經(jīng)歷過程 探尋聯(lián)系

趙麗芳

【摘? ?要】數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)重要方面，二者之間有緊密的聯(lián)系。在人教版教材六年級(jí)上冊(cè)《數(shù)與形》一課的教學(xué)實(shí)踐中，教師將教學(xué)重點(diǎn)放在引導(dǎo)學(xué)生親歷過程、探尋聯(lián)系上，讓學(xué)生經(jīng)歷“以形助數(shù)，自主表征；溝通對(duì)比，建立聯(lián)系；數(shù)形互譯，融會(huì)貫通；回顧拓展，感悟外化”四個(gè)步驟，感悟數(shù)與形之間的關(guān)系。由此，提升學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，發(fā)展學(xué)生的素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)與形；數(shù)形結(jié)合；圖形表征；數(shù)列

數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)重要方面。華羅庚先生“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”的表達(dá)，形象地描述了數(shù)與形之間的關(guān)系。數(shù)形結(jié)合往往可將復(fù)雜的問題變簡(jiǎn)單，將抽象的問題變形象，達(dá)到優(yōu)化解題途徑的目的。學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要親歷數(shù)形轉(zhuǎn)化的過程，在數(shù)形聯(lián)系的探究中發(fā)展思維，提升應(yīng)用意識(shí)。

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的內(nèi)容有很多，人教版教材六年級(jí)上冊(cè)的《數(shù)與形》是其中非常有代表性的內(nèi)容之一。在這節(jié)課的教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)與形的溝通過程，讓他們主動(dòng)探尋二者之間的聯(lián)系，從而體會(huì)如何“以形助數(shù)”“以數(shù)解形”，感受數(shù)與形之間的廣泛聯(lián)系。

一、基于教前分析，確定教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)前，教師需要從教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生情況兩方面出發(fā)，找準(zhǔn)教學(xué)起點(diǎn)與終點(diǎn)，確定教學(xué)目標(biāo)。

（一）教學(xué)內(nèi)容分析

《數(shù)與形》一課由兩個(gè)例題組成。例1將“1+3+5+……+（2n-1）”與方格圖聯(lián)系起來，讓學(xué)生通過觀察圖，發(fā)現(xiàn)其結(jié)果可以直接用n2表示。例2借助正方形（單位1）的分割，聯(lián)系“[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+……”與正方形不斷二分所形成的圖，讓學(xué)生同樣借助觀察發(fā)現(xiàn)結(jié)果。

如果按照教材呈現(xiàn)的方式，直接讓學(xué)生觀察、理解這兩題中數(shù)與形的關(guān)系，只要學(xué)生能夠體會(huì)到形的表征能讓這兩道題變得清晰、簡(jiǎn)單，就已經(jīng)達(dá)到了基本的教學(xué)要求。但若深入分析教材，會(huì)發(fā)現(xiàn)這兩幅圖均具有一定的“個(gè)性”，并非解決問題的“通法”，學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)的過程中體會(huì)到數(shù)形結(jié)合的神奇，也容易陷入只有這兩道題或特殊的題目才適合采用數(shù)形結(jié)合的方法解決的誤區(qū)。如果不僅僅將體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的方法當(dāng)作教學(xué)目標(biāo)，而是更進(jìn)一步，將引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)采用“數(shù)形結(jié)合”的方法解決問題看作教學(xué)目標(biāo)的話，就要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中放慢發(fā)現(xiàn)的腳步，拓展學(xué)習(xí)的內(nèi)容。如帶領(lǐng)學(xué)生思考：從1開始的連續(xù)奇數(shù)之和可以借助圖形找到答案，從2開始的連續(xù)偶數(shù)、從1開始的連續(xù)自然數(shù)等數(shù)列的和也能借助圖形找到答案嗎？這樣的思考，能夠幫助學(xué)生更加深入地分析數(shù)與形之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)形結(jié)合帶來的便利。

（二）學(xué)生情況分析

前測(cè)是分析學(xué)情的重要方式。筆者采用不給任何提示，直接讓學(xué)生求例1和例2兩道題結(jié)果的方式，對(duì)某班學(xué)生進(jìn)行了第一次前測(cè)。前測(cè)結(jié)果表明：被測(cè)班級(jí)的45名學(xué)生，多數(shù)采用“算”的方法求算式的結(jié)果，很少有學(xué)生會(huì)想到借助“形”。計(jì)算例1和例2，學(xué)生的正確率分別是95%和80%。接著，筆者增加了“用圖形表征算式”的要求，以另一個(gè)平行班的45名學(xué)生為對(duì)象進(jìn)行了第二次前測(cè)。從計(jì)算的結(jié)果上看，該班正確得出兩道題結(jié)果的人數(shù)均略高于第一個(gè)班級(jí)。其中，對(duì)例1的圖形表征，有9%左右的學(xué)生采用橫向擺放的“一字形”，80%左右的學(xué)生采用縱向擺放的“三角形”，11%左右的學(xué)生想到擺“正方形”。學(xué)生獨(dú)立用圖形表征例2時(shí)略感困難，但經(jīng)過教師提醒，能用正方形、線段、圓形等圖形正確表征的學(xué)生達(dá)到了78%。

以上測(cè)試表明學(xué)生有較強(qiáng)的計(jì)算能力，有用圖形表示算式意義的基礎(chǔ)，但主動(dòng)聯(lián)系數(shù)與形的意識(shí)不強(qiáng)。因此，教學(xué)中需要讓學(xué)生花更多的時(shí)間經(jīng)歷主動(dòng)探究過程，在自主解決問題的過程中獲得對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法的感悟。

（三）確定學(xué)習(xí)目標(biāo)

針對(duì)以上分析，確定本節(jié)課的主要任務(wù)不是讓學(xué)生借助觀察“發(fā)現(xiàn)、應(yīng)用規(guī)律”，而是讓學(xué)生在探究過程中，感受如何用數(shù)形結(jié)合的方式幫助自己解決問題，積累數(shù)形結(jié)合的經(jīng)驗(yàn)。因此，本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)確定為以下三點(diǎn)。

1.通過數(shù)與形的對(duì)照，感受形能直觀表示數(shù)的規(guī)律，數(shù)能精確反映形的本質(zhì)。

2.經(jīng)歷探索數(shù)形之間聯(lián)系的過程，打通數(shù)與形之間的屏障，感悟數(shù)形結(jié)合的思想方法。

3.體會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解決較復(fù)雜問題的優(yōu)越性，增強(qiáng)分析、觀察、解決問題的能力。

二、精準(zhǔn)實(shí)施教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生親歷過程

精心設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)任務(wù)，能夠幫助學(xué)生探尋數(shù)與形之間、形與形之間、不同算式用同一圖形表征等的關(guān)系。教師在教學(xué)中要讓學(xué)生多思考、多表達(dá)，在不斷操作、觀察、試錯(cuò)的過程中，打通“數(shù)”與“形”之間的“隔閡”，理解它們之間的關(guān)系。

（一）以形助數(shù)，自主表征

課始，教師出示學(xué)習(xí)任務(wù)：請(qǐng)用正方形學(xué)具卡片表示出“1+3+5+7+9”。

同桌合作用卡片擺“1+3+5+7+9”的圖形時(shí)，教師現(xiàn)場(chǎng)拍攝學(xué)生有代表性的“三角形”（如圖1）、“湊十”（如圖2）、“正方形”（如圖3）三種擺法，并逐幅展示、分析。

師：這三種方法你看得懂嗎？

學(xué)生均輕輕點(diǎn)頭。

師：它們有什么共同的地方？

生：它們都可以直觀表示數(shù)列，也都能很方便地呈現(xiàn)答案。

師：看來同一個(gè)數(shù)列可以用多種不同的形來表示。如果請(qǐng)你繼續(xù)用圖形表示出“1+3+5+7+9+11”，或者更多奇數(shù)的和，你會(huì)用哪種方法？

生：三種方法應(yīng)該都可以。

本學(xué)習(xí)任務(wù)對(duì)學(xué)生來說不難，但教師給了學(xué)生獨(dú)立表征的時(shí)間與空間，讓學(xué)生可以有不同的表征方法。這是學(xué)生后繼溝通、比較的基礎(chǔ)。

（二）溝通對(duì)比，建立聯(lián)系

數(shù)與形之間有緊密的聯(lián)系，但數(shù)與形并不存在簡(jiǎn)單的對(duì)應(yīng)關(guān)系。能夠根據(jù)現(xiàn)實(shí)情況選擇不同的表征方式，是學(xué)生真正形成數(shù)形結(jié)合思想的重要標(biāo)志。教師要引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷溝通對(duì)比的過程，幫助他們深入體會(huì)數(shù)與形之間的聯(lián)系。

1.多種表征，理解圖式

師：大家都有自己的猜想，很好！那就根據(jù)自己的想法，動(dòng)手?jǐn)[一擺吧。

學(xué)生在操作中，有小組用“三角形”擺法繼續(xù)擺，還在不斷討論著；有小組先用“湊十”的擺法，后來又調(diào)整為“正方形”或“三角形”擺法……

匯報(bào)時(shí)，教師問大家選擇哪種圖形繼續(xù)研究，全班同學(xué)選擇的圖形由原來的三種變?yōu)閮煞N。

生1： 我們?cè)瓉碛谩皽愂狈〝[，隨著奇數(shù)越來越多，圖形變得沒有規(guī)律，像11要拆成10和1，這個(gè)1要和原來的5擺在一起，感覺越擺越亂。

生2：我們組原來用“三角形”法，奇數(shù)變大，只要在三角形的底部再加一層，就可以直觀表示數(shù)列了，但數(shù)越大，計(jì)算到底有幾層就越麻煩。

生3：我們對(duì)他們組（生2）有補(bǔ)充，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以層數(shù)=（11-1）÷2+1=6。

生4：聽了他們的發(fā)言，我們有個(gè)發(fā)現(xiàn)。由于第一個(gè)數(shù)是1，所以求這個(gè)數(shù)列的層數(shù)還有更簡(jiǎn)便的方法，即層數(shù)=（1+11）÷2=6。

學(xué)生對(duì)這兩種方法進(jìn)行討論后發(fā)現(xiàn)：兩種方法都可以，第二種比第一種更簡(jiǎn)便。

生5：我們覺得“正方形”擺法更好。用這種擺法，多一個(gè)奇數(shù)就在外面增加一層“L”，讓原來的正方形變成更大的正方形就行了。這樣不僅可以直接看出數(shù)列，還可以很快算出答案?！?+3+5+7+9+11”就是邊長(zhǎng)為6的正方形（如圖4）。

2.一式多圖，建立聯(lián)系

教師追問：大家認(rèn)為“正方形”與“三角形”兩種圖形都可以直觀表示“1+3+5+7+9+11”以及更多連續(xù)奇數(shù)相加的和，其中有什么奧秘嗎？這兩種圖形之間有什么關(guān)系嗎？

生1：我們組研究用“正方形”表示，發(fā)現(xiàn)每加一個(gè)奇數(shù)就是在原來的正方形外面多加個(gè)“L”形。因?yàn)橛兄丿B部分，所以這個(gè)“L”形表示的正方形數(shù)量就比兩條邊上的正方形數(shù)量少1，像“1+3+5+7+9+11+13”就是“（13+1）÷2=7”，答案“7”就表示這個(gè)數(shù)列可以拼成邊數(shù)為7的正方形。

生1團(tuán)隊(duì)的發(fā)現(xiàn)引起了很多學(xué)生的共鳴，大家頻頻點(diǎn)頭。

師追問：為什么要先“+1”再“÷2”呢？

生2：“13+1”是變成新的正方形時(shí)，兩條邊上增加的正方形的總數(shù)，“14÷2”是新正方形的邊長(zhǎng)。

生3：我來補(bǔ)充。這種方法還可以求更多奇數(shù)的和，如從1加到19，就是邊長(zhǎng)為10的正方形。

教師根據(jù)學(xué)生的回答形成板書：“19→（19+1）÷2=10”。

生4：我們組研究用“三角形”表示，“三角形”圖也能幫助我們很方便地找到答案。找答案時(shí)最主要的是找到層數(shù)。層數(shù)=（頭+尾）÷2。

生5：我有個(gè)重要發(fā)現(xiàn)。用“三角形”和“正方形”兩種圖形幫助求和，方法其實(shí)是一樣的（如圖5）。用“正方形”幫助計(jì)算時(shí)，最后一個(gè)奇數(shù)加1，與用“三角形”幫助計(jì)算時(shí)的“頭+尾”是一樣的?！叭切巍钡膶訑?shù)就是“正方形”的邊數(shù)，比如：“1+3+5+7+9+11+13”用“三角形”表征時(shí)，層數(shù)=（1+13）÷2=7；用“正方形”表征時(shí)，邊數(shù)=（1+13）÷2=7。

生6：我聽明白生5的想法了?！罢叫巍泵總€(gè)“L”形拉直就是“三角形”的最后一層，“三角形”求和公式=（頭+尾）×層數(shù)÷2，其實(shí)就是（頭+尾）÷2×層數(shù)=層數(shù)×層數(shù)=邊數(shù)×邊數(shù)。

上述教學(xué)過程中，教師沒有直接聚焦教材中提倡的“正方形”擺法，而是給足學(xué)生時(shí)間，讓他們根據(jù)自己的意愿探索不同擺法與數(shù)列之間的關(guān)系。經(jīng)過探究，學(xué)生理解了“三角形”擺法也就是等差數(shù)列求和法，從而將“正方形”和“三角形”兩種圖形聯(lián)結(jié)在一起，感受到方法的多樣性和共性，自然而然地加深了對(duì)“數(shù)”與“形”關(guān)系的感悟。

3.變式拓展，表征優(yōu)化

類比是一種推理思維。以“從1開始連續(xù)若干個(gè)奇數(shù)的和”為基點(diǎn)，學(xué)生主動(dòng)提出：“正方形”和“三角形”兩種圖形能表示“從2開始連續(xù)偶數(shù)相加的和”和“從1開始連續(xù)自然數(shù)相加的和”嗎？面對(duì)學(xué)生強(qiáng)烈的探知欲，教師不再提供實(shí)物輔助，而引導(dǎo)學(xué)生在頭腦中想象，再逐個(gè)討論解決。

學(xué)生發(fā)現(xiàn)，“三角形”擺法能表征“從2開始連續(xù)偶數(shù)相加的和”（如圖6），而按“正方形”擺法形成的圖形是“長(zhǎng)方形”，如“2+4+6+8+10+12+14”會(huì)形成圖7?！叭切巍迸c“長(zhǎng)方形”擺法之間同樣存在聯(lián)系。

對(duì)于“從1開始連續(xù)自然數(shù)相加的和”，學(xué)生經(jīng)過討論，發(fā)現(xiàn)“正方形”或“長(zhǎng)方形”擺法都不能表示，只有“三角形”擺法可行。思辨后發(fā)現(xiàn)，“三角形”擺法是最適用等差數(shù)列的表征圖形。

以上教學(xué)，教師通過三個(gè)層次的學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生在不斷想象、對(duì)比、思辨中，對(duì)比、優(yōu)化不同圖形的適用范圍，深刻體驗(yàn)數(shù)與形之間的聯(lián)系。

（三）數(shù)形互譯，融會(huì)貫通

有了前面深刻體驗(yàn)“以形助數(shù)”的過程，學(xué)生見到數(shù)式，不再局限于直接計(jì)算數(shù)式結(jié)果的方法，而會(huì)選擇用圖形來表示過程，看“圖”知結(jié)果。同樣面對(duì)形，學(xué)生會(huì)想到用數(shù)式來具體刻畫，從而初步感知“數(shù)形一體”，感受到數(shù)與形結(jié)合的美妙與和諧。

1.一式多圖，化繁為簡(jiǎn)

教師出示“[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]”，請(qǐng)學(xué)生快速求出結(jié)果，并寫出思考過程。在匯報(bào)時(shí)，教師驚喜地發(fā)現(xiàn)，采用“通分”方法算出答案的學(xué)生只有5人，其余學(xué)生均用正方形、線段、圓形等圖形表示算式的意義，并計(jì)算出結(jié)果。交流時(shí)，學(xué)生達(dá)成共識(shí)。用什么圖形不重要，只要確定一個(gè)圖形作為單位一，并將它二等分六次，去掉最后一小部分后，都可以表征這個(gè)數(shù)列，而且容易“看”出結(jié)果。

2.以數(shù)解形，數(shù)形互補(bǔ)

師：以正方形為例（如圖8），它可以幫助我們看出[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]的結(jié)果。在這幅圖中，你還能看出其他算式的結(jié)果嗎？

生：可以求空白部分是多少，也就是求1-[12]-[14]-[18]-[116]-[132]-[164]的結(jié)果。

師：同一個(gè)“形”中藏著不同的數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，真奇妙！如果在這個(gè)圖形的基礎(chǔ)上，再把空白部分均分，還能解決什么問題？你能寫出一個(gè)算式并算出結(jié)果嗎？

生：可以解決兩個(gè)問題，分別求涂色部分和空白部分是多少。算式分別為：[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]+[1128]、1-[12]-[14]-[18]-[116]-[132]-[164]-[1128]。

3.多圖比較，尋找共性

教師示本節(jié)課出現(xiàn)的正方形、三角形、長(zhǎng)方形圖（如圖9），并提問：看著這些圖，你有什么想說的嗎？引導(dǎo)學(xué)生在觀察比較中進(jìn)一步體會(huì)，借助圖形能直觀地表示出不同數(shù)列的意義，能直觀地得出計(jì)算結(jié)果。

（四）回顧拓展，感悟外化

溝通、聯(lián)系是重要能力。教師呈現(xiàn)一組學(xué)生曾經(jīng)接觸過以及將要接觸的數(shù)與形材料（圖10），讓學(xué)生邊回憶邊思考“數(shù)與形有怎樣的關(guān)系”。

因?yàn)榻?jīng)歷了前面深刻探尋聯(lián)系的過程，學(xué)生回答的關(guān)鍵詞緊緊圍繞“密不可分”“相互依賴”“互幫互助”展開。當(dāng)追問“數(shù)與形，哪個(gè)優(yōu)勢(shì)大”時(shí)，學(xué)生一致認(rèn)為“不分上下、各有各的優(yōu)勢(shì)”“數(shù)可以幫助形變得精確”“形可以幫助數(shù)變得直觀”。至此，學(xué)生真正感悟到了華羅庚先生所說的“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”。

同樣的學(xué)習(xí)素材，若實(shí)施的教學(xué)目標(biāo)、呈現(xiàn)的教學(xué)過程不同，也會(huì)給予學(xué)生不同的體驗(yàn)、不同的收獲?！稊?shù)與形》一課將側(cè)重點(diǎn)放在讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，加強(qiáng)數(shù)與形的溝通、形與形的溝通上，更有利于打破數(shù)與形之間屏障，真正讓學(xué)生意識(shí)到“數(shù)”與“形”之間的密切聯(lián)系，提升學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，發(fā)展學(xué)生的素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

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（浙江省杭州市濱和小學(xué)）