HPM 視角下解密楊輝三角與二項(xiàng)式系數(shù)的關(guān)系

廣東省汕頭市聿懷中學(xué)(515000) 曾祥榮

1 引言

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育(HPM)流傳較廣、影響較大,深受一線(xiàn)教師的喜愛(ài)與關(guān)注. 目前,融入數(shù)學(xué)史的教育實(shí)踐和教學(xué)設(shè)計(jì)層出不窮,但關(guān)于中國(guó)數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)的研究并不多見(jiàn). 楊輝三角是我國(guó)數(shù)學(xué)家的杰出成果之一,也是流傳較廣的數(shù)學(xué)史料,其教育價(jià)值不可忽視. 通過(guò)解密楊輝三角與二項(xiàng)式系數(shù)的關(guān)系,能揭示二項(xiàng)式系數(shù)的變化規(guī)律與眾多性質(zhì). 因此,楊輝三角是不可多得的集文化魅力、數(shù)學(xué)趣味、德育功效于一體的理想教學(xué)材料.

該內(nèi)容是在選修2-3“二項(xiàng)式定理”一節(jié)的基礎(chǔ)上,參考教科書(shū)中“探究與發(fā)現(xiàn)”環(huán)節(jié)關(guān)于楊輝三角的一些“秘密”而設(shè)計(jì)的一個(gè)研究性課題, 旨在探討和研究楊輝三角的性質(zhì),展現(xiàn)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì). 通過(guò)觀察、分析、猜想、證明從而發(fā)現(xiàn)與楊輝三角有關(guān)的數(shù)字規(guī)律.

2 解密模式

2.1 創(chuàng)設(shè)情境,引入課題

首先, 簡(jiǎn)單介紹與楊輝以及楊輝三角有關(guān)的歷史故事.楊輝是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家,其主要貢獻(xiàn)如圖1,出現(xiàn)在其著作中并注明了該圖出自北宋數(shù)學(xué)家賈憲的著作,所以“楊輝三角”實(shí)際上為“賈憲三角”. 但由于后者已失傳,故今人習(xí)慣以前者稱(chēng)之.

圖1 楊輝三角圖示

圖2 橫向觀察

圖3 斜向觀察

通過(guò)簡(jiǎn)要介紹楊輝三角的數(shù)學(xué)史,以數(shù)學(xué)為背景進(jìn)行德育,并以此為切入點(diǎn),激發(fā)學(xué)生探究楊輝三角的積極性.

2.2 合作交流,揭示性質(zhì)

(1)探究楊輝三角與二項(xiàng)式系數(shù)的關(guān)系

計(jì)算(a+b)n(n= 0,1,2, …)展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù),并將其列出,再將二項(xiàng)式系數(shù)與楊輝三角中的數(shù)字進(jìn)行比較,嘗試發(fā)現(xiàn)結(jié)論: 楊輝三角的第n行是(1+1)n展開(kāi)的二項(xiàng)式系數(shù),即

(2)橫向觀察

注意觀察方法,即結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù),橫看、縱看、斜看,從多種角度觀察. 可得以下性質(zhì):

性質(zhì)1 (對(duì)稱(chēng)性)每一行中,與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,即

性質(zhì)2 楊輝三角第n行數(shù)字的和等于···+=2n.

性質(zhì)3 楊輝三角的每一行中奇數(shù)項(xiàng)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的和,即=2n-1.

(3)縱向觀察

觀察上下相鄰行數(shù)字之間的規(guī)律, 例如: 2 = 1 + 1,3=1+2,4=1+3,6=3+3,5=1+4,10=4+6……,可以得到性質(zhì)4.

性質(zhì)4 每一行的兩端都是1,其余每個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和,即

(4)斜向觀察

引導(dǎo)學(xué)生“斜”向觀察,例如: 1+1+1+1+1+1=6,1+2+3+4+5=15,1+3+6+10=20,1+4+10=15,歸納可得:

性質(zhì)5 一般地, 在第m條斜線(xiàn)上(從右上到左下) 前n個(gè)數(shù)字的和, 等于第m+ 1 條斜線(xiàn)上的第n個(gè)數(shù). 即

接著,我們繼續(xù)換一角度“斜”向觀察,如圖4. 進(jìn)一步地,如果換個(gè)角度再次斜向觀察又會(huì)發(fā)現(xiàn)什么奇妙的數(shù)字特點(diǎn)呢? 讓學(xué)生觀察圖4 中各斜線(xiàn)上數(shù)字之和,算出前9 條斜線(xiàn)甚至更多斜線(xiàn)的結(jié)果.

圖4 “斜”向觀察

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,···, 此數(shù)列{an}滿(mǎn)足an=an-1+an-2(n≥3).

性質(zhì)6 從第3 條斜線(xiàn)起,其后各斜線(xiàn)上各數(shù)字的和都是前兩條斜線(xiàn)數(shù)字之和的和.

至此,學(xué)生在教師引導(dǎo)下已經(jīng)完成對(duì)楊輝三角全方位的觀察,目的在于培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力,以及由特殊到一般的歸納、猜想能力. 同時(shí),在講授過(guò)程中,給學(xué)生足夠的探索時(shí)間,引導(dǎo)學(xué)生推廣再得出一般性的結(jié)論.

2.3 應(yīng)用舉例,提升能力

如圖5 所示,在楊輝三角中,斜線(xiàn)上方箭頭所示的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形的數(shù)列: 1,2,3,3,6,4,10,5,,記這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)的和為S(n),則S(12)的值是多少?

圖5 綜合觀察

通過(guò)這一思考題,讓學(xué)生學(xué)以致用的同時(shí)自我反思學(xué)習(xí)結(jié)果.

2.4 歸納小結(jié),總結(jié)提升

本節(jié)重點(diǎn)在于掌握二項(xiàng)式系數(shù)的基本性質(zhì)與楊輝三角的實(shí)際應(yīng)用,同時(shí)使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得以提升. 但能否再繼續(xù)拓寬思維層面呢? 可以嘗試引導(dǎo)學(xué)生思考以下三個(gè)問(wèn)題:

問(wèn)題1 在楊輝三角中,除了本節(jié)課發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)外,你還能再找出其它的一些性質(zhì)嗎? 與其他同學(xué)交流探討.

問(wèn)題2 查閱有關(guān)楊輝三角與斐波那契數(shù)列實(shí)際應(yīng)用的資料并與同學(xué)交流學(xué)習(xí).

問(wèn)題3 “縱橫路線(xiàn)圖”問(wèn)題: 圖6 是X 城市的部分街道圖,

圖6 X 城市街道圖

(1)若從點(diǎn)A處走到點(diǎn)B處(注意只能由北到南,由西向東),則有幾種不同的走法? 若縱橫各四條路又有多少種走法? 有何規(guī)律?

(2)把圖順時(shí)針轉(zhuǎn)45°,如圖6 中右圖所示,在交叉點(diǎn)標(biāo)上相應(yīng)的楊輝三角數(shù). 點(diǎn)B處的楊輝三角數(shù)與A到B的走法有什么關(guān)系?

最后,與學(xué)生共同總結(jié),引導(dǎo)學(xué)生探究楊輝三角與斐波那契數(shù)列之間的聯(lián)系.

3 總結(jié)與啟示

HPM 視角下的二項(xiàng)式系數(shù)的教學(xué)是一個(gè)比較有文化味的角度,相比其他的教學(xué)視角,更具文化底蘊(yùn)、歷史深度和數(shù)學(xué)思維. 這一教學(xué)實(shí)踐能為今后的高中數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)“五個(gè)一”的啟示.

一次溯源,在HPM 視角下,將學(xué)生帶回楊輝時(shí)代,想象與數(shù)學(xué)家對(duì)話(huà),同楊輝一齊探究二項(xiàng)式展開(kāi)式的性質(zhì),并通過(guò)數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)掌握二項(xiàng)式展開(kāi)式系數(shù)的相關(guān)性質(zhì),做到幫助學(xué)生追本溯源,真正理解概念的形成與發(fā)展,而不是僅靠死記硬背. 一種提升,通過(guò)聯(lián)系函數(shù)的圖象和相關(guān)性質(zhì)探究證明二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),加深不同知識(shí)間的聯(lián)系,有利于幫助學(xué)生形成連貫一體的知識(shí)體系,提升對(duì)知識(shí)的把握. 一個(gè)高度,通過(guò)數(shù)形結(jié)合、歸納思想,以及教師引導(dǎo)、學(xué)生探究的教學(xué)方式,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維,促進(jìn)學(xué)生學(xué)以致用,將課堂成果落實(shí)到數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)高度. 一堂德育,“楊輝三角”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)史上重要的成就之一,彰顯了我國(guó)古代數(shù)學(xué)家的孜孜不倦和聰明才智,這一內(nèi)容能讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到除了西方歐氏幾何之美,更有東方演算之美.

總而言之,數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的美是深廣博大的,不僅有對(duì)稱(chēng)美,還有簡(jiǎn)潔美、和諧美等. 數(shù)學(xué)教學(xué)中從來(lái)不缺乏美,而是需要發(fā)現(xiàn)美的視角.