一道中考題的變式探究與思考*

廣東省佛山市順德區(qū)北滘鎮(zhèn)君蘭中學(xué)(528311) 李美蘭

對(duì)“一題”逐層變式的深入研究,充分聚焦核心知識(shí),有助于拓寬解題思路,發(fā)展學(xué)生的思維能力,提高學(xué)生應(yīng)變能力,增強(qiáng)學(xué)生面對(duì)新問(wèn)題敢于聯(lián)想分析、敢于創(chuàng)新的自信,從而提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力.

考題呈現(xiàn)如圖,ΔABC沿DE折疊,點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)F處,且ED//BC,下列結(jié)論中,一定正確的是1○ΔBEF是等腰三角形; 2○ED=2BC; 3○四邊形ADFE是菱形; 4○∠BEF+∠FDC=2∠A

解析: 本題的立意考查學(xué)生的幾何素養(yǎng): 空間觀念、幾何直觀、軸對(duì)稱和推理能力. 并考查做題技巧:排除與推理相結(jié)合. 考查的知識(shí)側(cè)重點(diǎn): 1○側(cè)重考查等腰三角形和菱形的判定; 2○側(cè)重考察中位線的判定與性質(zhì); 3○側(cè)重考查對(duì)折的性質(zhì)運(yùn)用. 由平行的同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等,以及對(duì)折的對(duì)應(yīng)角相等,可知1○是對(duì)的;因?yàn)镋,D不是中點(diǎn),易知2○是錯(cuò)誤的;由對(duì)折的對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=EF,AD=EF,但不具備菱形的判定條件,故3○是錯(cuò)的;由對(duì)折的對(duì)應(yīng)角相等及兩對(duì)互補(bǔ)的平角可得4○是對(duì)的.

在本題作為例題的講解時(shí),若只就題講題,學(xué)生的思維是不能得到提升與拓展的,我們?cè)诮虒W(xué)中,若能對(duì)例題進(jìn)行多角度的變式與改編, 并發(fā)揮學(xué)生主動(dòng)參與思考的能動(dòng)性,教學(xué)便能事半功倍,下面筆者以該題為例來(lái)闡述變式教學(xué)的的改編思路與方法:

1 將題目條件一般化

改編1 如圖, ΔABC沿DE折疊, 點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)A1處, ∠A=70°,CΔABC= 8, 則下列的結(jié)論: 1○ΔBEA1是等腰三角形; 2○DE//BC; 3○∠2+

本題的改編多了周長(zhǎng)的計(jì)算,實(shí)際上該題是綜合考查對(duì)折的對(duì)應(yīng)邊與等量代換思想,教學(xué)中可設(shè)問(wèn):

師: 比較上一題,條件發(fā)生了哪些改變?

師: 除了該題的改編,你還可以將題目進(jìn)行怎樣的變化?(接下來(lái)進(jìn)行“你出題,我來(lái)做”小組活動(dòng))

2 將題目條件特殊化

改編2如圖,RTΔABC沿DE折 疊, 點(diǎn)A落 在邊BC上 的 點(diǎn)A1處,∠A= 70°,CΔABC= 8,則下列的結(jié)論: 1○AE=AD; 2○∠1-∠2 = 20°; 3○∠2 + ∠3 + 2∠C= 180°;4○CΔEBA1+CΔDCA1=8. 正確的有( )個(gè).

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

為增加角度的計(jì)算和代換,筆者在本題將任意三角形換成了直角三角形,并增加了一個(gè)已知的銳角,在原題基礎(chǔ)上稍稍降低了難度. 課堂上為了引導(dǎo)學(xué)生思考我們可以在學(xué)生獨(dú)立思考后,再增加問(wèn)題引導(dǎo):

師: ΔDEA1是等腰三角形嗎?

師: 題目中直角三角形能得出哪些性質(zhì)?

師: 這個(gè)性質(zhì)能解決題目中哪些結(jié)論?

以上三個(gè)設(shè)問(wèn)讓學(xué)生獨(dú)立思考后,把想法與小組其它同學(xué)進(jìn)行交流.

3 繼續(xù)將條件層層遞進(jìn)更特殊化

改編3如圖, 等邊ΔABC沿DE折疊, 點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)A1處, ∠A= 70°,CΔABC= 8, 則下列的結(jié)論: 1○ΔDEA1是等腰三角形; 2○ΔBEA1與ΔCDA1相似;3○∠2+∠3 = 120°; 4○CΔEBA1+CΔDCA1= 8. 正確的是

本題改編增加了相似三角形的考查,通過(guò)角的關(guān)系,學(xué)生容易得到∠1 = ∠2, 而∠B= ∠C= 60°,由此得知兩個(gè)三角形相似, 所有2○是正確的.

該題中我們將選擇形式改為填空題,實(shí)際上是提高了難度,減少學(xué)生利用排除法等因素來(lái)做題、排除法是選擇題完成的重要方法,但有時(shí)未理解知識(shí),卻猜對(duì)了,那將原題的設(shè)問(wèn)改編為填空題、就避免這種情況,使學(xué)習(xí)真正發(fā)生.

我們還可以在這基礎(chǔ)上,繼續(xù)讓圖形更加特殊化: 若點(diǎn)A1是BC的中點(diǎn),讓學(xué)生繼續(xù)探討能從圖中得出哪些其它結(jié)論?

在這變化過(guò)程中,滲透研究問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想和方法從一般到特殊,或者從特殊到一般,在特殊的圖形里探索開(kāi)放性的結(jié)論,難度說(shuō)大也不大,但卻能拓寬學(xué)生事業(yè),培養(yǎng)學(xué)生批判性思維.

4 將某些條件發(fā)生改變,結(jié)論同時(shí)改變

改編4如圖,RTΔABC,∠BAC= 90°,∠C= 30°,RTΔABC沿DE折疊,點(diǎn)C落在邊BA上的延長(zhǎng)線的點(diǎn)C1處,若C1D⊥BC,則下列的結(jié)論: 1○C1F=EF;2○ΔDFE是等邊三角形;3○ΔABC與ΔDBC1相似;結(jié)論是正確的有( )個(gè).

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

改編分析: 直角三角形的性質(zhì), 特殊角三角函數(shù), 等邊三角形的判定,三角形相似的判定,以及三角形相似的性質(zhì)等知識(shí)綜合起來(lái), 綜合性開(kāi)始逐漸增強(qiáng), 難度也有所增加,題目變式中,學(xué)生進(jìn)一步理解對(duì)折圖形的性質(zhì). 有折疊可知∠C=∠FC1E=30°,利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得∠B= 60°,∠AC1D= 60°, 由此可得∠FC1E= ∠FEC1,1○正確;由對(duì)折可知∠CDE= ∠FDE= 45°,所以2○錯(cuò)誤;由兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似可得3○正確;由兩個(gè)三角形的相似比是可知4○錯(cuò)誤,綜上所述,共有2 個(gè)結(jié)論正確,選B.

5 繼續(xù)設(shè)置開(kāi)放性問(wèn)題

讓學(xué)生思考完成上題改編問(wèn)題后,繼續(xù)設(shè)置開(kāi)放性問(wèn)題,對(duì)學(xué)生的思維火花繼續(xù)推波助瀾,使學(xué)生的思維浪花一波未平一波又起一波.

改編5 追問(wèn): 上題中, 你還能從中得到什么正確的結(jié)論?

此時(shí)的開(kāi)放性設(shè)問(wèn)像是及時(shí)雨,學(xué)生本以為就要解決問(wèn)題了,此時(shí)心理學(xué)有研究說(shuō)明,在接近問(wèn)題解決的尾聲時(shí),人的思維會(huì)逐漸成放松疲憊狀態(tài),注意力也會(huì)開(kāi)始下降,而此時(shí)及時(shí)的進(jìn)一步設(shè)問(wèn),對(duì)學(xué)生的思維火花繼續(xù)推波助瀾,使學(xué)生的思維浪花一波未平一波又起一波.

教學(xué)中教師不僅要善于誘導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,更要善于幫助引導(dǎo)他們總結(jié)歸納問(wèn)題,使其認(rèn)知水平逐步提高. 有了反思要求,就不會(huì)出現(xiàn)一味反復(fù)操練的盲目性,有了反思,就會(huì)既見(jiàn)樹(shù)木,又見(jiàn)森林,就很容易把數(shù)學(xué)過(guò)程抽象化,而不只是把數(shù)學(xué)看作就是一些過(guò)程,一些細(xì)枝末節(jié).

6 將題型改成填空題,讓知識(shí)進(jìn)一步落實(shí)到位

改編6如圖,RTΔABC沿DB折疊, 點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)A1處∠BAC=90°,∠C= 3. 則下列的結(jié)論: 1○A1C=A1B; 2○連接AA1, 則ΔABA1是等邊三角形; 3○四邊形ABA1D是菱形; 4○連接A1F, 則A1F=A1C; 以上正確的結(jié)論是

改編分析: 當(dāng)圖中對(duì)稱軸發(fā)生改變時(shí), 出現(xiàn)了四邊形ABA1D,在原題的基礎(chǔ)上,增加了菱形的判定知識(shí)的考查,這樣的改編,將三角形—直角三角形—四邊形—菱形等知識(shí)進(jìn)行串聯(lián),由點(diǎn)帶線,由線帶面逐步組建知識(shí)結(jié)構(gòu). 而且將考題改為填空題的形式,學(xué)生不能再使用排除法解題,無(wú)疑難度相對(duì)是增加了. 學(xué)生必須具備空間觀念、幾何直觀和推理能力等綜合能力才能解題,讓知識(shí)進(jìn)一步落實(shí)到位.

7 繼續(xù)進(jìn)行開(kāi)放性設(shè)問(wèn),并結(jié)合小組交流,在課堂中期給學(xué)生注入了新鮮的思維生命力與激情

改編7上題解決后,老師進(jìn)一步設(shè)問(wèn): 具備什么條件,四邊形ABA1D會(huì)是菱形?

在數(shù)學(xué)中問(wèn)題無(wú)處不在,疑問(wèn)無(wú)處不在. 因此課堂設(shè)疑提問(wèn)是課堂教學(xué)重要環(huán)節(jié),也是體現(xiàn)我們教師的基本功是否深厚的一把標(biāo)尺. 該問(wèn)題具備有充分的開(kāi)放性,學(xué)生可以回答: 對(duì)邊平行,對(duì)角線互相垂直平分等等條件. 開(kāi)放性的問(wèn)題有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維,不被封閉性條件所拘泥. 在前面這么多題的訓(xùn)練下,學(xué)生的無(wú)疑可能開(kāi)始進(jìn)入疲憊與容易開(kāi)小差時(shí)間,此時(shí)的設(shè)問(wèn)與小組交流無(wú)疑在課堂中期給學(xué)生思維注入了新鮮的思維生命力與激情,繼續(xù)攀登.

8 將上題的開(kāi)放性設(shè)問(wèn)改成解答題,完成后進(jìn)行小組展示和交流

改編8如圖, RTΔABC沿DB折 疊, 點(diǎn)A落 在 邊BC上的點(diǎn)A1處, ∠BAC=90°,∠C=30°,若A1D⊥AC,

(1)求證:四邊形ABA1D是菱形;

(2)連接AA1,DC,若AB=2,求四邊形ADCA1的面積.

改編分析: 本題的改編,將三角形的折疊問(wèn)題逐步過(guò)渡到特殊四邊形的研究中去,讓學(xué)生從題目的自然變化中感受到四邊形與三角形的密切聯(lián)系,進(jìn)一步梳理三角形與四邊形的知識(shí)關(guān)系. 從上題的3○結(jié)論的排除,自然會(huì)想到具備什么條件它會(huì)是菱形的思考中來(lái),在此基礎(chǔ)上,將上題的填空進(jìn)一步改編成大題,自然順暢而且水到渠成. 第二個(gè)問(wèn)題是計(jì)算題,綜合運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)、菱形的判定與面積計(jì)算等知識(shí). 兩個(gè)問(wèn)題結(jié)合在一起,緊密相連,環(huán)環(huán)相扣.

實(shí)際上我們還可以把三角形這個(gè)條件換成平行四邊形、矩形、菱形和正方形,這樣的教學(xué)充分體現(xiàn)方法體系、思想體系、知識(shí)結(jié)構(gòu)的整體性教學(xué),根據(jù)上述方法進(jìn)行條件和結(jié)論得出一般化或特殊化再進(jìn)行層層深入的變式, 這將是一個(gè)“圖形的折疊專題”綜合性學(xué)習(xí),在這里因?yàn)槠绊?將不再對(duì)改編進(jìn)行一一闡述了.

像本文中改變題目的條件會(huì)導(dǎo)出什么新結(jié)論,保留題目的條件,結(jié)論能否進(jìn)一步加強(qiáng),條件做類似變換,結(jié)論能擴(kuò)大到一般,等等,像這樣富有創(chuàng)造性的全方位思考,常常是發(fā)現(xiàn)新知識(shí)、認(rèn)識(shí)新知識(shí)的突破口. 通過(guò)這種反思,由一題多變,側(cè)重訓(xùn)練了思維遞進(jìn)性;由條件和結(jié)論的換位,側(cè)重訓(xùn)練思維的變通性;由多向探索,側(cè)重訓(xùn)練思維的廣闊性. 掌握一類題型的解法,可以達(dá)到事半功倍的效果.

筆者在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中漸漸摸索出數(shù)學(xué)變式教學(xué)的幾種有效策略:

策略一: 正向與逆向相互轉(zhuǎn)化

一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論是因果關(guān)系的辨證統(tǒng)一,題型變式時(shí),不妨從它的正面出發(fā),逆向思維,培養(yǎng)學(xué)生正向思維、逆向思維,發(fā)散思維. 例如我們?cè)诮虒W(xué)中可將題目將某些條件發(fā)生改變,結(jié)論同時(shí)改變. 在數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中,一題多變也得循序漸進(jìn),步子要適宜,變得自然流暢,使學(xué)生的思維得到充分發(fā)散,而又不感到突然. 總之,在數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中,選用一些非加探索不能發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在聯(lián)系的習(xí)題. 采用一題多解與一題多變的形式進(jìn)行教學(xué),可以幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)系統(tǒng)性、特殊性、廣泛性的深刻理解.

策略二: 從一般到特殊,或者從特殊到一般

變式教學(xué)中滲透研究問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想和方法: 從一般到特殊,或者從特殊到一般. 方法和思想的提煉無(wú)疑讓學(xué)生從知識(shí)層面的理解到達(dá)一個(gè)升華的的過(guò)程. 在特殊的圖形里探索開(kāi)放性的結(jié)論,難度說(shuō)大也不會(huì)大,能夠讓學(xué)生在思考研究之后得到一些結(jié)論,這能夠使學(xué)生自信心增強(qiáng),也拓展學(xué)生的發(fā)散性思維. 課堂教學(xué)要鼓勵(lì)學(xué)生去大膽嘗試,勇于求異,激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新欲望.

策略三: 問(wèn)題驅(qū)動(dòng),讓學(xué)生思維火花熠熠生輝

教學(xué)中我們可以在下列重要環(huán)節(jié)進(jìn)行問(wèn)題驅(qū)動(dòng):

1. 導(dǎo)入新課時(shí)設(shè)問(wèn),創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,使學(xué)生的注意力集中,激發(fā)學(xué)生探求知識(shí)的欲望.

2. 圍繞教材的重點(diǎn)和難點(diǎn)進(jìn)行問(wèn)題驅(qū)動(dòng),為學(xué)生搭建跳一跳能摘到果子的墊腳石,達(dá)到突出重點(diǎn)、分化難點(diǎn)目的.

3. 在容易混淆、模糊不清的地方進(jìn)行問(wèn)題驅(qū)動(dòng),有效幫助學(xué)生區(qū)分“黃豆”、“綠豆”何不同.

4. 設(shè)置錯(cuò)誤的問(wèn)題情境,在典型錯(cuò)題處進(jìn)行問(wèn)題驅(qū)動(dòng),引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突,幫助學(xué)生深入分析、理解錯(cuò)誤的本質(zhì)從而牢固的掌握知識(shí).

策略四: 題目設(shè)計(jì)由封閉向開(kāi)放轉(zhuǎn)化

例如當(dāng)學(xué)生解決了某個(gè)問(wèn)題是,我們可以乘勝追擊設(shè)問(wèn):你還能從中得到什么正確結(jié)論? 設(shè)問(wèn)的開(kāi)放性不會(huì)限制學(xué)生的思維,能促進(jìn)他們?nèi)轿坏膶?duì)圖形進(jìn)行研究和探索,開(kāi)放性的設(shè)問(wèn)重在引領(lǐng)學(xué)生的發(fā)散思維,期待直指解決問(wèn)題的方法悟于變式的過(guò)程.

策略五: 將題型可在填空題、選擇題、解答題、代幾綜合題相互轉(zhuǎn)換,讓知識(shí)進(jìn)一步落實(shí)到位

題目變式中,逐漸將三角形—直角三角形—四邊形—特殊四邊形等知識(shí)進(jìn)行串聯(lián),由點(diǎn)帶線,由線帶面逐步組建知識(shí)結(jié)構(gòu),而且將考題填空題、選擇題、解答題、代幾綜合題相互轉(zhuǎn)換. 例如將選擇題變式為填空題,學(xué)生不能再使用排除法解題,無(wú)疑難度相對(duì)是增加了. 學(xué)生必須具備空間觀念、幾何直觀和推理能力等綜合能力才能解題,讓知識(shí)進(jìn)一步落實(shí)到位.

策略六: 從定點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)逐漸變式

教學(xué)中題目的難度逐漸增大,圖形逐步趨向復(fù)雜,需要學(xué)生由綜合思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. 題目也由最開(kāi)始的單一圖形逐步變式為綜合圖形,或者由單一的兩個(gè)三角形的全等變式成復(fù)雜圖形的多次全等,由定點(diǎn)變成動(dòng)點(diǎn),但因?yàn)橛蓽\入深,層層遞進(jìn),學(xué)生開(kāi)始具備了基礎(chǔ)知識(shí)的儲(chǔ)備,也有了解決這類問(wèn)題的基本思路,使到他們有解決問(wèn)題的信心與耐心. 這是攀登數(shù)學(xué)問(wèn)題的兩把金鑰匙,有了這把金鑰匙學(xué)生便有了勇氣和忍耐力,這點(diǎn)尤其重要.

策略七: 從單一的純幾何題逐漸變式為代幾綜合題,尤其與二次函數(shù)最值結(jié)合,緊扣中考方向

要從中錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系里尋找解題切入點(diǎn)需要的能力較高. 但因?yàn)樽兪窖驖u進(jìn),逐步形成方法體系,思想體系,學(xué)生并不會(huì)覺(jué)得難以“高攀“,課堂上可讓學(xué)生小組探索,讓學(xué)生通過(guò)傾聽(tīng)他人的意見(jiàn)和想法,將解決問(wèn)題的方法進(jìn)一步梳理. 最后再讓學(xué)生自行更正自己的解答過(guò)程.

策略八: 將最終想要呈現(xiàn)的重要幾何綜合壓軸題進(jìn)行處理,褪去繁華,回歸最初雛形

在初三總復(fù)習(xí)壓軸專題時(shí),呈現(xiàn)的的圖形復(fù)雜,綜合動(dòng)點(diǎn)、函數(shù)、最值的題型難度是很大的,如果一上課就把該題呈現(xiàn),估計(jì)會(huì)讓絕大多數(shù)的學(xué)生望而卻步,全嚇跑了. 因此科學(xué)在課堂里逐漸呈現(xiàn)從易到難,從常規(guī)基礎(chǔ)題到代幾綜合壓軸題也是數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵. 我們可以將該題處理一下,呈現(xiàn)本節(jié)課的“一題”最基礎(chǔ)的模樣開(kāi)始進(jìn)行初步探究.

就題做題的教學(xué),學(xué)生對(duì)考題的思考是封閉的. 在解決問(wèn)題中,知識(shí)沒(méi)有得到進(jìn)一步的整合,思維沒(méi)有得到進(jìn)一步的激活,思考到淺層就戛然而止. 我們反對(duì)就題論題的例題教學(xué),倡導(dǎo)基于整體性的大單元復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì),基于“一題”的深入研究,“借題發(fā)揮”,“一課一題”的深度變式教學(xué)是非常有意義的.