數(shù)相關(guān)的問題;設(shè)計(jì)探究式課堂,激發(fā)學(xué)生思考和思維的互動,組織學(xué)生個人反思及小組討論學(xué)習(xí),最終達(dá)到學(xué)生思維水平的提升,在順應(yīng)的過程中可以在教材的基礎(chǔ)上增加部分內(nèi)容,以加深學(xué)生的認(rèn)識.

在整個單元的學(xué)習(xí)過程中,學(xué)生要做好兩個方面: 一要建立知識思維導(dǎo)圖,結(jié)合所學(xué)知識更新思維導(dǎo)圖并嘗試突破章節(jié)限制,與其他的所學(xué)知識構(gòu)成更為龐大的知識系統(tǒng). 二要總結(jié)學(xué)習(xí)模式,歸納思想方法,形成一套有清晰邏輯線的函數(shù)單元體系及函數(shù)知識的學(xué)習(xí)體系.

3 單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)

為了達(dá)成學(xué)生對知識的系統(tǒng)認(rèn)識,思想方法的融會貫通,核心素養(yǎng)的頓悟提升,結(jié)合“研究什么? ”“怎么研究? ”“研究目的? ”“如何運(yùn)用? ”“存在哪些外延和內(nèi)涵? ”“如何實(shí)現(xiàn)思想方法的滲透和核心素養(yǎng)的提升? ”等問題,進(jìn)行二次函數(shù)的單元整體教學(xué)設(shè)計(jì).

本單元整體設(shè)計(jì)并未嚴(yán)格按照人教版的的章節(jié),考慮知識的延續(xù)性和思維、方法的一貫性以及學(xué)生的已有能力,對個別知識內(nèi)容進(jìn)行了調(diào)整,如添加了二次函數(shù)在給定區(qū)間的最值討論和一元二次不等式;加強(qiáng)一次函數(shù)與二次函數(shù)的關(guān)系研究,引導(dǎo)學(xué)生分析一次函數(shù)和二次函數(shù)的交點(diǎn)的分布問題. 具體設(shè)計(jì)方案如表1.

表1

4 單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)評價

教學(xué)評價是對教學(xué)效度的重要評判依據(jù),PISA 關(guān)于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的評價中強(qiáng)調(diào)“超數(shù)學(xué)情境”能夠有效的測試學(xué)生的核心素養(yǎng),數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)強(qiáng)調(diào)的過程、思想和經(jīng)驗(yàn),并不獨(dú)立于知識、技能、思想、經(jīng)驗(yàn)之外,曹一鳴教授提出了探索學(xué)生的“表現(xiàn)性評價”與“真實(shí)性評價”來評價核心核心素養(yǎng)[8].

“表現(xiàn)性評價”主要體現(xiàn)在學(xué)生課堂上的表現(xiàn),通過設(shè)計(jì)現(xiàn)實(shí)的、可操作性的任務(wù),學(xué)生在探究和解決問題上的表現(xiàn),以及研究過程中提出問題的能力及問題的深度進(jìn)行學(xué)生學(xué)習(xí)的評價. 如探究二次函數(shù)的最值問題,結(jié)合“過山車”的模型,探究車體的最高位置與最低位置,教師觀察學(xué)生對此問題的討論及分類,結(jié)合學(xué)生進(jìn)行該問題的遷移思考進(jìn)行學(xué)習(xí)評價.

“真實(shí)性評價”則是力圖糾正標(biāo)準(zhǔn)化紙筆測試的弊端,通過復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題和不良結(jié)構(gòu)的問題來檢驗(yàn)學(xué)生的發(fā)展能力. 不應(yīng)限于書面的作業(yè)、測試,還可添加研究性學(xué)習(xí)的活動.如學(xué)完二次函數(shù)與不等式的關(guān)系后,在習(xí)題中可以加入非二次函數(shù)與相關(guān)不等式的求解,以檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的掌握程度和函數(shù)與方程思想的理解程度.

單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)的目的不只是停留在知識層面,更重要的是能力和思想上的提升,而以上兩種評價方式恰與目標(biāo)吻合,不是停留在程序的解答、復(fù)制及再現(xiàn),而是評價學(xué)生潛在的思維水平和應(yīng)用知識的能力.

5 核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)的反思

5.1 以大單元為視角,看到數(shù)學(xué)知識的整體結(jié)構(gòu)及本質(zhì)

遵循數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)的的單元整體教學(xué)設(shè)計(jì),凸顯數(shù)學(xué)的概念(知識)的強(qiáng)邏輯性,按照一定的層次、網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)形成一套有序的組織,函數(shù)的內(nèi)容更是如此,如果教師和學(xué)生的眼光只是停留在二次函數(shù), 最終很可能“只見樹木, 不見森林”,不利于學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的其他相關(guān)內(nèi)容. 通過搭建大單元的知識框架,教師先看清看透,帶著“針”和“線”和學(xué)生一同串聯(lián)知識,讓學(xué)生的知識建構(gòu)呈現(xiàn)體系化;學(xué)生在此過程中內(nèi)化知識的體系,發(fā)現(xiàn)知識的本質(zhì),掌握研究的方法,發(fā)展數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

5.2 以“學(xué)生主體”為線索,摸索探究助學(xué)生走向深廣

“以生為本”是在核心素養(yǎng)下教學(xué)的課堂要求,以學(xué)生認(rèn)知水平和已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ),明確需達(dá)成的思想、方法和核心素養(yǎng),遵循學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)情況下,合情合理地進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì),可有效地避免“下手過重”或者“意猶未盡”的情況發(fā)生. 一元二次不等式的求解問題是聯(lián)系代數(shù)與幾何、呈現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的重要材料,雖然課本上并沒有專列內(nèi)容進(jìn)行講解,但當(dāng)帶著學(xué)生函數(shù)與方程時,再進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)不等式與方程、函數(shù)的關(guān)系,學(xué)生不存在思維上的阻礙和能力上的限制,因此,結(jié)合學(xué)生的具體情況和能力,聯(lián)系教學(xué)內(nèi)容的要求,對教學(xué)進(jìn)行大膽的設(shè)計(jì),引導(dǎo)學(xué)生探一探深度,看一看廣度,讓學(xué)生更全面、更深層地認(rèn)識知識,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品格的提升.

5.3 以整體分析作為節(jié)點(diǎn),培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力

建立有序、整體、系統(tǒng)的知識脈絡(luò), 單元小結(jié)不容小覷,本著“總—分—總”的結(jié)構(gòu)進(jìn)行二次函數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)充分考慮到總結(jié)歸納的重要作用,對于“二次函數(shù)”的單元總結(jié)甚至針對函數(shù)相關(guān)章節(jié)進(jìn)行總結(jié),在回顧重要知識點(diǎn)的同時,與學(xué)生一起理清脈絡(luò)、歸納方法,梳理函數(shù)的研究過程,找出邏輯線,并將學(xué)生帶往更“高處”,從更高的觀點(diǎn)找到不同函數(shù)的共同點(diǎn),透過一些簡單基本函數(shù)看到函數(shù)的本質(zhì),形成舉一反三的能力,并創(chuàng)造學(xué)生獨(dú)立研究陌生函數(shù)的機(jī)會,提升自主學(xué)習(xí)的意識和遷移應(yīng)用的能力.

單元教學(xué)的核心思想與重要成果與核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是高度吻合的,重視學(xué)生的邏輯與思維的培養(yǎng). 課堂不僅限于知識的講解、方法的訓(xùn)練,更注重引領(lǐng)學(xué)生全面、寬廣地了解知識,抓住知識的本質(zhì)屬性,抓住不同知識的共同特征. 單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)恰是一個符合育人要求、學(xué)科需求、學(xué)生發(fā)展的可行路徑,按照數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)科學(xué)地、有效地設(shè)計(jì)單元主體,組織合適的活動及相應(yīng)的評價,促使學(xué)生數(shù)學(xué)思想的生成及核心素養(yǎng)的落地.