文化情境創(chuàng)設(shè),數(shù)列知識應用*

江蘇省口岸中學 陳春花

數(shù)列作為高中數(shù)學的一大主干知識,其與數(shù)學文化情境的滲透與融合,有著豐富的應用場景,現(xiàn)選取四個方面的案例與大家分享.

1 數(shù)學名著

例1[2022—2023學年遼寧省沈陽四中高三(上)月考數(shù)學試題(9月份)]南宋數(shù)學家在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式,所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同,高階等差數(shù)中前后兩項之差并不相等,但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.現(xiàn)有高階等差數(shù)列,其前7項分別為1,2,5,10,17,26,37,則該數(shù)列的第19項為( ).

A.290 B.325 C.362 D.399

分析：本題選擇數(shù)學名著中的垛積公式作為文化背景.先由條件判斷該高階等差數(shù)列為逐項差數(shù)之差成等差數(shù)列,得到an+1-an=2n-1,再利用累加法求得數(shù)列的通項公式,進而可求得對應項的值.

解析：設(shè)該數(shù)列為{an},則由a2-a1=2-1=1,a3-a2=5-2=3,a4-a3=10-5=5,a5-a4=17-10=7,……,可知該數(shù)列逐項差數(shù)之差成等差數(shù)列{bn},其首項為1,公差為2,所以bn=1+2(n-1)=2n-1,故an+1-an=bn=2n-1.

于是a2-a1=1,a3-a2=3,a4-a3=5,……,an-an-1=2n-3.

所以an=(n-1)2+a1=(n-1)2+1,則a19=182+1=325.故選擇答案:B.

2 歷史律法

例2[2022年華大新高考聯(lián)盟高考數(shù)學教學質(zhì)量測評試卷(3月份)]十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學家朱載堉發(fā)明的.明萬歷十二年(公元1584年),他寫成《律學新說》,提出了十二平均律的理論.十二平均律的數(shù)學意義是:在1和2之間插入11個數(shù),使包含1和2的這13個數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列,記插入的11個數(shù)之和為M,插入11個數(shù)后這13個數(shù)之和為N,則依此規(guī)則,下列說法錯誤的是( ).

C.M>3

D.N<7

分析：本題選擇“十二平均律”作為文化背景,考查了等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式、比較大小等基本知識.

解析：設(shè)遞增的等比數(shù)列為{an},公比為q.

故選擇答案:D.

點評：借助歷史律法中數(shù)學文化情境下的數(shù)列問題,通過一些歷法、音樂、美術(shù)等方面的歷史文化遺產(chǎn)來創(chuàng)新設(shè)置,融入數(shù)列的基本概念等基礎(chǔ)知識,結(jié)合實際問題以及學科交叉融合進行綜合與創(chuàng)新應用.

3 古代建筑

圖1

故填答案:5.

點評：巧妙融入建筑、美術(shù)、數(shù)學等多個相關(guān)學科的知識,交匯綜合,抓住特色建筑的數(shù)學模型合理構(gòu)建相應的數(shù)列模型,利用相關(guān)數(shù)列的基礎(chǔ)知識與基本思想方法來解決問題.

4 經(jīng)典模型

例4[2022年重慶市巴蜀中學高三(上)適應性數(shù)學試卷(四)](多選題)在1261年,我國南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法》中提出了如圖2所示的三角形數(shù)表,這就是著名的“楊輝三角”,它是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.從第1行開始,第n行從左至右的數(shù)字之和記為an,如,a1=1+1=2,a2=1+2+1=4,……,{an}的前n項和記為Sn,依次去掉每一行中所有的1構(gòu)成的新數(shù)列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,……,記為bn,{bn}的前n項和記為Tn,則下列說法正確的是( ).

圖2

A.S10=1 022

C.b57=66

D.T57=4 150

分析：本題選擇“楊輝三角”這個經(jīng)典模型作為文化模型,構(gòu)造出兩個新數(shù)列.

于是S10=211-2≠1 022,故選項A錯誤.

故選擇答案:BCD.

點評：結(jié)合“楊輝三角”這一經(jīng)典的數(shù)字模型的排列規(guī)律,融合數(shù)列、二項式定理、排列組合等相關(guān)知識,巧妙邏輯推理,合理數(shù)學運算,進而得以分析與處理創(chuàng)新文化情境問題.

數(shù)學不僅僅是“科學的數(shù)學”,而且還是“文化的數(shù)學”.而數(shù)學文化創(chuàng)新情境下的數(shù)列綜合應用問題,只是其中的一個典型代表,是國家文化素質(zhì)教育的重要組成部分,是在實踐過程中不斷探索形成的數(shù)學史、數(shù)學精神及其應用等.借助數(shù)學文化創(chuàng)新情境的設(shè)置,將數(shù)學知識、思想方法、數(shù)學文化等融為一體,全面檢測學生的數(shù)學基礎(chǔ)知識、思維廣度與深度,不斷挖掘?qū)W生潛能.