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    小學(xué)尺規(guī)作圖教學(xué)的思考與實踐

    2023-07-29 14:41:16蘇傲雪王鈺瑩胡詩純
    關(guān)鍵詞:尺規(guī)作圖幾何直觀

    蘇傲雪 王鈺瑩 胡詩純

    【摘? ?要】尺規(guī)作圖是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2022年版)》“圖形與幾何”領(lǐng)域小學(xué)部分的新增內(nèi)容,對培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)起著重要作用。以“作三角形”內(nèi)容為例,通過先后兩輪教學(xué)設(shè)計及改進實施,發(fā)現(xiàn):“作三角形”對學(xué)生來說有一定的難度,教學(xué)中,可以動手操作奠基,動態(tài)演示助力,拓展練習(xí)延伸,更好地發(fā)展學(xué)生的幾何直觀與推理意識。

    【關(guān)鍵詞】尺規(guī)作圖;作三角形;幾何直觀;推理意識

    “尺規(guī)作圖”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2022年版)》(以下簡稱為《課程標準》)“圖形與幾何”領(lǐng)域小學(xué)部分的新增內(nèi)容,對培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)起著重要作用。尺規(guī)作圖是指用無刻度直尺和圓規(guī)進行作圖。直尺的作用是畫線段、射線和直線,圓規(guī)的作用是畫圓或截取相等的長度。[1]尺規(guī)作圖過程能將抽象的推理過程直觀化、外顯化,使學(xué)生做到手腦并用、做學(xué)合一,培養(yǎng)了學(xué)生的推理意識和幾何直觀。

    以前,尺規(guī)作圖要到初中階段才開始學(xué)習(xí),現(xiàn)在將尺規(guī)作圖下移至小學(xué)階段,這使得尺規(guī)作圖教學(xué)遇到了全新的挑戰(zhàn)。那么,小學(xué)階段應(yīng)該如何開展尺規(guī)作圖的教學(xué)設(shè)計與實踐呢?本文以“作三角形”為例,通過兩輪教學(xué)設(shè)計及實施,探索小學(xué)尺規(guī)作圖的教學(xué)路徑。

    一、小學(xué)階段引入尺規(guī)作圖的原因

    (一)加強中小學(xué)課程銜接

    針對尺規(guī)作圖,中小學(xué)數(shù)學(xué)課程存在銜接問題。以往的小學(xué)數(shù)學(xué)課程中,只涉及用圓規(guī)畫圓的內(nèi)容,到初中階段,學(xué)生學(xué)習(xí)用尺規(guī)作圖時,就會遇到很大的困難。因此,《課程標準》依據(jù)學(xué)生身心發(fā)展規(guī)律,在小學(xué)階段增加了“會用直尺和圓規(guī)作一條線段等于已知線段”(簡稱“作等長線段”)、“經(jīng)歷用直尺和圓規(guī)將三角形的三條邊畫到一條直線的過程,直觀感受三角形的周長”(簡稱“作三角形三條邊”)、“要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷基于給定線段用直尺和圓規(guī)畫三角形的過程,探索三角形任意兩邊之和大于第三邊”(簡稱“作三角形”)三個尺規(guī)作圖內(nèi)容,為初中尺規(guī)作圖的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ),以實現(xiàn)義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的連續(xù)性、統(tǒng)一性、整體性[2]。

    (二)注重核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

    尺規(guī)作圖是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀和推理意識的有效手段。一方面,學(xué)生利用尺規(guī)作圖,可以將頭腦中的思維轉(zhuǎn)化為直觀圖形,通過實際畫圖,讓思維可視化,有助于培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀。另一方面,在作圖操作過程中,學(xué)生可以加深對定理和命題的理解,有助于培養(yǎng)學(xué)生的推理意識。[3]

    (三)實現(xiàn)“做中學(xué),創(chuàng)中學(xué)”

    尺規(guī)作圖是典型的“做中學(xué),創(chuàng)中學(xué)”方法。通過尺規(guī)作圖,學(xué)生積極想象,動手操作,主動構(gòu)造,從而激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣。學(xué)生構(gòu)思如何用直尺和圓規(guī)作圖的過程是“做中學(xué),創(chuàng)中學(xué)”的具體體現(xiàn)。構(gòu)思時,學(xué)生首先應(yīng)考慮作圖的關(guān)鍵是什么。他們要先初步想象出利用尺規(guī)作圖后所形成的圖形,其次構(gòu)思具體操作步驟,最后將作圖的過程有條理地表達出來。[4]以“作三角形”為例,學(xué)生需要在頭腦中構(gòu)思,先作一條邊,然后確定第3個頂點。再通過不斷嘗試、操作,經(jīng)歷找點的過程,及時反思,最終體會到需要找到兩弧的交點。整個學(xué)習(xí)過程,學(xué)生通過想象、操作、推理活動,培養(yǎng)了創(chuàng)新能力和探究能力。[5]

    二、教學(xué)設(shè)計與實踐

    六年級學(xué)生的幾何思維正處于從非形式化水平向形式化水平過渡的階段。[6]學(xué)生四年級時通過擺小木棒活動直觀感知了“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的三角形三邊關(guān)系,六年級在“圓”單元又學(xué)習(xí)了用圓規(guī)畫圓對用尺規(guī)作圖作三角形有一定的基礎(chǔ)。同時,學(xué)生也面臨一些挑戰(zhàn):習(xí)慣用有刻度直尺,不習(xí)慣使用無刻度直尺;對圓規(guī)的使用僅停留在畫圓層面;未學(xué)習(xí)過用圓規(guī)作等長線段,直接“作三角形”對他們而言具有挑戰(zhàn)性。本內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)習(xí)了“認識三角形”“三角形三邊關(guān)系”“圓的認識”的基礎(chǔ)上展開的,重點是引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握“借助無刻度的直尺和圓規(guī)畫出指定邊長的三角形”的做法?;诖耍P者在北京市海淀區(qū)某小學(xué)六年級兩個班先后實施兩輪教學(xué)。具體教學(xué)目標如下。

    (1)通過對比多種畫三角形的方法,掌握用尺規(guī)畫圓弧作三角形的方法,培養(yǎng)推理意識。

    (2)利用尺規(guī)作圖感知三角形的任意兩邊之和大于第三邊。

    (3)在與他人的合作交流中,能提出問題,并對自己及他人的問題解決過程給出合理解釋,會用數(shù)學(xué)的思維來思考問題,提高學(xué)習(xí)成就感。

    教學(xué)重點:會用尺規(guī)畫圓弧作三角形,理解三角形任意兩邊之和大于第三邊,能有條理地表達作圖過程。

    教學(xué)難點:經(jīng)歷尺規(guī)作圖的過程,提高學(xué)生的尺規(guī)作圖技能,能根據(jù)條件作三角形,能理解作圖的依據(jù)。

    (一)第一輪教學(xué)設(shè)計及分析

    1.第一輪教學(xué)過程

    (1)活動1:回顧舊知

    教師提問:“大家學(xué)習(xí)過用圓規(guī)畫圖,圓規(guī)可以畫什么圖形?畫出來的圖形有什么特點呢?”引導(dǎo)學(xué)生回顧圓規(guī)能畫圓,并回憶圓的相關(guān)知識。

    教師出示無刻度直尺,提問:“仔細觀察這把直尺,它和我們平時使用的直尺有什么區(qū)別?它可以用來畫什么?”明確無刻度直尺能畫直線。同時讓學(xué)生想象一下圓規(guī)和無刻度直尺能畫什么圖形,鼓勵學(xué)生用尺規(guī)動手畫一畫。

    (2)活動2:合作探究、作三角形

    教師引導(dǎo)學(xué)生回憶三角形的特征,并提問:用尺規(guī)可以作出三角形嗎?

    布置任務(wù):嘗試用圓規(guī)和無刻度直尺,將任務(wù)1中的三條線段圍成三角形。

    展示交流:展示學(xué)生的不同作圖方法。

    方法1:用直尺大概作圖(如圖1)。

    方法2:利用圓規(guī)卡出兩個點,大概作圖(如圖2)。

    方法3:用圓規(guī)畫圓弧的方式作圖(如圖3)。

    教師引導(dǎo)全班學(xué)生交流討論,分析每種方法的優(yōu)缺點,共同總結(jié)結(jié)論:第1、第2種作圖方法不夠精確,第3種作圖方法能準確、快速作出三角形。

    (3)活動3:探究三角形三邊關(guān)系

    在活動2基礎(chǔ)上,教師引導(dǎo)學(xué)生思考:任何三條線段都能畫成一個三角形嗎?接著出示任務(wù)2,讓學(xué)生觀察三組線段,判斷哪些能構(gòu)成三角形,并動手畫一畫,驗證判斷結(jié)果。

    學(xué)生通過動手作圖進行驗證后,教師啟發(fā)他們思考:每組任務(wù)三條邊的長度有什么關(guān)系?構(gòu)成三角形的三邊必須滿足什么條件?

    2.教學(xué)實施結(jié)果分析

    對任務(wù)1中的學(xué)生作圖方式進行統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn):由于受到圓規(guī)畫圓的思維定式的影響,約有21.4%的學(xué)生采取隨意畫圓的方式作圖,但沒能作出三角形(如圖4);由于六年級學(xué)生之前沒有學(xué)習(xí)過用尺規(guī)作等長線段,約有47.6%的學(xué)生通過卡長度畫三角形(如圖2);約有7.2%的學(xué)生在理解了“任意兩邊之和大于第三邊”的情況下,選擇湊出一個三角形(如圖5);僅有約23.8%的學(xué)生通過畫圓弧作三角形(如圖3)??梢姳敬谓虒W(xué)設(shè)計存在較大問題,學(xué)生的學(xué)習(xí)效果并不理想。

    在第一輪教學(xué)設(shè)計實施之后,對教學(xué)設(shè)計作如下調(diào)整。

    (1)在任務(wù)單上直接給出三角形底邊(其中一條邊)的位置,給學(xué)生一個尺規(guī)作圖的支架,防止他們隨意畫圓,并引導(dǎo)學(xué)生將重點放在“如何找到第3個頂點”上。

    (2)從用小木棒擺三角形引入,幫助學(xué)生搭建學(xué)習(xí)基礎(chǔ),讓他們直觀地體會畫圓弧的過程,將小木棒抽象成線段,培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力。

    (3)第一輪教學(xué)設(shè)計中的活動3是在預(yù)設(shè)學(xué)生未學(xué)過“任意兩邊之和大于第三邊”的三角形三邊關(guān)系的情形下開展的。第二輪教學(xué)設(shè)計則將三角形三邊關(guān)系作為前提進行教學(xué)。

    (4)設(shè)計拓展習(xí)題,打開學(xué)生思路,幫助學(xué)生突破慣性思維,激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識,培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和空間想象能力。

    基于以上對第一輪教學(xué)設(shè)計的調(diào)整,繼續(xù)開展第二輪教學(xué)活動,并在同一學(xué)校六年級的另外一個班實施教學(xué)。

    (二)第二輪教學(xué)設(shè)計及分析

    1. 第二輪教學(xué)過程

    (1)活動1:擺三角形

    教師帶領(lǐng)學(xué)生完成熱身游戲:用工具袋中的3根小木棒拼成一個三角形。讓學(xué)生動手操作,直觀感受拼三角形的過程,明確在不斷調(diào)整小木棒擺三角形的過程中蘊含著圓弧,為用圓規(guī)畫圓弧作三角形奠基。教師提問:“你是一下就拼成三角形的嗎?你做了怎樣的調(diào)整?”

    教師展示學(xué)生的操作調(diào)整過程,提問:“調(diào)整到什么時候就拼成了三角形?”然后利用課件動態(tài)演示擺小木棒的過程(如圖6),引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注2根小木棒相交時產(chǎn)生的交點,即拼成三角形的關(guān)鍵是確定第3個頂點。

    (2)活動2:作三角形

    教師引導(dǎo)學(xué)生通過動態(tài)演示總結(jié)出小木棒與圓規(guī)有相同之處,并提問:用尺規(guī)可以作出三角形嗎?

    布置任務(wù):運用圓規(guī)和無刻度直尺作出一個三角形,以任務(wù)1中的c作為三角形的一條邊,a和b作為另外左右兩條傾斜的邊。

    展示交流:展示學(xué)生的不同作圖方法。

    方法1:用直尺大概作圖(如圖1)。

    方法2:利用圓規(guī)卡出兩個點,大概作圖(如圖2)。

    方法3:用圓規(guī)畫圓弧的方式作圖(如圖3)。

    教師引導(dǎo)全班學(xué)生交流討論,分析每種方法的優(yōu)缺點,共同總結(jié)結(jié)論:第1、第2種作圖方法不夠精確,第3種作圖方法能準確、快速作出三角形。

    (3)活動3:探究三角形三邊關(guān)系

    在活動2基礎(chǔ)上,教師提問:“任意三條線段都能畫成一個三角形嗎?”引導(dǎo)學(xué)生回憶四年級學(xué)過的結(jié)論“任意兩邊之和大于第三邊”,并以此為猜想,通過動手作圖來驗證猜想。

    學(xué)生通過動手作圖進行驗證后,得出結(jié)論“當(dāng)任意兩條線段的長度和大于第三條線段的長度時,才能畫出三角形”。

    (4)課外作業(yè):拓展練習(xí)

    布置課外作業(yè):點A在直線l上,點B在直線l外,請在直線l上找到點C,使得△ABC構(gòu)成等腰三角形。

    通過尺規(guī)作圖作等腰三角形,既可分別將線段AB作為底邊或腰,作出多個等腰三角形,也可采用對折方法完成。這樣的拓展練習(xí)既可以拓寬學(xué)生的思考視野,又可以培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識。

    2.教學(xué)實施結(jié)果分析

    對第二輪教學(xué)任務(wù)1中學(xué)生的作圖方式進行統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn):約有84.6%的學(xué)生能直接想到畫圓弧的方式來畫三角形,僅有15.4%的學(xué)生用圓規(guī)卡長度的方式作三角形,且沒有隨意畫圓的學(xué)生。由此可見,在改進教學(xué)設(shè)計后,學(xué)生的學(xué)習(xí)效果得到明顯提升,作圖情況有了較大變化。

    三、教學(xué)思考

    (一)動手操作奠基,開啟思維之門

    小學(xué)生的思維水平總體較低,動手畫圖的活動經(jīng)驗積累較少,難以直接借用知識和經(jīng)驗去解決問題。第二輪教學(xué)中,教師在開展探究活動前,讓學(xué)生動手操作擺三角形,在此的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生將3根小木棒抽象成三條線段,為使用圓規(guī)畫圓弧奠基,學(xué)生的學(xué)習(xí)效果得到明顯提升。因此,只有讓學(xué)生的思維順著支架螺旋式上升,才能讓學(xué)生掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方式。

    (二)動態(tài)演示助力,增強幾何直觀

    小學(xué)生因其自身的年齡特征和心理特征,對動手操作、動態(tài)演示比較敏感,能直觀感知其數(shù)學(xué)本質(zhì)。在第二輪教學(xué)中,教師先引入“用3根小木棒搭三角形”的活動,再利用課件動態(tài)演示“確定第3個頂點”的過程,最后,以操作演示軌跡類比用尺規(guī)作圖,引導(dǎo)學(xué)生掌握用尺規(guī)作圖的方法。因此,利用操作演示功能可以有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,簡化復(fù)雜的問題,將抽象的數(shù)學(xué)知識具象化、直觀化。

    (三)拓展練習(xí)延伸,提升創(chuàng)新意識

    在“作三角形”的教學(xué)中,教師給定最長的邊作為底邊,容易使學(xué)生產(chǎn)生思維定式:只能把最長的線段作為底邊,較短的線段作為斜邊。因此,教師引入作等腰三角形的拓展習(xí)題,使給定的兩條邊既可以作為三角形的腰,又可以作為底邊。拓展性習(xí)題是培養(yǎng)學(xué)生探究能力的有效途徑,能激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

    參考文獻:

    [1]朱國榮,朱術(shù)磊.小學(xué)數(shù)學(xué)“尺規(guī)作圖”的學(xué)理意蘊與教學(xué)路徑[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版(數(shù)學(xué)),2022(7/8):32-35.

    [2]張俊珍.基于學(xué)生核心素養(yǎng)的中小學(xué)數(shù)學(xué)課程銜接研究[J].教育理論與實踐,2016,36(22):56-60.

    [3]王聿澤,張景斌,程文傲.尺規(guī)作圖的教育價值與初中教學(xué)實踐探究[J].中國數(shù)學(xué)教育, 2020(17):33-37.

    [4]孫曉天,張丹.義務(wù)教育課程標準(2022年版)課例式解讀 小學(xué)數(shù)學(xué)[M].北京:教育科學(xué)出版社,2022.

    [5]章飛.幾何作圖的教學(xué)功能分析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2021(2):10-12,19.

    [6]段思維.基于范希爾理論提升小學(xué)生幾何思維水平[J].新課程研究,2022(34):123-125.

    (1.中央民族大學(xué)理學(xué)院

    2.中南大學(xué)第二附屬小學(xué))

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