從不同教科書看直觀想象素養(yǎng)的滲透
——以基本不等式為例

西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 李曉丹

基本不等式是高中階段不等式學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容和重要節(jié)點(diǎn),具有承上啟下的作用[1].從數(shù)學(xué)素養(yǎng)的角度來(lái)看,基本不等式的學(xué)習(xí)過(guò)程中蘊(yùn)含著多種核心素養(yǎng).首先,提到基本不等式我們就會(huì)想到數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng),因?yàn)榕c不等式有關(guān)的題目基本上都要運(yùn)用計(jì)算或證明.其實(shí),基本不等式的學(xué)習(xí)中還蘊(yùn)含著其他數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),比如,從情境中抽象出基本不等式要用到數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、提煉基本不等式的幾何意義時(shí)要用到直觀想象素養(yǎng),等等.基本不等式的抽象性導(dǎo)致不少學(xué)生產(chǎn)生了畏難情緒,而直觀想象素養(yǎng)可以化抽象為直觀,幫助學(xué)生理解基本不等式,從而降低學(xué)習(xí)難度.因此,直觀想象素養(yǎng)在基本不等式學(xué)習(xí)中非常重要.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》)指出,直觀想象是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用空間形式特別是圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種素養(yǎng)[2].從課程標(biāo)準(zhǔn)可以看出,直觀想象包含兩點(diǎn),分別是幾何直觀與空間想象.幾何直觀是借助圖形清晰直觀地描述和分析數(shù)學(xué)問(wèn)題,從而使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,抽象問(wèn)題具體化,進(jìn)而解決問(wèn)題的能力.空間想象是直接通過(guò)感知去理解圖形及其性質(zhì)的能力.直觀想象主要表現(xiàn)在四個(gè)方面:(1)建立數(shù)與形的聯(lián)系;(2)借助幾何圖形描述問(wèn)題;(3)借助幾何直觀理解問(wèn)題;(4)運(yùn)用空間想象認(rèn)識(shí)事物[3].

下文將對(duì)基本不等式在人教A版、人教B版、蘇教版三個(gè)版本教材中的呈現(xiàn)方式進(jìn)行分析,討論不同教科書中直觀想象素養(yǎng)的滲透方式及異同點(diǎn).

1 教材分析

1.1 人教A版

基本不等式位于人教A版必修一第二章第二節(jié).

圖1 人教A版必修一第45頁(yè)書影

該版本在例題與習(xí)題部分通過(guò)基本不等式的實(shí)際應(yīng)用培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng):讓學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象出圖形,訓(xùn)練幾何直觀能力;讓學(xué)生通過(guò)各圖形的性質(zhì)找出周長(zhǎng)與面積的關(guān)系,訓(xùn)練空間想象能力.

1.2 人教B版

基本不等式在人教B版中稱為均值不等式,位于必修一第二章第二節(jié)“不等式”中.

這一版本中,教材先建立了幾何平均值的圖形聯(lián)系,接著探究幾何平均值和算術(shù)平均值的幾何意義,在此基礎(chǔ)上得出了基本不等式的幾何意義,環(huán)環(huán)相扣,層層推進(jìn).在本節(jié)最后的“探索與研究”環(huán)節(jié),給出帕普斯的半圓模型,讓學(xué)生自主探究基本不等式的另一種幾何意義,如圖2所示.這將進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)基本不等式的理解和記憶.B版給出的兩種幾何意義,充分滲透了直觀想象素養(yǎng).

圖2 人教B版必修一第73頁(yè)書影

人教B版在例題與習(xí)題部分與人教A版相似,也是通過(guò)實(shí)際問(wèn)題,如“菜地的周長(zhǎng)和面積”來(lái)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展直觀想象素養(yǎng).

1.3 蘇教版

蘇教版的基本不等式位于必修一的第三章的第二節(jié)中.

圖3 蘇教版必修一第51頁(yè)書影

2 對(duì)比分析

2.1 引入

幾何圖形可以激發(fā)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)[7].三個(gè)版本教科書為了在基本不等式的學(xué)習(xí)中滲透直觀想象素養(yǎng),均設(shè)置了一些帶有幾何特點(diǎn)的情境引入(見表1).人教A版教科書選擇了趙爽弦圖,“弦圖”不僅結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔優(yōu)美,還具有數(shù)學(xué)文化的特點(diǎn),能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值.人教B版采用矩形引入,矩形作為學(xué)生最熟悉的圖形方便學(xué)生理解和遷移.蘇教版采用實(shí)際情境引入,不僅直觀還具有趣味性.

表1 不同版本教科書中基本不等式的引入方法

2.2 證明

各版本教材都對(duì)基本不等式從幾何角度進(jìn)行了證明,即通過(guò)圖形動(dòng)態(tài)地展示基本不等式從“不等”到“相等”的過(guò)程[8].從幾何角度證明不等式,有兩種方法:一是直接給出幾何圖形,根據(jù)圖形做出基本不等式的幾何解釋(根據(jù)圖來(lái)證明);另一種方法則是不給出圖形,讓學(xué)生自己構(gòu)造圖形進(jìn)行證明.縱觀各個(gè)版本教科書,均直接給出幾何圖形讓學(xué)生利用幾何圖形去驗(yàn)證基本不等式(見表2),并沒有出現(xiàn)讓學(xué)生構(gòu)造幾何模型去驗(yàn)證基本不等式,可能是考慮到這種要求對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)還是很難達(dá)到的.各版本教科書給出的圖形基本是帕普斯半圓模型,但不同的教科書在使用半圓模型時(shí)也略有區(qū)別.比如,人教A版中,沒有給出半徑,只是給出了半弦,此時(shí)還需要學(xué)生去構(gòu)造出半徑,增加了難度.

表2 不同版本教科書中基本不等式的幾何證明方法

2.3 例題與習(xí)題

直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)依賴于數(shù)學(xué)問(wèn)題[9],因此例題和習(xí)題對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)發(fā)揮著不可或缺的作用.例習(xí)題方面,三個(gè)版本教材均設(shè)置了一些幾何問(wèn)題讓學(xué)生借助圖形進(jìn)一步理解基本不等式.不管是人教A版、B版還是蘇教版,幾乎所有例題習(xí)題都需要學(xué)生發(fā)揮幾何直觀能力和空間想象能力將數(shù)與形相聯(lián)系,借助圖形解決問(wèn)題.這一過(guò)程不僅加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)基本不等式的理解,還有助于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).在蘇教版的習(xí)題中還出現(xiàn)了趙爽弦圖,這進(jìn)一步體現(xiàn)出了趙爽弦圖的重要性.總之,各個(gè)版本在例習(xí)題上差別不大,都設(shè)置了幾何問(wèn)題,幫助學(xué)生鞏固基本不等式,發(fā)展直觀想象素養(yǎng).

通過(guò)對(duì)各版本教科書的研究,可以發(fā)現(xiàn)直觀想象素養(yǎng)貫穿了基本不等式學(xué)習(xí)的各個(gè)環(huán)節(jié)(不等式的引入、不等式的證明、習(xí)題鞏固).教科書的設(shè)計(jì)在結(jié)合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的同時(shí),還為不同層次學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展提供了平臺(tái),為學(xué)生直觀想象的發(fā)展?fàn)I造了氛圍,創(chuàng)造了契機(jī).

直觀想象是數(shù)學(xué)思維能力在解決問(wèn)題中的重要體現(xiàn),憑借直觀想象可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力,實(shí)現(xiàn)化抽象為具象,從而有效降低知識(shí)的難度,使學(xué)生認(rèn)知和理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì),進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生理性認(rèn)識(shí)的生成,使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的價(jià)值[10],最終實(shí)現(xiàn)“學(xué)生愛上數(shù)學(xué)”的目的.雖然直觀想象素養(yǎng)的概念是相同的,但是各個(gè)版本在其體現(xiàn)方式上有所不同,所以教師使用教材時(shí)應(yīng)多對(duì)比,取眾家之長(zhǎng).本文中通過(guò)比較各個(gè)教材對(duì)于基本不等式的呈現(xiàn)方式,發(fā)現(xiàn)各版本教材在培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)上都有其不同的特色和優(yōu)勢(shì),教師在教學(xué)中可以借鑒其他版本教材內(nèi)容,豐富學(xué)生課堂體驗(yàn).比如,學(xué)習(xí)基本不等式時(shí),蘇教版可以引入人教A,B版的幾何解釋來(lái)發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng).