傳動(dòng)比波動(dòng)幅度約束下的擺線輪齒廓修形量?jī)?yōu)化*

郭彩霞,宿月文,王參軍

(寶雞文理學(xué)院陜西省機(jī)器人關(guān)鍵零部件先進(jìn)制造與評(píng)估省市共建重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,寶雞 721016)

0 引言

擺線針輪減速器具有大減速比、高傳動(dòng)效率和高承載能力等優(yōu)點(diǎn),常用于機(jī)械臂等精密傳動(dòng)領(lǐng)域。擺線輪的齒廓形狀對(duì)于傳動(dòng)精度、承載能力和傳動(dòng)效率有重大影響[1]。擺線輪齒廓通常要加以修形,使得擺線輪齒和針齒之間形成一定的徑向間隙,從而實(shí)現(xiàn)裝配和潤(rùn)滑。因此,研究最優(yōu)的修形方式和修形量對(duì)于提高減速器的品質(zhì)有重要意義。

當(dāng)前,國(guó)內(nèi)工程實(shí)際中擺線輪齒廓修形主要采取等距修形、移距修形、等距-移距復(fù)合修形3種方式[2-3]。LITVIN等[4]基于嚙合原理提出了一種推導(dǎo)擺線齒廓曲線參數(shù)化方程的方法,為擺線傳動(dòng)理論分析奠定基礎(chǔ)。關(guān)天民[5]總結(jié)了擺線輪不同修形方式,針對(duì)“負(fù)移距+正等距”修形的齒廓形成原理,推導(dǎo)出了擺線輪齒廓最優(yōu)修形量的計(jì)算方法。王若宇等[6]以補(bǔ)償加工誤差的方式提出了一種擺線齒廓修形優(yōu)化方法,最終確定以移距加等距的修形補(bǔ)償方式。陸龍生等[7-8]分別以承載能力和回差最優(yōu)為目標(biāo)函數(shù),計(jì)算出最優(yōu)的擺線輪齒廓修形量。汪泉等[9]提出采用等距加移距的復(fù)合修形方式,以擬合轉(zhuǎn)角修形齒廓曲線且降低針齒接觸力峰值為目標(biāo),采用NSGA-Ⅱ多目標(biāo)優(yōu)化算法得到了最優(yōu)的修形量。LI等[10]綜合考慮了嚙合側(cè)隙、壓力角分布等相關(guān)因素,提出以壓力角為修形參數(shù)的新的擺線齒廓修形方法,并建立了擺線齒廓修形數(shù)學(xué)模型,為擺線齒廓修形提供了一個(gè)新的選擇。張哲衍等[11]針對(duì)擺線輪齒廓的工作區(qū)域及組合修形方法等展開研究.對(duì)“等距+移距”復(fù)合修形進(jìn)行分析,確定“正等距+負(fù)移距”的組合方式下初始間隙最小,即嚙合剛度最高。安宗文等[12]以優(yōu)化承載能力為目標(biāo),采用粒子群優(yōu)化算法,對(duì)擺線輪齒廓的等距-移距復(fù)合修形量進(jìn)行優(yōu)化,從而降低了針齒接觸力的峰值。REN等[13]提出了一種以適應(yīng)不同修形目標(biāo)的擺線齒廓修形方式,通過5個(gè)節(jié)點(diǎn)將擺線齒廓分為4段,并通過動(dòng)力學(xué)分析驗(yàn)證該分段修形方法的可行性。石堯林[14]分析修形量對(duì)嚙合接觸力、接觸應(yīng)力、擺線輪副嚙合剛度和振動(dòng)響應(yīng)的影響規(guī)律,以復(fù)合修形參數(shù)為設(shè)計(jì)變量,低接觸力為目標(biāo)對(duì)擺線齒廓復(fù)合修形參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,發(fā)現(xiàn)優(yōu)化后的擺線輪副的接觸力和振動(dòng)噪聲有所降低。WANG等[15]探究了擺線齒廓修形量對(duì)接觸力和齒面摩擦力的影響,并研究了不同修形方式下的修形效率、機(jī)械性能和傳動(dòng)效率。

本文中在考慮修形對(duì)動(dòng)態(tài)傳動(dòng)比及針齒接觸載荷分布的影響下,提出了一種以最小化傳動(dòng)比波動(dòng)幅度為目標(biāo),優(yōu)化擺線輪齒廓的等距-移距組合修形的方法,并借助基于內(nèi)點(diǎn)法的非線性優(yōu)化算法進(jìn)行求解,以確定某單級(jí)擺線針輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的擺線輪齒廓最優(yōu)修形量,并對(duì)比分析了不同修形組合下,傳動(dòng)比波動(dòng)幅值和針齒接觸力的優(yōu)化效果。

1 擺線輪修形齒廓的創(chuàng)立

擺線針輪的制造過程中,各零件會(huì)受加工條件的影響而形成制造誤差,使得零件真實(shí)尺寸偏離理論尺寸,導(dǎo)致整機(jī)無(wú)法合理裝配。因此,需要對(duì)擺線輪齒廓做修形處理,使其在盡可能保持幾何特性的前提下,通過減小齒廓來(lái)提高裝配成功率。考慮修形的擺線輪齒廓的參數(shù)化方程為:

(1)

(2)

式中:Rp為針齒分布圓半徑,ΔRp為移距修形量,Rrp為針齒半徑,Δrp為等距修形量,α為嚙合角,nc為擺線輪齒數(shù),np為針齒數(shù),Φp為變量,且位于區(qū)間0～2π。由于針齒的幾何特性,其加工精度要高于擺線輪,故將擺線輪作為修形對(duì)象。在擺線輪齒廓參數(shù)式中Rp、rp、nc、np和e為設(shè)計(jì)參數(shù),且nc和np決定了減速比。所以只有Rp、rp和e可作為擺線輪修形依據(jù),由此3種參數(shù)組合,即可達(dá)到不同的修形效果。偏心量修形后齒廓情況比較復(fù)雜,不容易控制干涉情況,較少被采用。因此,基于針齒位置修形和針齒半徑修形,可得到4種組合,分別為:①ΔRp>0與Δrp>0;②ΔRp>0與Δrp<0;③ΔRp<0與Δrp>0;④ΔRp<0與Δrp<0。其中,由于正的針齒位置修形和負(fù)的針齒半徑修形都無(wú)法使擺線齒廓比標(biāo)準(zhǔn)齒廓小,必定會(huì)產(chǎn)生干涉,所以排除第3種組合。對(duì)其他3種組合,進(jìn)行分析以對(duì)比修形效果。

不同修形組合時(shí),擺線輪齒廓結(jié)果如圖1所示?？梢钥闯?正等距與正移距組合修形方式與轉(zhuǎn)角修正齒形吻合度較好,在該工作段齒面工作時(shí),類似接近理論共軛齒面嚙合,在滿足一定精度的同時(shí)保證了平穩(wěn)傳動(dòng);同時(shí),等移距修形生成齒側(cè)間隙與齒頂間隙,避免了轉(zhuǎn)角修形的弊端,滿足擺線針輪傳動(dòng)時(shí)對(duì)齒廓間隙的要求,保證了潤(rùn)滑及運(yùn)行穩(wěn)定,是4種組合修形方式中的最優(yōu)解。

圖1 不同修形后擺線輪齒廓的對(duì)比

2 含修形擺線針輪機(jī)構(gòu)受力分析

2.1 輪齒接觸分析

擺線輪齒廓修形后,針齒與擺線輪之間產(chǎn)生大小不同的側(cè)隙,既產(chǎn)生傳動(dòng)誤差,又影響擺線輪的受力。因此有必要通過齒面接觸分析(tooth contact analysis,TCA)來(lái)計(jì)算側(cè)隙。

TCA方法中,齒面接觸的條件為:①兩個(gè)齒面接觸點(diǎn)坐標(biāo)在同一坐標(biāo)系下必須相等;②兩個(gè)齒面接觸點(diǎn)的法向量在同一坐標(biāo)系下必須相等。如圖2所示,Sf(XfOfYf)為大地坐標(biāo)系,Sc(XcOcYc)為擺線輪坐標(biāo)系,則由Sc向Sf的坐標(biāo)變化矩陣為:

圖2 輪齒接觸分析的坐標(biāo)系設(shè)定

(3)

式中:φin為曲柄軸轉(zhuǎn)角,φout為擺線輪轉(zhuǎn)角。通過矩陣Mfc可擺線輪的齒廓參數(shù)式轉(zhuǎn)換到固定坐標(biāo)系Sf,即:

(4)

擺線輪齒廓的法向量為:

(5)

擺線齒輪齒廓的法向量轉(zhuǎn)換到固定坐標(biāo)系上,此坐標(biāo)變換矩陣為矩陣Mfc前3×3項(xiàng)的子矩陣,即:

(6)

擺線輪齒廓的法向量在固定坐標(biāo)系下的表達(dá)式為:

(7)

同理,第i個(gè)針齒的參數(shù)式為:

(8)

式中:β為針齒上接觸點(diǎn)角度參數(shù)。根據(jù)擺線輪參數(shù)式和針齒參數(shù)式可以得出擺線輪的單位法向量Pcy和針齒的單位法向量Ppin。

(9)

根據(jù)齒面接觸的條件可得到TCA方程組為:

(10)

上式包含3個(gè)非線性方程,以及φout、Φp和β等3個(gè)未知數(shù)。此外φin為輸入變量,參數(shù)np、nc、Rp、Rrp和e為已知量。本文利用MATLAB非線性工具箱中的fsolve指令求解非線性方程組,以理想齒廓的TCA結(jié)果作為初值,可大大減少迭代計(jì)算時(shí)間。

2.2 靜力平衡分析

擺線齒輪受力如圖3所示,其中Fp,i為第i個(gè)針齒對(duì)擺線齒輪之作用力,Fo,j為第j個(gè)輸出柱銷對(duì)擺線齒輪之作用力,Fb為輸入曲柄軸承對(duì)擺線齒輪的作用力,ε為輸入曲柄軸承作用力與偏心方向之夾角,rw為輸出柱銷中心節(jié)圓半徑,Lp,i為第i個(gè)針齒作用力相對(duì)于擺線齒輪中心的力臂長(zhǎng),Lo,j為第j個(gè)輸出柱銷作用力相對(duì)于擺線齒輪中心的力臂長(zhǎng)。

圖3 擺線輪受力示意圖 圖4 擺線輪/針齒接觸變形的幾何關(guān)系

針齒和擺線輪之間的接觸力會(huì)導(dǎo)致接觸變形,使得擺線輪的輸出角度減少。同時(shí),針齒側(cè)隙也跟著減少,如圖4所示。若擺線輪的輸出角度變化量大于針齒側(cè)隙,則認(rèn)為該針齒和擺線齒輪接觸。因此第i個(gè)針齒與擺線輪的接觸變形量δc可表示為:

(11)

式中:φx,i為針齒側(cè)隙。

由圖3結(jié)合式(11)可知,當(dāng)φout<φx,i時(shí),δc=0,擺線齒輪和針齒不接觸;當(dāng)φout>φx,i時(shí),δc=φout-φx,i,擺線輪針齒接觸,其接觸力為:

(12)

式中:E*為復(fù)合彈性模量,b為擺線輪厚度。設(shè)定βp為相鄰兩針齒的夾角,則力臂Lp,i可表示為:

(xOc,yOc)=(ecosφin,esinφin)

(13)

(14)

另外,假設(shè)輸出柱銷與柱銷孔的尺度沒有誤差,且假設(shè)其作用力與相對(duì)于擺線齒輪中心之力臂長(zhǎng)度呈線性比例關(guān)系。Fo,j為第j個(gè)輸出柱銷對(duì)擺線齒輪之作用力,可表示為:

Fo,j=KoLo,j

(15)

式中:Ko為作用力比例常數(shù),Lo,j為第j個(gè)輸出柱銷作用力相對(duì)于擺線齒輪中心的力臂長(zhǎng)。設(shè)定βo為相鄰兩針齒的夾角,則Lo,j可表示為:

(16)

當(dāng)擺線輪受力平衡時(shí),可得到力平衡方程組為:

∑Fx=Fp,icos(θp,i)+∑Fo,jcos(φin+π)+
∑Fbcos(φin+ε)=0
∑Fx=Fp,isin(θp,i)+∑Fo,jsin(φin+π)+
∑Fbsin(φin+ε)=0
∑MOc=∑Fo,j·Lo,j-∑Fp,i·Lp,i=0
Tout=∑Fo,j·Lo,j

(17)

式中含有4個(gè)方程,以及Δφout、Ko、Fb和ε等4個(gè)未知數(shù),故方程組可解。即可由計(jì)算機(jī)輔助計(jì)算軟件求解。擺線齒輪的設(shè)計(jì)參數(shù)與齒形修形參數(shù)做為算例如表1所示。考慮修形后的針齒接觸力、輸出銷軸接觸力、輸入軸承力以及傳動(dòng)誤差,如圖5～圖8所示。

表1 擺線針輪結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖5 針齒接觸力分布 圖6 輸出銷軸接觸力

圖7 輸入軸軸承力 圖8 傳動(dòng)誤差

3 擺線輪修形量的優(yōu)化

齒廓修形后,必須考慮擺線輪與針齒的接觸變形對(duì)輸出角度的影響,此時(shí),擺線齒輪的實(shí)際輸出角度表示為:

(18)

(19)

動(dòng)態(tài)傳動(dòng)比是造成輸出扭矩波動(dòng)的原因之一。減速比波動(dòng)幅度既影響輸出轉(zhuǎn)速的變化程度,也造車輸出扭矩的波動(dòng)。因此,本文以最小化運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的傳動(dòng)比波動(dòng)Δγ為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù),即:

minΔrp,Δrp∈Δγ=γmax-γmin

(20)

優(yōu)化分析中,設(shè)計(jì)變量為擺線輪齒廓修形參數(shù)ΔRp與Δrp,且二者取值范圍皆設(shè)定在0～0.5 mm之內(nèi)。針對(duì)3種齒廓修形參數(shù)組合進(jìn)行計(jì)算,比較初值與優(yōu)化后最大減速比波動(dòng)Δγ、最大針齒作用力Fp,max、最大輸出柱銷作用力的計(jì)算結(jié)果。具體優(yōu)化計(jì)算采用非線性內(nèi)點(diǎn)法,以及MATLAB中優(yōu)化函數(shù)fmincon來(lái)進(jìn)行。

3.1 Δrp與Δrrp修形組合(Ⅰ)

設(shè)定ΔRp∈[0,0.5],Δrp∈[0,0.5],初始估計(jì)值設(shè)定為ΔRp=0.135 mm,Δrp=0.15 mm。經(jīng)優(yōu)化得到最優(yōu)修形量分別為ΔRp=0.239 2 mm和Δrp=0.254 2 mm。圖9和圖10顯示了該修形組合情況下,優(yōu)化前后的動(dòng)態(tài)傳動(dòng)比和針齒接觸力情況?？梢?該修形參數(shù)組合時(shí),傳動(dòng)比波動(dòng)幅度初值時(shí)的0.048 9降低到0.029 4,降幅為較初始值減少了40%,可見優(yōu)化后傳動(dòng)更為平穩(wěn)。另外,最大針齒作用力峰值由1082 N降為898 N,較初始值少了17%,而且針齒的作用范圍比初值時(shí)有所增加,表明接觸比增加。

圖9 優(yōu)化前后動(dòng)態(tài)傳動(dòng)比γ(第Ⅰ種修形) 圖10 優(yōu)化前后的第5號(hào)針齒接觸力(第Ⅰ種修形)

3.2 -Δrp與-Δrrp修形組合(Ⅱ)

設(shè)定ΔRp∈[-0.5,0],Δrp∈[-0.5,0],初始估計(jì)值設(shè)定為ΔRp=-0.15 mm,Δrp=-0.135 mm。經(jīng)優(yōu)化得到最優(yōu)修形量分別為ΔRp=-0.016 mm和Δrp=-0.001 mm。由圖11和圖12 可見,該修形參數(shù)組合時(shí),傳動(dòng)比波動(dòng)幅度由初值時(shí)的0.125 9,降低到0.069 7,降幅為45%。雖然優(yōu)化后傳動(dòng)比降幅較第1種修形組合更大,但是優(yōu)化后傳動(dòng)比波動(dòng)情況相差無(wú)幾。針齒接觸力峰值在初始情況時(shí)為1606 N,優(yōu)化后為1273 N,降幅為21%,但是優(yōu)化后的針齒接觸力幅值仍大于第1種修形組合情況。

圖11 優(yōu)化前后動(dòng)態(tài)傳動(dòng)比γ(第Ⅱ種修形) 圖12 優(yōu)化前后的第5號(hào)針齒接觸力(第Ⅱ種修形)

3.3 -Δrp與Δrrp修形組合(Ⅲ)

設(shè)定ΔRp∈[-0.5,0],Δrp∈[0,0.5],初始估計(jì)值設(shè)定為ΔRp=-0.007 5 mm,Δrp=-0.007 5 mm。由圖13和14可見,經(jīng)優(yōu)化得到最優(yōu)修形量分別為ΔRp=-0.002 7 mm和Δrp=0.012 3 mm。該修形參數(shù)組合時(shí),傳動(dòng)比波動(dòng)幅度在初值時(shí)為0.062 5,優(yōu)化后變化不大。針齒接觸力峰值在初始情況時(shí)為1262 N,優(yōu)化后為1112 N,降幅為12%,但是優(yōu)化后的針齒接觸力幅值仍大于第1種修形組合情況,但小于第2種修形組合情況。

圖13 優(yōu)化前后動(dòng)態(tài)傳動(dòng)比γ(第Ⅲ種修形) 圖14 優(yōu)化前后的第5號(hào)針齒接觸力(第Ⅲ種修形)

3.4 不同修形組合下優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

表2匯總了3種不同修形組合的優(yōu)化結(jié)果。可見,第1種修形組合(即Δrp與Δrrp修形組合)可得到較小的傳動(dòng)比波動(dòng)和較低的針齒接觸力,以實(shí)現(xiàn)更平穩(wěn)的傳動(dòng)和更好的承載性能。對(duì)于輸出柱銷受力和輸入軸的軸承力,3種修形組合下優(yōu)化結(jié)果相差不大,可見修形參數(shù)的影響較小。

表2 3種修形類型時(shí)修形量?jī)?yōu)化結(jié)果

4 結(jié)論

(1)-Δrp與-Δrrp修形組合時(shí),通過優(yōu)化修形量,可使得傳動(dòng)比波動(dòng)幅度下降45%,針齒力下降21%,但是傳動(dòng)比波動(dòng)和針齒力仍比較大。-Δrp與Δrrp修形組合時(shí),優(yōu)化修形量對(duì)傳動(dòng)比波動(dòng)和針齒接觸力的影響很小。

(2)相對(duì)-Δrp與-Δrrp修形、-Δrp與Δrrp修形情況,Δrp與Δrrp修形可將傳動(dòng)比波動(dòng)幅度由0.048 9降低到0.029 4,最大針齒作用力峰值由1082 N降為898 N,較初始值少了17%,可實(shí)現(xiàn)更為平穩(wěn)的傳動(dòng)和更優(yōu)的承載能力。