滲透模型思想 提高解題能力

摘 要：一次函數(shù)是刻畫變量之間關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型，現(xiàn)實生活中的許多問題都可以通過建立一次函數(shù)模型得以解決，一次函數(shù)的應(yīng)用題已經(jīng)滲透到日常生活的各個方面.依據(jù)近幾年中考試題，列舉了一次函數(shù)在解決經(jīng)濟(jì)問題、購買問題、運(yùn)輸問題、信息收費問題、水產(chǎn)品加工問題等方面的應(yīng)用，提高學(xué)生利用一次函數(shù)模型解決實際問題的能力.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；模型思想；一次函數(shù)；解題能力

中圖分類號：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）20-0044-03

收稿日期：2023-04-15

作者簡介：周清波（1980.10-），男，福建省南安人，本科，一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

初中數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)是引導(dǎo)學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識和基本技能，掌握數(shù)學(xué)思想方法，積累基本活動經(jīng)驗，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，促使其更好地適應(yīng)未來社會的發(fā)展需求.一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點，在課堂教學(xué)中，教師需注重滲透模型思想，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用意義與價值，讓學(xué)生學(xué)會構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，能夠站在數(shù)學(xué)的角度對問題進(jìn)行思考與解決，從而提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.

1 模型思想概述

1.1 數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型是針對參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量依存關(guān)系，采用數(shù)學(xué)語言，概括或近似地表述出的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是借助數(shù)學(xué)符號刻劃出來的某種系統(tǒng)的純關(guān)系結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)模型有著廣泛內(nèi)涵，相關(guān)數(shù)學(xué)概念、公式、算法等都屬于數(shù)學(xué)模型范圍.由于初中生自身的認(rèn)知水平、理解能力相對比較差，因此，在具體教學(xué)時，教師需注重數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，也就是依據(jù)相關(guān)數(shù)字、字母或數(shù)學(xué)符號構(gòu)建相應(yīng)的關(guān)系式、代數(shù)式、方程式等數(shù)學(xué)模型.

1.2 模型思想

從數(shù)學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展的角度作出的思考，則是數(shù)學(xué)思想.在數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)時，呈現(xiàn)的思維特征也屬于數(shù)學(xué)思想.模型思想作為數(shù)學(xué)思想的重要組成部分，其主要指對實際問題進(jìn)行描述時，所用到的數(shù)學(xué)概念及數(shù)學(xué)公理.在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師

需注重培養(yǎng)學(xué)生的模型思想，促使學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)知識和其他事物的聯(lián)系.

2 在一次函數(shù)解題中滲透模型思想的策略

2.1 滲透模型思想，解決經(jīng)濟(jì)問題

例1 已知有兩種理財產(chǎn)品供投資者選擇，第一種：中國銀行銷售一種五年期國債，其年利率是2.63%；第二種：中國人壽保險公司推出一種分紅型保險，投資者要上交10 000元（10份）保費，且保險期是5年，在五年以后，能獲得本息為10 486.60元，還能獲得紅利，但分紅金額并不是固定的.

（1）請寫出購買國債的金額x和五年以后銀行所支付的本息和y1之間的函數(shù)關(guān)系；

（2）求分紅型保險的年利率，并找出支付保費x和五年以后保險公司應(yīng)支付的本息和y2之間的函數(shù)關(guān)系；

（3）請分析選擇哪種理財產(chǎn)品更合算.

解析 （1）依據(jù)題意可知，一年的年利率是2.63%，買國債花費了x元，即y1=（1+5×2.63%）x.

（2）設(shè)年利率是a，那么，a=10 486-10 00010 000×5=0.97%，即y2=（1+5×0.97%）x.

（3）兩種方法均投資10 000元，第一種：購買了五年的國債，y1=（1+5×2.63%）x＝（1+5×

2.63%）×10 000=11 315元；第二種：購買了五年的保險，y2=（1+5×0.97%）x＝（1+5×0.97%）×10 000=10 486.6元.兩者之間的差是y1-y2＝11 315-10 486.6＝828.4元，因此，當(dāng)保險的分紅超過了828.4元的時候，買保險才能更有利.

2.2 滲透模型思想，解決購買問題

例2 某服裝廠要生產(chǎn)種領(lǐng)帶與西裝，且西裝的每一套定價是200元，每一條領(lǐng)帶的定價是40元，廠家進(jìn)行促銷活動，提供給客戶兩種方案：

（1）購買一套西裝，送一條領(lǐng)帶；

（2）西裝與領(lǐng)帶都按照定價90%進(jìn)行付款；

某個商店的老板需要到服裝廠買20套西裝，x（x＞20）條領(lǐng)帶，請你幫助老板選擇最優(yōu)惠的購買方案，并說明理由.

解析 設(shè)第（1）種方案共付款y1元，第（2）種方案共付款y2元，則

y1=40x+3 200，y2=36x+3 600.

當(dāng)y1＜y2時，即40x+3 200＜36x+3 600，又x＞20，所以20＜x＜100.即當(dāng)20＜x＜100時，選擇第（1）種方案更加優(yōu)惠；

當(dāng)y1=y2時，即40x+3 200=36x+3 600，所以x=100.即當(dāng)x=100時，第（1）種方案與第（2）種方案的一樣省錢；

當(dāng)y1>y2時，即40x+3 200＞36x+3 600，所以x＞100.即當(dāng)x＞100時，選擇第（2）種方案更加優(yōu)惠.

若同時選擇（1）（2）兩種方案，想要獲得廠家贈送更多的領(lǐng)帶，則能設(shè)計出第（3）種方案，即先依據(jù)方案（1）買20套西裝，獲得20條贈送的領(lǐng)帶，剩余的（x-20）條領(lǐng)帶，再依據(jù)第（2）種方案進(jìn)行購買，其花費為200×20＋（x-20）×40×90%＝（36x＋3 280）元.顯然，第（3）種方案比第（2）種方案更加優(yōu)惠；第（3）種方案和第（1）種方案相比，當(dāng)36x＋3 280＜40x＋3 200時，可求解出x＞20，即x＞20時，第（3）種方案比第（1）種方案更加優(yōu)惠［1］.

2.3 滲透模型思想，解決運(yùn)輸問題

例3 某果蔬公司需將不容易存放的水果由A市銷售至B市，現(xiàn)有三個運(yùn)輸公司提供了相應(yīng)的運(yùn)輸方案，詳見表1.

因為W為x的一次函數(shù)，k＝180＞0，所以W隨著x的增大而逐漸增大.又因為x是整數(shù)，所以當(dāng)x＝111時，其利潤最大，W最大＝180×111＋60 000＝79 980元.

綜上所述，通過以上實例可以發(fā)現(xiàn)，在對應(yīng)用類問題解決時，其關(guān)鍵就是滲透模型思想，構(gòu)建相應(yīng)的一次函數(shù)模型，并通過自變量的取值范圍，求出相應(yīng)的最值.這類問題與實際生活相貼近，更注重考查基礎(chǔ)知識以及基本技能，通過應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決相關(guān)實際問題，能夠有效提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.

參考文獻(xiàn)

：［1］ 張金奎.“一次函數(shù)”解題錯誤類型與解決的對策分析［J］.現(xiàn)代中學(xué)生（初中版），2022（06）：45-46.

［2］ 王文玉.初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中滲透模型思想的研究：以“一次函數(shù)”為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（04）：9-10.

［責(zé)任編輯：李 璟］